20.2勾股定理的逆定理及其应用知识归纳与题型突破 （五题型） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用知识归纳与题型突2025-2026 学年人教版八年级下册（五题型） 知识归纳： 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 题型突破： 题型一：判断三边能否构成直角三角形 1.已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2.下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 3．以下不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 4．以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．6，8，11 C．1，1， D．5，12，23 5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6、8、10 B．1、、2 C．2、3、4 D．7、24、25 题型二：勾股数 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 2.下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 3.下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 4.在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 5.下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型三：网格中判断直角三角形 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 3.如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4.如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 题型四：利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上； (1)证明△ABC是直角三角形； (2)求边上的高． 3.如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 4.如图，在△ABC中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 5.如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 题型五：勾股定理的逆定理实际应用 1.我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 2.公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 3.一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 4.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】 20.2勾股定理的逆定理及其应用知识归纳与题型突2025-2026 学年人教版八年级下册（五题型） 知识归纳： 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 2. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 题型突破： 题型一：判断三边能否构成直角三角形 1.已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 2.下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】D 3．以下不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 【答案】D 4．以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．6，8，11 C．1，1， D．5，12，23 【答案】C 5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6、8、10 B．1、、2 C．2、3、4 D．7、24、25 【答案】C 题型二：勾股数 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【答案】B 2.下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 【答案】A 3.下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 【答案】B 4.在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 【答案】A 5.下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 题型三：网格中判断直角三角形 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【答案】D 3.如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 5.如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 【答案】 8 32 40 直角 题型四：利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上； (1)证明△ABC是直角三角形； (2)求边上的高． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵△ABC的三个顶点均在边长为的小正方形组成的网格的格点上， ∴，，， ∵， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：设BC边上的高为， ∴ ∴， ∴， ∴边上的高为． 3.如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 【答案】的长为 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的长为． 4.如图，在△ABC中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 【答案】(1)是直角三角形；(2)． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 5.如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【详解】解：在中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形的面积为． 题型五：勾股定理的逆定理实际应用 1.我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 2.公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 【答案】 3.一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1)(2)北偏西 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 4.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析(2) 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 学科网（北京）股份有限公司 $