1.3 直角三角形 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形性质与判定、勾股定理及其逆定理、互逆命题与互逆定理，通过教师提问引导学生回顾三角形内角和定理，探究两锐角关系及逆定理，搭建从旧知到新知的学习支架。 以探究式教学为主线，通过构造图形证明勾股定理培养几何直观与推理能力，对比三组命题归纳互逆命题概念发展抽象思维，规范符号语言训练数学表达，助力学生提升逻辑推理与创新意识，为教师提供可操作的探究教学流程，提升课堂效率。

第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.3 直角三角形（第2课时） 一、教学目标 1.经历直角三角形全等判定方法＂HL＂的探索过程，理解＂斜边、直角边＂判定定理的推导逻辑. 2.能规范运用＂HL＂判定定理，完成两个直角三角形全等的证明与相关问题的求解. 3.体会直角三角形全等判定的特殊性，提升几何推理与演绎证明的能力. 二、教学重点及难点 重点：理解并掌握直角三角形全等的＂HL＂判定定理，能运用该定理判定直角三角形全等. 难点：经历＂HL＂判定定理的探究过程，灵活运用＂HL＂解决综合几何问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 教师提问：我们前面已经学过了四种方法证明两个三角形全等，即SSS、SAS、AAS、ASA. 那么，大家想一想，两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？ 如果其中一组等边的对角都是直角呢？请你画一画，并与同伴进行交流. 【师生活动】学生独立画图探究一般三角形与直角三角形的“两边及对角相等”情况，之后进行小组合作交流，教师注意适时引导. 【学生归纳】两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不全等. （如图） 教师追问：已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？ (1)假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？ (2)你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流. 梳理上述作图过程，请你总结＂已知直角三角形的斜边和一条直角边，用尺规作这个三角形＂的方法和步骤. 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主作图，并能尝试总结方法. 如图，已知线段a，c（a<c），用尺规作Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝c，BC＝a. 作法： 1.作射线CN. 2.过点C作射线CN的垂线CM. 3.在射线CM上截取CB＝a. 4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A. 5.连接AB. △ABC就是所要作的直角三角形. 教师提问：小组比较作出的直角三角形是否全等，由此你是否能发现判定直角三角形全等的一种“特有”方法？尝试用规范的数学语言概括你的发现. 并证明它的正确性. 设计意图：要求学生依据给定的线段a，c，用尺规作出直角三角形，通过与同伴交流，比较大家所作出的三角形是否能够重合，获得判断直角三角形全等的特殊条件. 【师生活动】教师引导学生总结出：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 先分析该命题的条件和结论；再画出图形，依据图形用符号语言写出“已知”和“求证”. 答案预设： 已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明. 教师点拨：根据勾股定理求出BC及B′C′，再根据SSS定理进行判定. 证明：在△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴BC2＝AB2－AC2 (勾股定理). 同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2. ∵AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∴BC＝B′C′. ∴△ABC ≌△A′B′C′ (SSS). 【归纳】定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”. 符号语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，BC＝B′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). 设计意图：通过＂HL＂定理的推导渗透转化的思想，体验从特殊到一般的思维方式，发展合情推理与演绎推理的能力，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，培养学生严谨的治学态度和创造性地解决问题的能力. 【典型例题】 例 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？ 解：根据题意，可知： ∠BAC＝∠EDF＝90°， BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL). ∴∠CBA＝∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵∠DEF＋∠EFD＝90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠CBA＋∠EFD＝90°. 设计意图：通过例题讲解，巩固强化＂斜边、直角边（HL）＂这一特定的判别方法在实际问题中的应用，培养学生的应用意识，体会数学模型思想。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）. 这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.3 直角三角形（第1课时） 一、教学目标 1.经历直角三角形性质与判定的归纳过程，复习直角三角形相关知识，掌握其性质与判定方法. 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能规范运用定理解决相关几何问题. 3.结合具体实例理解互逆命题、互逆定理的概念，体会原命题成立时其逆命题不一定成立，提升逻辑推理与抽象思维能力. 二、教学重点及难点 重点：直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的掌握与运用；互逆命题、互逆定理的概念理解. 难点：勾股定理及其逆定理的证明方法，以及灵活运用定理解决综合几何问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理. 教师提问：我们曾经探索过直角三角形的性质.结合我们学过的知识来回答以下问题. 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 【师生活动】学生自主交流探究各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明. 答案预设：（问题1） 在直角三角形中，两个锐角的和等于90°，即这两个锐角互余. 由三角形内角和定理，易得：两锐角的和＝180°－90°＝90°. 答案预设：（问题2） 已知：在△ABC中，∠A＋∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中， 根据三角形内角和定理有：∠A＋∠B＋∠C＝180°， 又有∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－90°＝90°. ∴△ABC是直角三角形. 【归纳】定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 数学符号语言如下： ∵在△ABC中，∠A＋∠B＝90°. ∴△ABC是直角三角形. 设计意图：让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明． 【探究新知】 探究：勾股定理及其逆定理的证明. 教师提问：我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理.同学们动手试一试. 【师生活动】教师提出问题，学生互相交流探究各自的结论，教师适时引导. 答案预设： 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c. 求证：a2+b2＝c2. 证明：如下图，分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接EB，CH. 过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N. ∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°＋∠CAB，AB＝AH， ∴△EAB≌△CAH (SAS). 又∵S正方形ACDE＝2S△EAB， S长方形AHNM＝2S△CAH， ∴b2＝S长方形AHNM. 同理a2＝S长方形MNIB. ∴c2＝a2+b2. 【归纳】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 教师追问：反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出＂这个三角形是直角三角形＂的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流. 【师生活动】师生共同来完成. 答案预设： 已知：如图，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2． 求证：△ABC是直角三角形． 教师点拨：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证． 证明：如图作Rt△A'B'C'，使∠A'＝90°，A'B'＝AB，A'C'＝AC， 则A'B'2＋A'C'2＝B'C'2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B'C'2. ∴BC＝B'C'. ∴△ABC≌△A'B'C' (SSS). ∴∠A＝∠A'＝90°(全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC是直角三角形. 【归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言如下：在△ABC中， ∵AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC是直角三角形. 设计意图：通过“逆向思考勾股定理”的问题，引导学生自主探究勾股定理的逆定理，在构造全等直角三角形的证明过程中，培养逆向思维与逻辑推理能力；同时体会“构造法”在几何证明中的作用，帮助学生建立“性质与判定”的双向关联思维，深化对直角三角形的理解. 【探究新知】 探究：互逆命题和互逆定理. 教师提问：观察上述归纳总结中勾股定理和它的逆定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗？与同伴进行交流. 【学生归纳】勾股定理的条件是逆定理的结论，结论是逆定理的条件. 教师提问： 再观察下面三组命题： 1.如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 2.如果a＝b，那么a2＝b2； 如果a2＝b2，那么a＝b. 3.一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流. 【师生活动】根据学生的回答情况引导归纳： 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题. 设计意图：教师通过几对数学中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念． 教师提问：你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？与同伴进行交流. 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生能够自主回答. 答案预设： 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个数相等. 原命题为真命题，逆命题为假命题. 教师追问：想一想，一个命题是真命题，它的逆命题是真命题还是假命题？ 【师生活动】在学生小组合作的基础上，根据学生的总结情况引导归纳： 原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题． 【归纳】教师总结引出互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 这两个定理称为一对互逆定理. 举例：我们已经学习了一些互逆的定理，如：勾股定理及其逆定理；两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行. 设计意图：通过“有理数平方”的命题实例，引导学生小组合作探究原命题与逆命题的真假关系，自主归纳出互逆命题、互逆定理的概念；在交流讨论中培养学生的逻辑辨析与语言表达能力. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余； 判定：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理及其逆定理 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理的逆定理：如果三角形两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3.互逆命题与互逆定理 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题； 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为一对互逆定理. 学科网（北京）股份有限公司 $