21.1.1 四边形及其内角和-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

第二十一章 四边形 单 元 备 课 第21单元 本单元所需课时数 13课时 课标要求 1.了解四边形及多边形的概念，四边形及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握四边形内角和与外角和及多边形内角和与外角和公式. 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系; 3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 4.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形. 5.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离. 6.探索并证明三角形的中位线定理. 7.探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 8.探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 9.正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 教材分析 本章我们在平行线、三角形的基础上进一步研究平行四边形;并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延;探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力. 主要内容 本章先研究四边形及多边形，然后研究平行四边形，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形. 第21.1节“四边形及多边形”是在学习了三角形的有关概念和性质的基础上，进一步学习四边形内角和与外角和及多边形内角和与外角和公式. 第21.2节主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理;在平行四边形概念和性质定理的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念;作为性质定理和判定定理的一个应用，探索并证明三角形中位线定理. 第21.3节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角和有一组邻边相等的特殊平行四边形.第21.3.1小节和第21.3.2小节分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理.在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正方形.第21.3.3小节给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质定理和判定定理. 教学目标 1.了解四边形及多边形的概念，四边形及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握四边形内角和与外角和及多边形内角和与外角和公式. 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系. 3.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算. 4.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离. 5.探索并证明三角形中位线定理. 6.通过经历平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力. 7.通过平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力， 8.通过分析平行四边形与矩形、菱形、正方形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识一般与特殊的关系． 课时分配 21.1 四边形及多边形 2课时 21.2 平行四边形 5课时 21.3 特殊的平行四边形 6课时 教与学建议 1.关于平行四边形与特殊平行四边形概念之间属加种差、内涵与外延之间的关系. 2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力. 3.注意帮助学生梳理知识内容. 4.关注信息技术的应用. 21.1 四边形及多边形 21.1.1 四边形及其内角和 课题 四边形及其内角和 课型 新授课 教学内容 教材第46-49页的内容 教学目标 1.了解四边形的有关概念； 2.探索并证明四边形的内角和及外角和； 3.能运用四边形的内角和及外角和解决问题； 4.理解四边形不具有稳定性. 教学重难点 教学重点：四边形的有关概念. 教学难点：探索并证明四边形的内角和及外角和. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 1. 展示图片： 播放包含多种四边形实物图片（如：黑板表面、窗户框、伸缩门、地砖、书本封面、足球门框等）。 2. 提问引导： “这些物体中，都有我们熟悉的一种图形，它是什么？”（引导学生说出“四边形”或“长方形、正方形、平行四边形”等具体名称） “那么，究竟什么样的图形叫作四边形呢？它和我们已经学过的三角形有什么不同？” 3. 揭示课题： 今天我们就来系统地学习《四边形及其内角和》。 2.发现探究，学习新知 【问题1】四边形的定义与基本元素 1.定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形。 · 强调关键词：“不在同一直线上”（排除共线情况）、“四条线段”、“首尾顺次相接”（封闭图形）。 · 对比三角形定义，强调边数变化。 （2）边：组成四边形的各条线段。 （3）顶点：每相邻两条线段的公共端点。 · 四边形有4个顶点。通常用大写字母A，B，C，D按顺序表示顶点，四边形可记作“四边形ABCD”。 （4）对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段。 · 如线段AC，BD。一个四边形共有2条对角线。 （5）内角（角）：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角。 · 如∠A，∠B，∠C，∠D。有4个内角。 （6）外角：（结合图形讲解）四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角。 · 每个顶点处有 2个外角（它们是对顶角，相等）。通常我们研究在每个顶点处取一个外角，这样四边形有 4个外角。 追问:你能说出下图中两个四边形的异同点吗? 教师引导学生分析得出，在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD)所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；在图(2）中，画出边CD所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧. 教师介绍:像图（1）这样的多边形称为凸四边形. · 活动： 学生在纸上画一个任意四边形ABCD，标出它的边、顶点、对角线、内角、外角（任选一个顶点画出一个外角）。 【问题2】我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°，那么，任意画一个四边形，它的内角和为多少?你是怎样得到的?你能找到几种方法? 方法1:从一个顶点出发，如图1，连接AC，四边形的内角和为:2×180°=360°. 方法2:从边上一个点出发，如图2，在BC上任取一点E，连接AE，DE，则四边形的内角和为：3×180°-180°=360°. ( 图1 ) ( 图2 ) 方法3:从四边形内一个点出发，如图3,在四边形内任取一点E，连接AE，BE，CE，DE,则四边形的内角和为:4×180°-360°=360°. 方法4:从四边形外一个点出发，如图4,在四边形外任取一点E，连接AE，BE，CE，DE,则四边形内角和为: 3×180°-180°=360°. ( 图3 ) ( 图4 ) 师生行为:让学生先独立思考再分组讨论，共同归纳总结,对于每一种方法，都请一名学生代表上台讲解思路,教师适当引导. 结论：四边形的内角和等于360°。 符号表示： ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. 【问题3】四边形的外角和 在四边形每个顶点处各取一个外角（如∠1， ∠2， ∠3， ∠4），这四个外角的和是多少度？ 引导学生观察：一个顶点处的内角和外角有什么关系？（互为邻补角，和为180°） 四个顶点处，所有内角与外角（各一个）的总和是：4 × 180° = 720°。 因为内角和为360°，所以外角和 = 720° - 360° = 360°。 结论：四边形的外角和等于360°。 【问题4】实验探究，理解不稳定性 1. 实验对比 教师出示用木条和钉子钉好的三角形框架和四边形框架。 请学生上台分别用手拉动两个框架，观察形状是否改变。 现象： 三角形框架纹丝不动，形状和大小固定。四边形框架 轻易变形，形状发生改变。 结论： 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 2. 原理分析 解释：三角形三边长度确定后，形状和大小就唯一确定了。而四边形四边长度确定后，其形状并不唯一，可以改变相邻边的夹角，从而产生多种形状。 3. 应用举例 不稳定性的缺点： 某些需要固定形状的结构（如桥梁、塔吊）要尽量避免单独使用四边形结构，常通过添加对角线（转化为三角形）来增加稳定性。 不稳定性的优点： 利用这种可变形性为人类服务。 展示图片： 伸缩门、折叠椅、升降机、伸缩尺、汽车防护链等。 讨论： 这些物品是如何利用四边形不稳定性的？ 3.学以致用，应用新知 考点1 证明外角和 【例1】如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少? 解：∵∠DAB 与∠1是邻补角， ∴∠DAB+∠1=180°. 同理∠ABC+∠2=180°， ∠BCD+∠3=180°， ∠CDA+∠4=180°， ∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°， 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°． 考点2 四边形内角和的应用 【例2】如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D （2）在四边形中，的外角之比为，那么 ． 【答案】 （3）学校有一块四边形试验田，分割成两块，由图可知， ． 【答案】3 （4）已知一个四边形，它的外角和的度数是 ． 【答案】 （5）如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为 ． 【答案】 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.四边形是怎么定义的？ 3.四边形的内角和是多少度？四边形的外角和是多少度？ 6.布置作业 1.教材P49练习第1-3题； 2.教材P52习题21.1第1,5,8题. 以生活中的实物导入，感受四边形的共性. 让学生了解四边形的定义及相关概念. 通过数形结合，带领学生理解相关概念. 让学生了解凸多边形的概念. 动手作图，加深学生对四边形的概念及相关概念的了解. 通过四种不同的方法探究四边形的内角和，引导学生总结四边形的内角和等于360°，培养学会的归纳能力. 让学生结合四边形的内角和，探究四边形的外角和，提高学生的学习能力. 通过动手操作，与三角形的稳定性做类比，理解四边形具有不稳定性，并与现实生活结合，体会其使用价值. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括四边形的概念、边、角对角线、内角和、外角和等. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 21.1 四边形及多边形 21.1.1 四边形及其内角和 1.四边形： 例题 2.四边形的相关概念： 3. 四边形的内角和： 4.四边形的外角和： 练习 教学反思 本节课主要是概念性学习，在三角形学习的基础上进一步探究多边形，对多边形的概念、角的学习都是建立在三角形的基础上的．在教学设计时从学生的角度出发，设计出合理的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织引导和巡视力度． 学科网（北京）股份有限公司 $