5.3.2函数的极值与最大（小）值 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

§5.3.2 函数的极值与最大（小）值 目录 题型1：由图像判断函数的极值 3 题型2：求函数的极值（极值点） 8 题型3：已知函数的极值求参数 13  已知函数极值，求参数的值 13  已知函数极值点情况，求参数的值 17 题型4：求不含参函数的最值 32 题型5：有关含参函数的最值 33 题型6：导数在优化问题中的应用 41 【强化训练】 45 1. 函数的极值 函数在点的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值。 函数在点的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。 2. 求函数极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 提醒 是为可导函数的极值点的必要不充分条件. 3. 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 4. 求函数在区间上的最大（小）值的步骤 (1) 求函数在区间上的极值； (2) 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 题型1：由图像判断函数的极值 方法提炼 由图象判断函数的极值要注意： (1) 由的图象与轴的交点，可得函数的可能极值点； (2) 由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性.两者结合可得极值点. 【例1.1.】 已知下列各选项是函数的导函数的图象，则是函数的极小值点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】由极小值点的定义，导函数与原函数的关系，即可选出答案. 【详解】当时，单调递增，当时，单调递减， 要使是函数的极小值点，则需，， 对于AB选项，不是函数的极值点； 对于C选项，是函数的极小值点，正确； 对于D选项，是函数的极大值点. 故选：C 【例1.2.】 已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导数大于0和小于0 确定的单调性，结合极值点的定义，即可得到答案. 【详解】由图象可知，定义域，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，无极小值点， 故选：D. 【例1.3.】 已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 【例1.4.】 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．为的极小值 B．恰有两个极值点 C．为的极大值 D．恰有一个极值点 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】利用导数图象判断函数的极值点，根据函数在某点取得极值的充要条件是该点两侧导函数的符号发生变化进行解答. 【详解】该图象为函数的导函数的图象. 当为0，且左右两侧符号发生变化时，该函数取得极值. 通过图象可以看出，导函数为0的点有两个，分别是在和处. 在时，导函数左右两侧符号相反，左侧为负，函数递减，右侧为正，函数递增， 所以该函数在处取得极小值. 而在处，导函数左右两侧的符号均为正，所以此处不是函数的极值点. 这说明恰有一个极值点. 故选：D. 【例1.5.】 函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由导函数图象可判断的正负性，进而得出函数的单调性，即可判断函数的极值点个数. 【详解】设的零点从左到右依次为， 则当或时，；当或时，， 则在和上单调递减，在和上单调递增， 则的极小值点为，，极大值点为， 故函数的极值点个数为. 故选：C 【例1.6.】 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小打到依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 题型2：求函数的极值（极值点） 方法提炼 求函数的极值（极值点）的步骤： (1) 确定函数的定义域并求； (2) 解方程，得方程的根； (3) 检查在方程的根的左右两侧导数值的符号，确定极值点和函数的极值。 【例2.1.】 设函数，则（   ）． A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求导，即可根据单调性求解. 【详解】由可得， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 故为的极大值点， 故选：A 【例2.2.】 函数的极值点是（   ） A．，0，1 B．，1 C．，， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】根据函数极值点的定义求解即可. 【详解】由，则， 令，得或；令，得或，且， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则函数的极值点为. 故选：B. 【例2.3.】 函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值 【分析】对求导，通过分析的符号即可判断单调性，从而可求极值点. 【详解】根据题意知，则， 令，则可得或， 当或时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以当时取极大值，当时，取极小值，则有两个极值点. 故选： 【例2.4.】 已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调减区间是，单调增区间是；极小值为，无极大值 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，进而判断出函数的极值点，求得极值即可. 【详解】（1）当时，，， 则，又， 所以在点处的切线方程为即； （2）因为，令得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是 故当时，函数有极小值为，无极大值. 【例2.5.】 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线的方程； (2)讨论的极值. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值. 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，分析函数单调性求出极值即得. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以的方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 而，则当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，无极小值. 【例2.6.】 已知函数． (1)当0＜a≤4π时，证明：函数f(x)在定义域内递增； (2)当a＝14时，试讨论f(x)在（0，π）内极值点的个数． 【答案】(1)答案见详解； (2)2． 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数与基本不等式即可证明； （2）设，，分析单调性可得使得，使得，从而判断在内的正负性即可判断在内的极值点个数． 【详解】（1）函数的定义域为 因为，则 故 所以函数f(x)在定义域内递增； （2）当时，， 设， 在上单调递增，在上单调递减， 由，当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为；； 故使得，且当时， 则当时， 又因为，故使得， 且当时，，且当时，， 则当时，， 则当时，， 所以在处取到极大值，在处取到极小值， 故在内有2个极值点． 题型3：已知函数的极值求参数 · 已知函数极值，求参数的值 方法提炼 已知函数极值点或极值求参数的2个要领： (1) 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2) 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【例3.1.】 函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由取得极值的必要条件得或，再由取极值的充分条件检验即可. 【详解】由题意， 因为函数在时有极值10， 所以，消去可得，解得或， 当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意； 当时，，， 或，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意. 故选：B. 【例3.2.】 若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】利用导数讨论的单调性及极值情况，即可求得的值. 【详解】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 【例3.3.】 若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题意可得是的变号零点，则可求出并通分化简后得到，再检验时，是否为函数的极大值点即可得. 【详解】 ， 由，则，， 故恒成立，令， 由是函数的极大值点， 故，解得， 当时，， 则，，即且， ， 当时，， 当时，， 故在、上单调递增， 在、上单调递减， 故是函数的极大值点，符合要求. 故选：A. 【例3.4.】 已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的正负，对分类讨论，判断极值点，即可求解. 【详解】由得，令， 若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去. 若，可知是的极大值点，故不符合题意. 若，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意. 当 ，，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意. 若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去. 综上可知： 故选：B 【例3.5.】 已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导后令，再求，分及讨论的正负，从而得到的单调性与对应极值点即可得解. 【详解】，令，则， 当时，，故单调递增， 又，故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的唯一极小值点，符合题意， 当时，， 故一定存在，使在上单调递减， 此时不是函数的极小值点，故时不符合题意， 综上所述，的取值范围为. 故选：A. · 已知函数极值点情况，求参数的值 方法提炼 (1) 极值点的个数问题可以转化为方程根的个数问题，最终化归为函数与图像的交点问题，从而求出参数的取值范围。其中要注意极值点的个数与方程根的个数不是完全相同，只有变号零点的个数才是对应极值点的个数。 (2) 对于函数无极值的问题，往往转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。 (3) 若函数在区间内有极值，那么在内不是单调函数。 【例3.6.】 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】先求导函数，根据存在极值得出在给定区间有变号零点,设再根据导数求出最值即可求解. 【详解】, 函数在上存在极值，在该区间有变号零点. 即, ,单调递减,设， 单调递增; 单调递减; , , . 故选:B. 【例3.7.】 若函数在上有极大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对函数求导，设，利用对勾函数性质求出单调性和最值，根据极大值的概念结合对勾函数的性质可得实数的取值范围． 【详解】由题意， 因为函数在上有极大值， 所以在内有解，且该解两侧导函数符号由正变负， 所以在内有解，记， 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增；且， 所以，此时在有解，在解左侧满足，右侧， 满足极大值条件，所以. 故答案为： 【例3.8.】 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导，将问题转化为有两个不同的零点，也即是关于x的方程有两个不同的解，构造函数，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性和最值，从而可得选项. 【详解】函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的零点， 故关于x的方程有两个不同的解， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减， 又当时，；当时，， 且，，故， 即. 故选：D. 【例3.9.】 已知函数（a为常数）. (1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，代入点运算即可； （2）整理可得，分、和三种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 则，即切点为，切线斜率， 可得切线方程为， 将点代入得， 整理可得解得：，所以. （2）因为， 当，即时，在定义域内恒成立， 可知在上单调递增，所以无极值点，不合题意； 当，即时，令，解得或； 令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，符合题意； 当，即时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以有1个极值点，不符合题意； 综上所述：a的取值范围是. 【例3.10.】 函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 又因为当时，则， ， 所以存在唯一，使得， 所以函数在时，时， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以要使函数在区间上存在极值， 所以的最大值为3， 故选:B. 【例3.11.】 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、判断零点所在的区间、根据极值点求参数 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 【例3.12.】 若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】转化为有两个变号零点，求出零点后根据题意列不等式求解即可. 【详解】由得， 由函数在区间上有两个极值点知， 在区间上两个变号零点， 令得或，由题意， 解得，且，所以实数的取值范围是. 故选：D 【例3.13.】 已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1），求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，结合导函数特征，分，和三种情况，解不等式，求出函数单调性； （3）在（2）基础上，得到，由二次函数对称轴得到，且，解得． 【详解】（1）当时，，， ，此时， 因此曲线在点处的切线方程为． （2）函数的定义域为，， 当，即时，，令，解得， 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，中，， 当，即时， 方程在上仅有一个正根， 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 方程在上有两个不等正根， 分别为，， ， 故， 令令得，令得， 此时函数在和上单调递增， 在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减； （3）由（2）可知，若函数在区间内存在两个不同的极值点，则， 函数的对称轴为，且， 故，且，解得． 【例3.14.】 若函数无极值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】由题意将问题转化为恒成立，利用判别式法求解即可. 【详解】的导数为， 因为函数无极值，在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：D 【例3.15.】 函数既有极小值又有极大值，则a的取值范围为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值 【详解】由题设方程有两个不等的实数根，则判别式，即，解之得或，应选答案B． 【例3.16.】 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 【例3.17.】 在上既有极大值也有极小值，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数、函数极值点的辨析 【分析】由原函数求出导函数，由题意得出方程有两相异根，由根的判别式求得范围并检验即得. 【详解】由求导得， 因函数在上既有极大值也有极小值，故必有两个相异实根，即，解得. 不妨设方程的两根为且则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，单调递增， 即在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 故选：A. 【例3.18.】 (多选)若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值求参数 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 【例3.19.】 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解. 【详解】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点， . 故选：A. 【例3.20.】 若函数有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题意可得有两个变号零点，即方程在有两个不同的实根，其中，从而得，结合基本不等式求解即可. 【详解】解：的定义域为，， 要使有两个极值点， 则有两个变号零点， 即方程有两个不同的实根， 令，则，因为函数在上单调递增， 所以对任意，存在唯一使得， 故只需方程在有两个不同的实根， 即， 由，当且仅当，即时等号成立. ，即． 故选：A. 【例3.21.】 若函数有三个极值点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数 【分析】把题意转化为函数有三个极值点，即必有两个不等于1的正实数根.利用导数求出，再验证其符合题意. 【详解】的定义域为.. 令，显然x=1是方程的一个根. 由函数有三个极值点，可知必有两个不等于1的正实数根. 令，则. 令，有；令，有； 所以，因此有. 此时有两个根a、b，其中， 所以在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减；在上，，单调递增. 所以有三个极值点，符合题意. 故. 故选：A 【例3.22.】 函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数导数，将问题转化为存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 则， 由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根， 即存在大于1的解，即存在大于1的解， 而时，随x增大而增大，故， 故， 故选：B 【例3.23.】 设函数，若函数存在两个极值点，，且极小值点大于极大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先求解出导函数，然后根据有两个极值点得到图象有两个交点，考虑临界情况：与相切，根据导数值等于切线斜率等于切点与点连线的斜率求解出的值，然后分析是否满足极小值点大于极大值点，由此求解出结果. 【详解】因为，所以， 又因为有两个极值点，所以有两解， 所以图象有两个交点， 因为，当时，单调递减，当时，单调递增， 当与相切时，设切点为，且过定点， 所以，所以， 所以或， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以要使图象有两个交点，则或， 当，设图象交点的横坐标为，如下图所示： 由图可知：当时，当时，，当时，， 所以极小值点为，极大值点为，显然满足， 同理可得：时亦满足， 综上可知：的取值范围是. 故选：A. （注：本例中还可以通过分析特殊值去求解问题.） 题型4：求不含参函数的最值 【例4.1.】 函数在区间上的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、导数的运算法则 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：A 【例4.2.】 已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】去绝对值，当时，利用导数讨论其单调性，由单调性即可得最大值. 【详解】当时，，所以在上单调递增． 当时，， 所以，当时，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，在上单调递增，在上单调递减， 所以． 故选：B． 题型5：有关含参函数的最值 方法提炼 有关含有参数的函数的最值问题，一般有两类：一类是求含有参数的函数的最值；另一类是由最值求参数的值或取值范围。 已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 【例5.1.】 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】在区间内有最小值，可转化为的导函数在区间有变号零点，再根据二次函数的零点分布，即可求解. 【详解】由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得. 故选：C. 【例5.2.】 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知函数最值求参数、根据极值点求参数 【分析】求得，根据在区间上存在最小值，得到且，，设，根据且，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 且在区间上存在最小值， 即在区间上存在， 使得且，， 设，即满足，且， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D. 【例5.3.】 已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围. 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 【例5.4.】 （多选）若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可． 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值， 若函数在区间内有最小值， 此时，解得， 当，即时， 整理得，解得或， 所以， 综上，满足条件的取值范围为，． 故选：CD． 【例5.5.】 若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数研究函数的单调区间和极值，结合已知区间存在最大值，列不等式组求参数范围. 【详解】由，则， 令，解得；令，解得或， 所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处有极大值，在处有极小值， 所以，解得． 故答案为： 【例5.6.】 已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在上的最小值为10，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，通过，讨论导数的符号即可求解； （2）由（1）通过函数单调性，确定最值得到等式即可求解. 【详解】（1）的定义域为． 当时，在上单调递增． 当时，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当时，由（1）知，在上单调递增， 所以，舍去． 当时，在上单调递增，所以，舍去． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，舍去． 当时，在上单调递减，所以， 解得，符合题意． 综上，． 【例5.7.】 设函数． (1)讨论的单调性； (2)是否存在，使得在区间上的最小值为且最大值为2？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)存在，. 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）对函数求导，令，解得，对分类讨论，即可得出函数的单调性； （2）若在区间最小值为最大值为2，结合(1)可得：时，在上单调递减，上单调递增．对分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论. 【详解】（1）对求导得， 令，解得或． 对分类讨论： 当时，令，解得或；令，解得． 在区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 同理可得：当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增． （2）若在区间有最大值2和最小值-2， 由知，在区间上单调递减，上单调递增． 若，则在区间上单调递减，， 所以，解得 若，则在区间上单调递减，上单调递增． 的最小值为的最大值为和中较大的值． 当，即，即时, 即，解得，舍去； 当，即，即时，， 即，即，无解． 综上可得． 【例5.8.】 已知函数，若曲线在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据题意，由切点在切线上可得，再由导数的几何意义即可求得，从而得到结果； （2）根据题意，求导得，得到其极值，再由函数解析式求得，，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，，切点在切线上， 则，即，且， 而在点处的切线斜率为2，即，解得， 所以. （2）由（1）可知，，则，且 令，即，故， 令，即，故或， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值，且， 当时，有极大值，且， 且，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【例5.9.】 已知函数． （1）求的最大值； （2）设实数，求函数在上的最小值． 【答案】（1），（2）时，，当时，， 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【解析】（1）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值 （2）利用（1）的结论，判断出函数的最大值在处取得，最小值在端点处取得，通过对的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值 【详解】解：（1）因为，所以（）， 令，得， 因为当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， （2）， 因为，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为， 所以当时，，， 当时，， 题型6：导数在优化问题中的应用 【例6.1.】 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为，则， 由得，， 令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减，且在处取得最大值，B正确； 故选：B． 【例6.2.】 已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利润最大问题 【分析】根据题意，求得，求得，求得函数的单调性，进而得到答案. 【详解】由题意得，商品的利润， 则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也时函数的最大值． 故选：B. 【例6.3.】 如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】成本最小问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设点距点， 得到，且，再设总的水管费用为元，求得，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】据题意知， 只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省， 设点距点， 如图所示， 则， 所以， 再设总的水管费用为元，则， 可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也是最小值， 所以函数在处取得最小值，此时， 故供水站建立在之间距甲厂处，可使水管费用最省. 故答案为：20 【例6.4.】 某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【答案】(1)，（） (2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【难度】0.65 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、利润最大问题 【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系. （2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值. 【详解】（1）由题意：，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【例6.5.】 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（单位：）关于行驶速度（单位：）满足函数关系．已知甲、乙两地相距．问：当汽车保持怎样的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小？ 【答案】当汽车保持的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小 【难度】0.85 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】构造耗油量与行驶速度的函数关系式，利用导数可求得的最小值点. 【详解】当行驶速度为时，汽车从甲地到乙地的行驶时间为， 设耗油量为，则， ， 恒成立，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ， 当汽车保持的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小. 【强化训练】 1. （多选）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况. 【详解】对于A项，由图象可知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，在处取得极大值.故A正确； 对于B项，由图象可知， 当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减. 所以，3不是函数的极大值点.故B错误； 对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确； 对于D项，由B可知，在上单调递减. 所以，1不是函数的极小值点.故D错误. 故选：AC. 2. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据图象分辨和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，所以，单调递增， 所以实线为的图象，虚线为的图象，， 对A，，单调递增，无最大值，A错误； 对B，，， 由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，B正确； 对C，，由图可知， 所以在上单调递增，无最大值，C错误； 对D，， 由图可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，D错误. 故选：B 3. 已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，对分类讨论求出，验证即可. 【详解】由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 4. 已知函数在处取得极小值，则在的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【解析】由求出的值，然后利用导数可求得函数在的最大值. 【详解】，则， 由题意可得，解得，则， ，令，可得或，列表如下： 极大值 极小值 所以，函数的极大值为，极小值为， 又，， ，则， 所以，. 故选：B. 5. 如图是函数的大致图象，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、求已知函数的极值点 【分析】函数表达式中有三个未知数，将图像与轴的三个交点代入表达式，可求出函数的表达式，是函数的两个极值点，通过求导，根据韦达定理得到的关系式，从而求出 【详解】由图可得：，代入函数表达式得：，解得：，所以：，，由图可得，是函数的两个极值点，令，则或，根据韦达定理得： ， 所以 故选：C 6. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】先求出函数的导数，分析函数的单调性，可得在处取得最小值，由题意可得，从而可求实数的取值范围 【详解】由，得， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 因为函数在区间内有最小值， 所以，且， 所以，且， 解得， 故选：D 7. 设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 8. 若函数在上有极值，则的取值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程在上有两不等实根，通过求二次函数的值域即得的取值范围. 【详解】函数在上有极值， 即在上有变号零点， 也即方程在上有两不等实根， 由可得，当且仅当时，等号成立， 故需使. 故选：B. 9. 已知函数在上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【解析】先求导函数，根据函数在区间内既有极大值又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围. 【详解】, 又函数既有极大值又有极小值， 且， 且. 故选：C 10. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．无最大值 D．在上单调递增 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】分析可知，函数的定义域为，且，利用导数分析函数的单调性与极值，即可得出合适的选项. 【详解】对于函数，该函数的定义域为，且， ，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的极小值为，无极大值， 当时，，故函数无最大值， 函数在上单调递增，BCD都对，A错. 故选：BCD. 11. （多选）已知函数在区间内有两个极值点，，且，则（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、辅助角公式、根据极值点求参数 【分析】由题意可得，求得，即可判断A；判断在上的正负，可判断的单调性，判断B;将代入中，即可判断C; 将代入中,比较大小，可判断D. 【详解】由题意函数在区间内有两个极值点， 则,即，故，所以，A错误； ，， 当，，，所以在区间上单调递减，B选项正确； 又， 所以，C错误； ， 因为，故， 故，D 正确， 故选：BD． 12. （多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极小值点 B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，判断出单调性，可得极值点可判断选项A、B、C；根据与的关系，与关系可判断选项D； 【详解】因为， 令，得或；令，得，或 所以，函数的增区间为，减区间为， 对于A选项，在单调递减，在单调递增， 所以是的极小值点，对； 对于选项，在区间上递增，B错； 对于C选项，因为在单调递减，在单调递增， 因为， 所以，故C 对； 对于D选项，由，可得，所以 ，可得，所以， 所以，故D对； 故选：ACD． 13. 已知在处的切线的斜率等于. (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间以及极值； (3)求函数在上的最小值. 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值； (3). 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义得到方程，解方程即可求解； （2）对函数求导，根据导数判断函数的单调性，即可求出极值； （3）利用（2）中结论，结合函数的单调性，即可确定闭区间上函数的最值. 【详解】（1）因为，所以， 又根据题意有，即，解得. （2）由（1）函数，定义域是，， 令，得；令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为， 而，，故函数在上的最小值为. 14. 函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，从而得极值，即可得解； （2）分和，由单调性得最值，从而求解. 【详解】（1）因为， 令得或， 当时， 所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意； 当时， 在递减，在递增，则为极小值点，符合题意； 所以的取值范围为. （2）当时， 在递增，在递减， 又，， ，， ，满足，则， 当时， 在递减，在递增， ，， ，满足，则， 综上：. 15. 已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)若，的最小值是，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，恰有个极值点；当时，恰有个极值点； (2) 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、已知函数最值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求出的导数，按和分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答即可； （2）利用（1）中信息，按和探讨，利用导数研究函数的最小值求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， ①时，，则，令，可得， 令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以有个极小值点； ②时，， 因为令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，所以，当时取等号. 当时，， 此时，使得， 令，有，令， ，在上单调递增，即， 即有，即在上单调递增， 即，所以， 当时，，此时，使得， 因此，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增， 所以由个极值点； 所以当时，恰有个极值点；当时，恰有个极值点； （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，令，则， 函数在上单调递增，，则， 当时，，使得，，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 其中，即，所以， 而符合要求，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 16. 已知函数，，其中是自然对数的底数. （1）求函数在[0，π] 上的最大值与最小值； （2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导研究函数在[0，π] 上的单调性，进而求出最值； （2）求出，并求导可得，令，求导可得函数在上单调递增，进而可得，对分类讨论：，，，时，利用导数研究函数的单调性和极值即可. 【详解】解：（1）由已知， 令，则 此时恒成立，则在上单调递增， 又，则在上恒成立， 在上单调递增， ； （2）， 令，则， 所以函数在上单调递增， 时，时，， ①时，时，，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 时，函数取到极小值； ②时，令， 解得， i)时， 时，，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 时，函数取到极小值， 时，函数取到极大值； ii) 时，时，， 所以函数在上单调递增，无极值； iii) 时，， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增， 时，函数取到极大值； 时，函数取到极小值； 综上所述： 时，函数在上单调递增，在上单调递减，时，函数取到极小值； 时，函数在，上单调递增，在上单调递减；时，函数取到极小值，时，函数取到极大值； 时，函数在上单调递增，无极值； 时， 函数在，上单调递增，在上单调递减；时，函数取到极大值；时，函数取到极小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.3.2 函数的极值与最大（小）值 目录 题型1：由图像判断函数的极值 3 题型2：求函数的极值（极值点） 5 题型3：已知函数的极值求参数 6  已知函数极值，求参数的值 6  已知函数极值点情况，求参数的值 7 题型4：求不含参函数的最值 10 题型5：有关含参函数的最值 10 题型6：导数在优化问题中的应用 11 【强化训练】 12 1. 函数的极值 函数在点的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值。 函数在点的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。 2. 求函数极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 提醒 是为可导函数的极值点的必要不充分条件. 3. 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 4. 求函数在区间上的最大（小）值的步骤 (1) 求函数在区间上的极值； (2) 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 题型1：由图像判断函数的极值 方法提炼 由图象判断函数的极值要注意： (1) 由的图象与轴的交点，可得函数的可能极值点； (2) 由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性.两者结合可得极值点. 【例1.1.】 已知下列各选项是函数的导函数的图象，则是函数的极小值点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例1.2.】 已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【例1.3.】 已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【例1.4.】 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．为的极小值 B．恰有两个极值点 C．为的极大值 D．恰有一个极值点 【例1.5.】 函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.6.】 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 题型2：求函数的极值（极值点） 方法提炼 求函数的极值（极值点）的步骤： (1) 确定函数的定义域并求； (2) 解方程，得方程的根； (3) 检查在方程的根的左右两侧导数值的符号，确定极值点和函数的极值。 【例2.1.】 设函数，则（   ）． A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【例2.2.】 函数的极值点是（   ） A．，0，1 B．，1 C．，， D．， 【例2.3.】 函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2.4.】 已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【例2.5.】 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线的方程； (2)讨论的极值. 【例2.6.】 已知函数． (1)当0＜a≤4π时，证明：函数f(x)在定义域内递增； (2)当a＝14时，试讨论f(x)在（0，π）内极值点的个数． 题型3：已知函数的极值求参数 · 已知函数极值，求参数的值 方法提炼 已知函数极值点或极值求参数的2个要领： (1) 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2) 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【例3.1.】 函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【例3.2.】 若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【例3.3.】 若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． · 已知函数极值点情况，求参数的值 方法提炼 (1) 极值点的个数问题可以转化为方程根的个数问题，最终化归为函数与图像的交点问题，从而求出参数的取值范围。其中要注意极值点的个数与方程根的个数不是完全相同，只有变号零点的个数才是对应极值点的个数。 (2) 对于函数无极值的问题，往往转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。 (3) 若函数在区间内有极值，那么在内不是单调函数。 【例3.6.】 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 若函数在上有极大值，则实数的取值范围是 . 【例3.8.】 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.9.】 已知函数（a为常数）. (1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围. 【例3.10.】 函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3.11.】 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.12.】 若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.13.】 已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围． 【例3.14.】 若函数无极值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.15.】 函数既有极小值又有极大值，则a的取值范围为（　　） A． B．或 C． D．或 【例3.16.】 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.17.】 在上既有极大值也有极小值，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.18.】 (多选)若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【例3.19.】 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.20.】 若函数有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.21.】 若函数有三个极值点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.22.】 函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.23.】 设函数，若函数存在两个极值点，，且极小值点大于极大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：求不含参函数的最值 【例4.1.】 函数在区间上的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型5：有关含参函数的最值 方法提炼 有关含有参数的函数的最值问题，一般有两类：一类是求含有参数的函数的最值；另一类是由最值求参数的值或取值范围。 已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 【例5.1.】 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 （多选）若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 ． 【例5.6.】 已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在上的最小值为10，求a的值． 【例5.7.】 设函数． (1)讨论的单调性； (2)是否存在，使得在区间上的最小值为且最大值为2？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【例5.8.】 已知函数，若曲线在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 【例5.9.】 已知函数． （1）求的最大值； （2）设实数，求函数在上的最小值． 题型6：导数在优化问题中的应用 【例6.1.】 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【例6.3.】 如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 【例6.4.】 某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【例6.5.】 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（单位：）关于行驶速度（单位：）满足函数关系．已知甲、乙两地相距．问：当汽车保持怎样的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小？ 【强化训练】 1. （多选）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 2. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 3. 已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 4. 已知函数在处取得极小值，则在的最大值为（    ） A． B． C． D． 5. 如图是函数的大致图象，则等于（    ）    A． B． C． D． 6. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 8. 若函数在上有极值，则的取值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 9. 已知函数在上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 10. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．无最大值 D．在上单调递增 11. （多选）已知函数在区间内有两个极值点，，且，则（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 12. （多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极小值点 B．在区间上单调递减 C． D． 13. 已知在处的切线的斜率等于. (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间以及极值； (3)求函数在上的最小值. 14. 函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 15. 已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)若，的最小值是，求实数的取值范围. 16. 已知函数，，其中是自然对数的底数. （1）求函数在[0，π] 上的最大值与最小值； （2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $