第21章 专题8 特殊平行四边形中的动点与最值问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(人教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦“特殊平行四边形中的动点与最值问题”，通过典例引入（如正方形中△BFE周长最小值），结合变式训练（菱形、矩形中的线段和最值），构建从基础转化到综合应用的学习支架。 其亮点在于以轴对称转化、图形性质转化为核心，培养几何直观（数学眼光），通过全等推理和方程求解发展推理能力（数学思维）。典例与变式覆盖多种图形，帮助学生掌握转化方法，教师可高效开展专题教学，提升学生解题能力。

2 第二十一章　四边形 专题8　特殊平行四边形中的动点 与最值问题 3 ❶ 利用轴对称进行线段的转化 典例1　如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上且BE=2，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 （　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 类型1 最值问题 D DF DE 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 4 1. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ADC=120°，E为AB边的中点，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【变式训练】 B 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 5 2.（唐山遵化期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为 （　　） A. 5 B. 2 C. 2 D. 4 D 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 6 3.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC= 120°，则MA+MB+MD的最小值是 （　　） A. 3 B. 3+3 C. 6+ D. 6 D 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 7 【解析】如图，过点M作ME⊥AB，垂足为E，连接BD交AC于O. ∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB=BC=DC， ∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE=30°，∴AM=2ME. ∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2（ME+MD）. 连接DE，则ME+MD≥DE. 当DE⊥AB时，DE取得最小值，即ME+MD取得最小值， 故此时MA+MB+MD最小，最小值为2DE. ∵菱形ABCD的边长为6，△ADB是等边三角形， ∴当DE⊥AB时，AE=3，DE===3. ∴MA+MB+MD的最小值是6. 故选D. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 8 ❷ 利用特殊图形的性质进行线段的转化 典例2　（石家庄藁城期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为斜边BC上的一个动点，过点P分别作PE⊥AB， PF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，则线段EF的最小值为_______. AP 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 9 【变式训练】 4. 如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E，F两点，连接EF，则线段EF的最小值为________. 2 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 10 5.（石家庄裕华期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC=10，BD=5，则EF的最小值为________. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 11 ❸ 利用两条线段的和（差）求线段的最值 典例3　如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在边OM上运动时，点C随之在边ON上运动，若CD=5，BC=24，则在点B，C运动的过程中，点D到点O的最大距离为 （ ） 　A. 24 B. 25 　C. 3+12 D. 26 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 12 OE DE 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 13 【答案】B 解析：如图，取BC的中点E，连接OE，DE，OD. ∵OD≤OE+DE，∴当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大. ∵BC=24，∴OE=EC=BC=12. 又CD=5， ∴DE===13， ∴OD的最大值为12+13=25. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 14 【变式训练】 6. 如图，在△BCP中，BP=2，PC=4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD，并连接AP，则AP的最大值为 （　　） A. B. 6 C. 6 D. 2+4 D 【解析】如图，过点B作BE⊥BP，且BE=BP，连接PE，CE， 则△BPE是等腰直角三角形，∴PE=BP=2. 易证△CBE≌△ABP，∴CE=AP. ∵CE≤PE+CP，∴CE的最大值为2+4，即AP的最大值为2+4. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 15 类型2 动点与形状探究 典例4　如图，在菱形ABCD中，AB=6 cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C出发，分别沿AB，CB向点B匀速运动，点E运动的速度为1 cm/s，点F运动的速度为2 cm/s，设运动时间为t s. 当t为何值时，△DEF为等边三角形？ △BDF BF 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 16 【规范解答】如图，连接BD. ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， ∴AB=AD，∠DBC=∠ADB=∠ADC=60°，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD. 当△DEF是等边三角形时，∠EDF=60°. 又∠ADB=60°，∴∠ADE=∠BDF. 在△ADE和△BDF中， ∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE=BF. 由题意知AE=t cm，CF=2t cm，∴BF=BC-CF=（6-2t） cm， ∴t=6-2t，解得t=2. ∴当t=2时，△DEF为等边三角形. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 17 【变式训练】 7.（邢台清河期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2 cm，BC=8 cm，点P从点D出发沿DA向点A运动，到点A即停止，同时点Q从点B出发沿BC向点C运动，到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为t s. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 18 （1）请说明当t为何值时，四边形ABQP是矩形； 解：（1）由题意知BQ=DP=t cm，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=8 cm，∠ABC=90°，则AP=CQ=（8-t）cm. 当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即t=8-t，解得t=4. ∴当t=4时，四边形ABQP是矩形. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 19 （2）请说明当t为何值时，四边形AQCP是菱形. 解：（2）在Rt△ABQ中，由勾股定理，得AQ= cm. ∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形， ∴当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形，则=8-t， 解得t=，∴当t=时，四边形AQCP是菱形. 2 3 4 5 6 7 1 典例1 典例2 典例3 典例4 20 21 $