专题 19.1 二次根式及其性质（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 19.1 二次根式及其性质（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的意义 1 ★【题型 1】二次根式的识别 1 ★【题型 2】二次根式的意义 2 ★【题型 3】二次根式的中的参数 4 【知识点二】二次根式的性质（1） 5 ★【题型 4】利用二次根式的性质（1）求值或化简 5 【知识点三】二次根式的性质（2） 6 ★【题型 5】利用二次根式的性质（2）求值或化简 7 ★★【题型 6】二次根式的意义 8 ★★【题型 7】利用二次根式的性质(1)（2）综合求值或化简 10 二.中考真题 13 （一）单选题（4题） 13 （二）填空题（4题） 15 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的意义 一般地，我们把形如同的式子叫做二次根式.“”称为二次根号. ★【题型 1】二次根式的识别 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【变式1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． ★【题型 2】二次根式的意义 【例题2】（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 【变式1】．（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【变式2】（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是 ． ★【题型 3】二次根式的中的参数 【例题3】（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【知识点二】二次根式的性质（1） 一般地，. ★【题型 4】利用二次根式的性质（1）求值或化简 【例题4】（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·月考） ． 【知识点三】二次根式的性质（2） 一般地，. ★【题型 5】利用二次根式的性质（2）求值或化简 【例题5】（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·月考）化简： ． 【变式2】（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 【变式3】（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为 ． ★★【题型 6】二次根式的意义 【例题6】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·月考）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）实数x、y满足，则yx＝ ． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·月考）求下列各式中的取值范围． (1)二次根式在实数范围内有意义． (2)在实数范围内成立． ★★【题型 7】利用二次根式的性质(1)（2）综合求值或化简 【例题7】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）实数、在数轴上的位置如图所示，化简：． （2）已知，求的立方根． 二.中考真题 （一）单选题（4题） 1．（2025·江苏连云港·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（4题） 5．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 7．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 8．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.1 二次根式及其性质（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的意义 1 ★【题型 1】二次根式的识别 1 ★【题型 2】二次根式的意义 2 ★【题型 3】二次根式的中的参数 4 【知识点二】二次根式的性质（1） 5 ★【题型 4】利用二次根式的性质（1）求值或化简 5 【知识点三】二次根式的性质（2） 6 ★【题型 5】利用二次根式的性质（2）求值或化简 7 ★★【题型 6】二次根式的意义 8 ★★【题型 7】利用二次根式的性质(1)（2）综合求值或化简 10 二.中考真题 13 （一）单选题（4题） 13 （二）填空题（4题） 14 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的意义 一般地，我们把形如同的式子叫做二次根式.“”称为二次根号. ★【题型 1】二次根式的识别 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【变式1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． ★【题型 2】二次根式的意义 【例题2】（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解不等式，熟知二次根式的被开方数为非负数是解答的关键． （1）根据二次根式的被开方数为非负数得到，进而解不等式即可； （2）根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零得到，然后解不等式即可； （3）根据x为任意实数时，，即可解答． （1）解：要使有意义，则，解得， 即当时，有意义； （2）解：要使有意义，分母，且被开方数， ∴，解得． 即当时，有意义； （3）解：因为，所以， 即无论x取何实数，都大于0，所以对任意实数x都有意义． 即当x为任意实数时，有意义． 【变式1】．（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 【变式2】（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可． 解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． ★【题型 3】二次根式的中的参数 【例题3】（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 【知识点二】二次根式的性质（1） 一般地，. ★【题型 4】利用二次根式的性质（1）求值或化简 【例题4】（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)8 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）-（4）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解： 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质和平方的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． 逐一计算每个选项，找出计算不正确的选项． 解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，但选项写为，计算错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·月考） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点三】二次根式的性质（2） 一般地，. ★【题型 5】利用二次根式的性质（2）求值或化简 【例题5】（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，先将被开方数因式分解，再根据二次根式的性质进行化简即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·月考）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，计算即可求解． 解：由二次根式的性质，．由于，故，因此． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 解：因为点在第三象限， 所以且，解得． 所以原式． 故答案为2． ★★【题型 6】二次根式的意义 【例题6】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·月考）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）实数x、y满足，则yx＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组，二次根式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算即可． 【详解】解：由有意义，得 ，即， 解得， ∴． 则． 故答案为：3． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·月考）求下列各式中的取值范围． (1)二次根式在实数范围内有意义． (2)在实数范围内成立． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式乘法法则，熟练掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． （2）依据二次根式乘法法则成立的条件，两个被开方数都为非负数，从而列不等式组求解． 【详解】（1）解：要使有意义，则， ， ； （2）解：要使成立，则 ， 由得， 由得， 所以． ★★【题型 7】利用二次根式的性质(1)（2）综合求值或化简 【例题7】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）实数、在数轴上的位置如图所示，化简：． （2）已知，求的立方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，求一个数的立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先观察数轴得，则，再化简，即可作答； （2）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性，求得的值，进而求得立方根，即可求解． 【详解】（1）解：观察数轴得， 则， ∴ ， （2）解： ∵ ∴，， ∴ ∵ ∴的立方根为 二.中考真题 （一）单选题（4题） 1．（2025·江苏连云港·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 3．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 4．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． （二）填空题（4题） 5．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 7．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 8．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $