专题 19.2 二次根式的乘法与除法（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 19.2 二次根式的乘法与除法（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式乘法法则 1 ★【题型 1】二次根式的乘法运算法则的理解 2 ★【题型 2】二次根式的乘法运算 3 ★★【题型 3】二次根式的乘法运算 5 【知识点二】二次根式除法法则 7 ★【题型 4】二次根式除法法则的理解 7 ★【题型 5】二次根式除法运算 8 ★★【题型 6】二次根式除法运算 10 【知识点三】最简二次根式 11 ★【题型 7】最简二次根式的判断 12 ★【题型 8】化为最简二次根式 13 ★【题型 9】求最简二次根式的参数 15 ★【题型 10】二次根式乘除混合运算 16 ★★【题型 11】二次根式乘除混合运算 18 二.中考真题 20 （一）选择题（4题） 20 （二）填空题（6题） 21 （三）解答题（2题） 23 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式乘法法则 一般地，二次根式的乘法法则是 反过来，就得到 ★【题型 1】二次根式的乘法运算法则的理解 【例题1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 解：A、，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算错误，不符合题意； D、，故原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则即可求解． 解：， ∴只有A正确，符合题意，B、C、D错误，不符合题意； 故选：A ． 【变式2】（23-24八年级下·河南南阳·月考）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算法则，直接利用二次根式的乘法运算法则依次计算进行判断即可． 解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． ★【题型 2】二次根式的乘法运算 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确  见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法，正确的计算是解题的关键． 先将带分数化为假分数，计算括号内的二次根式的乘法，然后计算积的乘方，最后再算乘法即可． 解：他的做法不正确．正确的解答过程如下： 原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘法法则计算，即可作答． （3）根据二次根式的乘法法则计算，再结合二次根式的性质化简，即可作答． （1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解； （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解． （1）解： ； （2）解： ． ★★【题型 3】二次根式的乘法运算 【例题3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． （1）解：原式； （2）原式 ． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【知识点二】二次根式除法法则 一般地，二次根式的除法法则是 ★【题型 4】二次根式除法法则的理解 【例题4】（23-24八年级下·山东济宁·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 解：．，选项不正确，不符合题意； B．，选项正确，符合题意； C．，选项不正确，不符合题意； D．，选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的除法公式是，其中，，解决本题的关键是根据二次根式的除法公式计算出正确结果，再根据计算结果判断正误． 解：A选项：根据二次根式的除法法则，可得：，故A选项计算错误； B选项：根据二次根式的除法法则，可得：，故B选项计算错误； C选项：根据二次根式的除法法则，可得：，故C选项计算正确； D选项：，故D选项计算错误． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质、二次根式乘除法法则化简各项后，再进行判断即可． A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式乘除法，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解答本题的关键． ★【题型 5】二次根式除法运算 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确；见解析 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的除法运算法则，先算出括号里的式子，再算乘除，由此即可求解． 解：不正确，正确解答过程为： ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （1）解：； （2）解：； ★★【题型 6】二次根式除法运算 【例题6】（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 根据二次根式有意义的条件得到，，化简二次根式，再计算除法即可． 解：由题意可得，，，， ∵，， ∴，， ． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式． （1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． （1）解： ． （2）解： ． 【知识点三】最简二次根式 （1） 被开方数不含有分母； （2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 特别提示：在二次根式的运算中，一般要所最后的结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 ★【题型 7】最简二次根式的判断 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·山西阳泉·开学考试）在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，直接利用最简二次根式的定义判断得出结论即可，解题的关键是掌握在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 解：，，为最简二次根式，有3个， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含分母且每个因式的指数都小于2． 本题考查了最简二次根式，掌握基本概念是解题关键． A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． ★【题型 8】化为最简二次根式 【例题8】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． ★【题型 9】求最简二次根式的参数 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． ★【题型 10】二次根式乘除混合运算 【例题10】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． （1）解： （2）解： 【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ． ★★【题型 11】二次根式乘除混合运算 【例题11】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． （1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键； （1）先将二次根式化简，然后去括号计算乘法，再算加减，即可求解； （2）先计算二次根式的除法并将二次根式化简，再算加减，然后即可求解 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 二.中考真题 （一）选择题（4题） 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 解：， 故选：B． 2．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． ． 故选：B． 3．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． （二）填空题（6题） 5．（2025·广西·中考真题） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 解：， 故答案为：． 6．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：， 故答案为：． 7．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 8．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 解： ， 故答案为：60． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 解：， 故答案为：． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 解：∵一个直角三角形两直角边的长分别为1和， ∴斜边为， 故答案为：． （三）解答题（2题） 11．（2025·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2）1 【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减． 解：（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 12．（2024·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）9（2） 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是： （1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可； （2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.2 二次根式的乘法与除法（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式乘法法则 1 ★【题型 1】二次根式的乘法运算法则的理解 2 ★【题型 2】二次根式的乘法运算 2 ★★【题型 3】二次根式的乘法运算 3 【知识点二】二次根式除法法则 3 ★【题型 4】二次根式除法法则的理解 3 ★【题型 5】二次根式除法运算 3 ★★【题型 6】二次根式除法运算 4 【知识点三】最简二次根式 4 ★【题型 7】最简二次根式的判断 5 ★【题型 8】化为最简二次根式 5 ★【题型 9】求最简二次根式的参数 5 ★【题型 10】二次根式乘除混合运算 6 ★★【题型 11】二次根式乘除混合运算 6 二.中考真题 6 （一）选择题（4题） 6 （二）填空题（6题） 7 （三）解答题（2题） 7 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式乘法法则 一般地，二次根式的乘法法则是 反过来，就得到 ★【题型 1】二次根式的乘法运算法则的理解 【例题1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南南阳·月考）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． ★【题型 2】二次根式的乘法运算 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ★★【题型 3】二次根式的乘法运算 【例题3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【知识点二】二次根式除法法则 一般地，二次根式的除法法则是 ★【题型 4】二次根式除法法则的理解 【例题4】（23-24八年级下·山东济宁·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． ★【题型 5】二次根式除法运算 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ★★【题型 6】二次根式除法运算 【例题6】（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）化简下列各式： (1) (2) 【知识点三】最简二次根式 （1） 被开方数不含有分母； （2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 特别提示：在二次根式的运算中，一般要所最后的结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 ★【题型 7】最简二次根式的判断 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山西阳泉·开学考试）在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． ★【题型 8】化为最简二次根式 【例题8】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： （1） ． （2） ． （3） ． ★【题型 9】求最简二次根式的参数 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． ★【题型 10】二次根式乘除混合运算 【例题10】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) ★★【题型 11】二次根式乘除混合运算 【例题11】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 二.中考真题 （一）选择题（4题） 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 2．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 （二）填空题（6题） 5．（2025·广西·中考真题） ． 6．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ． 7．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 8．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 ． （三）解答题（2题） 11．（2025·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 12．（2024·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $