江西金溪县第一中学2025-2026学年上学期高二数学学科阶段性作业

2025-2026学年上学期高二数学学科阶段性作业 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（ ） A． B．C． D． 2．已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A． B． C．D． 3．设向量，，若，则实数的值为（ ） A． B．C．D． 4．某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（ ） A．B．C．D． 5.已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A．2 B． C．3D． 6.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（） A.B.C.D. 7.在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ） A． B．2C．D． 8.已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．线性回归方程必过样本中心点 B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 C．若随机变量，且，则 D．已知随机变量，若，，则 10．已知的展开式中，的系数记为，则下列选项正确的是（    ） A．该展开式共有15项 B． C．D．的最大值为 11．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动．下列说法错误的是（） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C. 点到平面距离的最大值为 D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，．在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关． 13．某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有种． 14． 已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)当弦长最小时，求直线的方程及弦长． 泡制时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 74 71 65 16. 江西抚州出产的白茶以其清淡回甘闻名，当地茶艺研究发现，用 85℃ 的热水冲泡后，等待茶汤温度降至 60℃ 时饮用，最能体现其鲜爽口感．某茶文化学习小组通过实验，记录了在室温 20℃ 环境下冲泡后茶汤温度随时间变化的数据如下: (1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画． ①令，求出关于的线性回归方程； ②利用①的结论，求出中的与． (2)你认为该品种白茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，． 17． 如图，在三棱柱中，为的中点， ，且平面． (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点）， ( D )求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 18． 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率． (1)求椭圆的标准方程． (2)若直线与椭圆相交于不同的两点、，点是椭圆上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 19． 为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”． 请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为， 若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二数学阶段性作业答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D B D A C B D ACD BCD ABD 12. 99 13. 10 14. 1．D【详解】由题可知，可将直线方程化为， 可得直线斜率为， 设倾斜角为，则，由得倾斜角为. 故选：D. 2. D【详解】根据已知的分布列可得：， 故选：D. 3. B【详解】 则，解得， 故选：B 4. D【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种站法. 故选：D. 5. A【详解】圆C：， 即，圆心为，半径， 因为圆C与：相交于两点，且为正三角形， 所以圆心C到直线的距离， 则，解得. 故选：A 6. C 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C 7．B【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当PD取得最小值时，取得最小值， 当P位于矩形的中心时，PD取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 8. D【详解】设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 在中，，所以， 所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即， 则， 综上：. 故选：. 9.ACD【详解】对于A，在回归分析中，A正确； 对于B，对于两个具有线性相关关系的变量，样本相关系数的取值范围是. 当时，变量正相关；当时，变量负相关；相关性越强，越接近于1，而不只是接近于1，也可能是，所以B错误； 对于C，因为随机变量服从正态分布，且， 所以， 根据对称即可得到，所以C正确； D：因为，，，则，解得：，，故D正确； 故选：ACD 10．BCD【详解】对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项，故展开式共有24项，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 当，或时，的值最大，为，故D正确. 故选：BCD. 11．ABD【详解】依题意，直线两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 令，， 对于A， 必有， 此时与不共线，矛盾，A错误； 对于B， ， 则不成立，即不垂直，B错误； 对于C，设平面的法向量，而， 则，令，得 点到平面距离，，当且仅当，即与重合时取等号，C正确； 对于D，当时，，点到平面PAB与平面ABCD的距离都为，而， 则，D错误. 故选：ABD 12．99【详解】因为，又，， 所以我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关， 故答案为：. 13．10【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，所以，满足条件的参赛方案有种. 故答案为：10. 14．【详解】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：， 过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：, 由于圆的圆心为,半径, 则，解得：, 根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为， 联立，得：, 解得：或, 因为在的上方，所以点, 由于过作的垂线，垂足为P，则， 所以,点到直线的距离, 则, 故答案为： 15． (1) 【详解】（1）因为圆的半径，且被轴截得的弦长为4，所以圆心在轴上， ……………………………………………………………………… ……. 又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心，……. …... 所以圆的标准方程为． ……………………………………………. (2)由直线的方程知，直线恒过定点， ……………………....….. 且此定点在圆内，如图所示， 当直线轴时，弦长最短，此时直线的方程为， …………………… 此时圆心到直线的距离为1， 所以最短弦长．…………………………………… 16．（1）①；②，；（2）. 【详解】（1）①由已知得出与的关系，如下表： 泡制时间 0 1 2 3 4 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8 设线性回归方程，由题意， 得，……………………………………………………......……………....… ，………………………………………………….........……… ∴，……………...….... .... ，…………………………………………………….. 则，………………………………………………………….. ，…………………………………………………………………… 则关于的线性回归方程为；…………………………………………...…….... ②由，得， 两边取对数得，，……………………………………………...... 利用①的结论得：，， ∴，；…………………………………………………………...… （2）由（1）得，， 令，得. ∴该品种白茶用的水泡制后饮用，口感最佳 ………………………………......… 17．(1)证明见解析（2） 【详解】（1）证明：因为D是的中点，，所以. 在中，因为，所以，D 所以，……………………………………………………………………………....... 因为平面，平面，所以，………………………........ 又，平面，所以平面；……………………..............… （2）以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，则，D 又，则，D 设，所以，……………...….... 设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，得，…………………………………… 又平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为，…………. 因为，所以，则， 故平面与平面的夹角的余弦值取值范围为…………………….................... 18．(1) (2)①是定值，证明见解析；② 【详解】（1）由题知，平方化简得 所以，椭圆的标准方程为……………………………………………….........…...….. （2）①（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则，……………………………………………….............…… 所以，……………………………………………….............…. 而均在椭圆上，所以， 从而，证毕………………………………………………...........…... ②由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得（i），…………………..............…… ，则， 所以，………………………………………………………..............…… 因为，则，从而，即． 而，所以，化简得，…........….. 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为………………………………………………..........….. 19．(1)分布列见解析，； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出. 【详解】（1）解：的可能取值为1,3,5……………………………………..…..................… ……………………………………………………………………………….….............…… 的分布列为 1 3 5 ………………………………………………………………………………….............…..…… . （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为；........................................................... 当时，需要赢剩余2局，其概率为；...................... 当时，需要赢至少1局，其概率；............................ 当时，已满足获胜条件，概率为. 故.…………….... （3）若两人共进行了局比赛，甲所赢局数为,则，甲获胜的概，……………………….….. 若两人共进行了局比赛， 可以认为在进行了局比赛的基础上再比两局， 则甲获胜的概率，………… ，   ………………………………………………….. ........... 已知，所以 .证毕................................................ 答案第12页，共12页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $