第21章 专题7 正方形中的“半角”模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(人教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦第二十一章四边形专题7“正方形中的‘半角’模型”，从模型概念（过正方形顶点夹角45°的两条射线）导入，通过问题链（BM=DN时关系、BM≠DN时证明、拓展旋转位置及一般四边形）构建学习支架，衔接特殊到一般的探究脉络。 其亮点在于以几何直观为基础，通过旋转、截长补短构造全等三角形培养推理能力，结合模型意识从正方形拓展到邻边相等对角互补四边形。实例如证明BM+DN=MN时构造△ABE≌△ADN，帮助学生形成逻辑推理习惯，教师可借助系统例题提升教学效率。

2 第二十一章　四边形 专题7　正方形中的“半角”模型 3 【模型识别】 1. 概念：过正方形的一个顶点作两条射线，两条射线的夹角为45°，如图1. 2. 一般解题思路：通过旋转或截长补短构造全等三角形，将线段进行转化，如图2. 4 【模型探究】 在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN的两边分别交CB，DC于点M，N. （1）如图1，当BM=DN时，BM，DN与MN之间的数量关系为BM+DN_____ MN（填“>”“<”或“=”）. = 5 （2）当BM≠DN时，如图2. ①BM，DN与MN之间有怎样的数量关系？请加以证明. 【解析】①BM+DN=MN. 证明如下： 如图，延长CB到点E，使BE=DN，连接AE，得到△ABE， 则∠ABE=∠ABC=∠ADN=90°. 又AD=AB， ∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠DAN=∠BAE. ∵∠MAN=45°，∴∠DAN+∠BAM=45°， ∴∠BAE+∠BAM=45°=∠MAN. 又AM=AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN. ∵ME=BM+BE=BM+DN，∴BM+DN=MN. 6 ②若正方形的边长为a，则△CMN的周长为_______. ③在②的基础上，过点A作AG⊥MN，垂足为G，如图3，试说明MA平分∠BMN，NA平分∠DNM，并求AG的长. 解：③如图，由①知，△AEM≌△ANM， ∴∠AME=∠AMN，即MA平分∠BMN. ∵AB⊥BM，AG⊥MN，∴AG=AB=a. ∵AD⊥DN，AG⊥MN，且AD=AG=a，∴NA平分∠DNM. 2a 7 【拓展延伸】 拓展一：将∠MAN绕点A旋转到图4的位置，BM，DN与MN之间又有怎样的数量关系？请加以证明. 解：MN=DN-BM. 证明如下：如图，在线段DN上截取DQ=BM，连接AQ. 在△ADQ和△ABM中， ∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴AQ=AM，∠DAQ=∠BAM， ∴∠QAN=90°-∠DAQ-∠BAN=90°-∠BAM-∠BAN=90°-∠MAN=45°=∠MAN. 在△AQN和△AMN中， ∴△AQN≌△AMN（SAS），∴MN=QN，∴MN=QN=DN-DQ=DN-BM. 8 拓展二：将正方形ABCD变成一组邻边相等、对角互补的四边形，如图5，已知AB=AD，∠B+∠D=180°，∠MAN=∠BAD，此时，BM，DN与MN之间又有怎样的数量关系？请加以证明. 解：MN=DN+BM. 证明如下： 如图，延长CD至点Q，使DQ=BM，连接AQ，则∠ADQ+∠ADC=180°. ∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADQ. 又AB=AD，∴△ABM≌△ADQ（SAS），∴∠BAM=∠DAQ，M=AQ. ∵∠MAN=∠BAD，∴∠BAM+∠NAD=∠BAD， ∴∠DAQ+∠NAD=∠BAD，即∠NAQ=∠NAM. 又AN=AN，∴△NAM≌△NAQ（SAS），∴MN=NQ. ∵BM=DQ，∴MN=NQ=DN+DQ=DN+BM. 9 10 $