1.4 线段的垂直平分线 教学设计2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质与判定定理，通过折纸实验让学生直观比较折痕关系，感知性质定理，再用全等三角形证明，搭建从直观到逻辑的学习支架，衔接后续判定定理探究。 特色在于融合直观操作与逻辑推理，折纸活动培养几何直观（数学眼光），多证法证明判定定理发展推理能力（数学思维），规范符号语言表达（数学语言）。助力学生提升几何推理能力，为教师提供可操作的探究式教学方案。

第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.4 线段的垂直平分线（第1课时） 一、教学目标 1.经历线段垂直平分线性质与判定定理的探索过程，掌握其推导逻辑，理解定理的内涵. 2.能规范运用线段垂直平分线的性质和判定定理，解决相关几何问题. 3.体会＂性质与判定＂的双向关联，提升几何推理与问题分析能力. 二、教学重点及难点 重点：掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，并能进行证明与运用. 难点：写出线段垂直平分线性质定理的逆命题并完成证明，以及灵活运用定理解决综合几何问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：线段垂直平分线的性质定理. 教师：拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系. 可以得到：折痕EB＝EB′，FB＝FB′. 教师提问：我们曾经用上面折纸的办法得到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流. 【师生活动】教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题，通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容. 答案预设： 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA＝PB. 教师点拨：如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB (SAS). ∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等). 【归纳】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 符号语言：如图， ∵点P在直线MN上，MN⊥AB于点C，AC＝BC， ∴PA＝PB. 设计意图：通过折纸的实操活动，让学生直观感受线段垂直平分线的性质，自主发现“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”的结论；再借助全等三角形完成严谨的几何证明，将直观感知与逻辑推理结合为后续判定定理的学习奠定基础. 【探究新知】 探究：线段垂直平分线的判定定理. 教师提问：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请证明自己结论的正确性. 【师生活动】教师注意引导学生先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，再写出它的逆命题；在学生小组合作的基础上，分析证明线段垂直平分线的判定定理. 答案预设： 逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 即到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 证明如下. 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. （特殊情况）证明：当点P在线段AB上时， ∵PA＝PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. 当点P在线段AB外时，归纳总结有如下三种证法： 证明：当点P在线段AB外时， 法一：过点P作线段AB的垂线PC， ∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PAC ≌ Rt△PBC (HL). ∴AC＝BC， 即P点在AB的垂直平分线上. 证明：当点P在线段AB外时， 法二：过P点作∠APB的平分线交AB于点C， ∵AP＝BP，∠APC＝∠BPC，PC＝PC， ∴△APC ≌ △BPC (SAS). ∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB. 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∴点P在AB的垂直平分线上. 证明：当点P在线段AB外时， 法三：取AB的中点C，过点P，C作直线. ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝BC， ∴△APC ≌ △BPC (SSS). ∴∠PCA＝∠PCB. 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB. ∴点P在AB的垂直平分线上. 【归纳】线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 符号语言：如图， ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线MN上. 设计意图：通过“逆向思考线段垂直平分线性质定理”的问题，引导学生小组合作探究其逆命题的真假，在多方法证明判定定理的过程中，培养逆向思维与逻辑推理能力；同时鼓励学生交流多种证明思路，提升几何证明的多样性与严谨性，帮助学生建立“性质与判定”的双向关联思维，深化对线段垂直平分线的理解. 【典型例题】 例1.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线 (两点确定一条直线). 教师提问：想一想，对于例1，你还有其他证法吗？ 学生讨论，并举手回答. 证明：如图，延长AO交BC于点D， ∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO (SSS). ∴∠BAO＝∠CAO， ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD (SAS). ∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°. 即直线AO垂直平分线段BC. 设计意图：通过例题讲解，巩固强化＂到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上＂这一定理在实际问题中的应用，培养学生的应用意识.一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.4 线段的垂直平分线（第2课时） 一、教学目标 1.经历三角形三边垂直平分线性质的探索过程，理解并掌握＂三角形三边垂直平分线交于一点＂的性质及推导逻辑. 2.能够利用尺规完成＂已知底边及底边上的高的等腰三角形＂的作图. 3.提升几何推理与尺规作图能力，体会三线共点的证明思路. 二、教学重点及难点 重点：掌握三角形三边垂直平分线的性质，能利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形. 难点：证明三角形三边垂直平分线交于一点，以及灵活运用尺规作图完成复杂图形的绘制. 三、教学过程 【探究新知】 探究：利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形. 教师提问：同学们想一想，如何作已知线段的垂直平分线？ 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主作图. 已知：线段AB，如图. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法： 1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D. 2.作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 教师提问：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ 【师生活动】学生小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论，教师适时进行引导. 探究结论： 能作出无数个，所作出的三角形不都全等.（如图） 教师提问：(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？与同伴进行交流. 【师生活动】学生小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论，教师适时进行引导. 探究结论： 这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧.（如图） 教师：梳理上述作图过程，请你总结＂已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形＂的方法和步骤. 【师生活动】教师应引导学生体会每一个作图步骤的作用及其理论依据. 已知：如图，线段a，h. 求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h. 作法： (1)作线段BC，使BC＝a. (2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. (3)在l上作线段DA，使DA＝h. (4)连接AB，AC. △ABC就是所要作的等腰三角形. 设计意图：通过“从直角三角形到等腰三角形”的作图迁移，引导学生经历“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图过程，既巩固了线段垂直平分线的性质与尺规作图技能，又培养了学生的几何作图与归纳总结能力，体会作图的严谨性与唯一性. 【探究新知】 探究：过直线外一点，用尺规作已知直线的垂线. 教师：还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题. （1）先在直线l上截取A、B两点，且这两点到点P的距离相等； （2）接着分别以点A、B为圆心，大于线段AB的一半的长为半径画弧，交于两点； （3）最后连接得到的两个交点，得到直线m即为所求. 教师提问：如果点P在直线l外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流. 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，能够独立画图得出结论. 已知：如图，已知直线l和l外一点P. 求作：用尺规作l的垂线，使它经过点P. 作法： 1.如图，任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁； 2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B； 3.作线段AB的垂直平分线m. 直线m垂直于直线l，且经过点P. 教师追问：为什么直线m经过点P？. 【学生活动】学生通过思考可以得出：因为PA＝PB，由线段垂直平分线的判定定理可证得直线m经过点P. 设计意图：通过“从直线上到直线外”的垂线作图迁移，引导学生经历“过直线外一点作已知直线垂线”的尺规作图过程，将垂线问题转化为线段垂直平分线问题，既巩固了线段垂直平分线的性质与判定，又培养了学生的转化思想与几何作图能力，体会尺规作图的严谨性与逻辑关联. 【探究新知】 探究：探索三角形三边的垂直平分线的性质. 【师生活动】1.利用尺规作三角形三条边垂直平分线：用尺规作图法分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三边垂直平分线，总结交点的位置，并且测量交点到三个顶点的距离. 2.剪下一个三角形，通过折叠找出每边的垂直平分线，并总结锐角、直角、钝角三种三角形三边垂直平分线交点的情况. 经过上述操作，你有什么样的发现？与同组同学之间相互交流. 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结. 设计意图：通过动手操作让学生探索三角形三边垂直平分线的性质，提高学习兴趣，加深学生的直观印象． 【典型例题】 例2.已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. 教师提问：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？ 【学生活动】学生小组合作，结合线段垂直平分线的性质推导出PA=PB=PC，再依据判定定理完成证明，之后分享交流思路. 证明：如图，连接PA，PB，PC. ∵点P在边AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB＝PC. ∴PA＝PB＝PC. ∴点P在边AC的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 即边AC的垂直平分线经过点P. 【归纳】教师总结引出定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这一点叫做三角形的外心. 符号语言表示如下： ∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分线段BC，AB，AC， ∴直线MN，EF，PQ相交于点O， 且OA＝OB＝OC. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1．尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 步骤：作底边线段→作底边的垂直平分线→在垂直平分线上截取高的长度→连接顶点与底边端点，得到等腰三角形. 2．尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线 步骤：在直线另一侧取点→以已知点为圆心画弧交直线于两点→作这两点连线的垂直平分线，即为所求垂线. 3．三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 $