专题2 填空题知识点分类2025-2026学年苏科版八年级上册期末数学复习（10个知识点+10种题型）

八年级上学期期末填空题知识点分类复习（10个知识点+10种题型） 【题型归纳】 题型一 一次函数的定义 2 题型二 分式有意义 2 题型三 近似数 3 题型四 最简公分母 3 题型五 等腰三角形的性质 3 题型六 一次函数的性质 3 题型七 网格中的全等三角形 3 题型八 角平分线的性质 4 题型九 一次函数与二元一次方程（组） 5 题型十 逆等线 6 一、知识梳理 考点一 一次函数的定义 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 考点二 分式有意义 分式有意义的条件：分母不等于零. 考点三 近似数 接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 考点四 最简公分母 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. 考点五 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 考点六 一次函数的性质 一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ) 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 考点七 网格中的全等三角形 通过全等三角形的判定SAS找与已知角相关的全等三角形，利用全等三角形的性质找到相等的角求解即可. 考点八 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 考点九 一次函数与二元一次方程（组） 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 考点十 逆等线 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线。 解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 二、题型精讲 题型一 一次函数的定义 例1.若函数是关于的一次函数，则______． 【变式1-1】已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为________. 【变式1-2】已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为________. 题型二 分式有意义 例2. 要使分式有意义，x应满足的条件是_________． 【变式2-1】函数中，自变量x的取值范围是_____． 【变式2-2】若分式有意义，则x的取值范围是　 　． 题型三 近似数 例3.用四舍五入法把1.3429精确到千分位所得近似数是 ________． 【变式3-1】用四舍五入法把3.1415926精确到0.01，所得到的近似数为___． 【变式3-2】地球的半径约为6.4×103km，这个近似数精确到__________位． 题型四 最简公分母 例4.分式、的最简公分母是________________． 【变式4】分式的最简公分母是　 　． 题型五 等腰三角形的性质 例5.已知一个等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长为______________． 【变式5-1】 在△ABC中，AB=AD=CD，且∠C=40°，则∠BAD的度数为__________. 【变式5-2】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为__________. 题型六 一次函数的性质 例6.在一次函数中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 【变式6-1】已知点和点是一次函数图象上的两点，则a________b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式6-2】若，这两个不同点在y关于x的一次函数图象上，且，则a的取值范围_________． 题型七 网格中的全等三角形 例7. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【变式7】如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝ °． 题型八 角平分线的性质 例8.如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是_______． 【变式8-1】 如图，是等腰直角三角形，，平分交于点D，于E．若的周长为，则______． 【变式8-2】如图，在中，和平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，若，，则的面积为 ________． 题型九 一次函数与二元一次方程（组） 例9. 如图，一次函数与的图像相交于点，若点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为_________． 【变式9-1】表1、表2分别给出了两条直线与上部分点的横坐标和纵坐标y的对应值． 表1 表2 则方程组的解是__________. 【变式9-2】如图，直线与在第二象限交于点，交轴、轴分别于，两点．，则方程的解为__________． 题型十 逆等线 例10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是　 　． 【变式10-1】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为 　 　． 【变式10-2】在中，， 点D、 E在边上，且，则的最小值 ____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期末填空题知识点分类复习（10个知识点+10种题型） 【题型归纳】 题型一 一次函数的定义 2 题型二 分式有意义 3 题型三 近似数 4 题型四 最简公分母 5 题型五 等腰三角形的性质 5 题型六 一次函数的性质 7 题型七 网格中的全等三角形 9 题型八 角平分线的性质 10 题型九 一次函数与二元一次方程（组） 13 题型十 逆等线 16 一、知识梳理 考点一 一次函数的定义 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 考点二 分式有意义 分式有意义的条件：分母不等于零. 考点三 近似数 接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 考点四 最简公分母 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. 考点五 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 考点六 一次函数的性质 一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ) 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 考点七 网格中的全等三角形 通过全等三角形的判定SAS找与已知角相关的全等三角形，利用全等三角形的性质找到相等的角求解即可. 考点八 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 考点九 一次函数与二元一次方程（组） 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 考点十 逆等线 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线。 解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 二、题型精讲 题型一 一次函数的定义 例1.若函数是关于的一次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数解析式的结构特征是解题的关键． 【变式1-1】已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为________. 【分析】根据一次函数的定义可得k﹣3≠0，|k|﹣2＝1，解答即可． 【答案】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 所以|k|﹣2＝1， 解得：k＝±3， 因为k﹣3≠0，所以k≠3， 即k＝﹣3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【变式1-2】已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为________. 【分析】根据一次函数的定义可得k﹣3≠0，|k|﹣2＝1，解答即可． 【答案】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 所以|k|﹣2＝1， 解得：k＝±3， 因为k﹣3≠0，所以k≠3， 即k＝﹣3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 题型二 分式有意义 例2. 要使分式有意义，x应满足的条件是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键。 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：。 【变式2-1】函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 【变式2-2】若分式有意义，则x的取值范围是　x＜3且x≠﹣3　． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【答案】解：根据题意得：， 解得：x＜3且x≠﹣3． 故答案为x＜3且x≠﹣3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 题型三 近似数 例3.用四舍五入法把1.3429精确到千分位所得近似数是 ________． 【答案】1.343 【解析】 【分析】把万分位上的数字9进行四舍五入即可． 【详解】解：1.3429精确到千分位所得近似数是 1.343． 故答案为：1.343． 【点睛】本题主要考查了近似数，解题的关键在于能够熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入． 【变式3-1】用四舍五入法把3.1415926精确到0.01，所得到的近似数为___． 【答案】3.14 【解析】 【分析】要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：， 故答案为：3.14． 【点睛】本题主要考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． 【变式3-2】地球的半径约为6.4×103km，这个近似数精确到__________位． 【答案】百 【解析】 【详解】∵近似数6.4×103=6400， ∴4在百位上，则近似数6.4×103精确到百位， 故答案为：百． 【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数；近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位或精确到小数点后几位等说法． 题型四 最简公分母 例4.分式、的最简公分母是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式、的分母分别是、，故最简公分母为． 故答案：． 【变式4】分式的最简公分母是　x（x+2）（x﹣2）　． 【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【解答】解：， 则最简公分母为x（x+2）（x﹣2）， 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 题型五 等腰三角形的性质 例5.已知一个等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长为______________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】解：以为腰时，三边长为，则等腰三角形的周长为； 以为底时，三边长为，由，不能组成三角形，不合题意，舍去． 所以这个等腰三角形的周长为22cm． 故答案为：22． 【变式5-1】 在△ABC中，AB=AD=CD，且∠C=40°，则∠BAD的度数为__________. 【答案】20° 【解析】 【分析】根据可得出，再利用三角形外角的性质得出，然后利用得出，最后利用三角形内角和即可求出答案. 【详解】 故答案为：20°. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 【变式5-2】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为__________. 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：xx＝9或xx＝15． 【解答】解：设三角形的腰为xcm，如图： △ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况： （1）xx＝9， 解得x＝6， ∵三角形的周长为9+15＝24（cm）， ∴三边长分别为6cm，6cm，12cm， ∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； （2）xx＝15， 解得x＝10， ∵三角形的周长为24cm， ∴三边长分别为10cm，10cm，4cm． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 题型六 一次函数的性质 例6.在一次函数中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据题意可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】已知点和点是一次函数图象上的两点，则a________b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】把代入一次函数得两个二元一次方程，把两个方程相减，求出的值，进行判断即可． 【详解】解：把代入一次函数得： 得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握比较两数大小的几种常用方法． 【变式6-2】若，这两个不同点在y关于x的一次函数图象上，且，则a的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点在函数图象上的意义，参数不等式；由点在函数图象上得，，从而可表示出， 代入已知不等式，即可求解；将不等式化为是解题的关键． 【详解】解：，在一次函数图象上， ， ， ， ， ， ，是两个不同点， ， ， ， ； 故答案：． 题型七 网格中的全等三角形 例7. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7】如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝ °． 【答案】45 【分析】连接，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知与与全等， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 题型八 角平分线的性质 例8.如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是_______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 【变式8-1】 如图，是等腰直角三角形，，平分交于点D，于E．若的周长为，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和是等腰直角三角形得，，是等腰直角三角形，即可通过等腰直角三角形的性质求出的长度，进而求出的长度．本题考查了三角形的边长问题，掌握角平分线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵是等腰直角三角形，，平分交于点，于 ∴，，是等腰直角三角形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：8． 【变式8-2】如图，在中，和平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，若，，则的面积为 ________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作于M， ∵平分，，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，结合图形利用角平分线的性质是解题的关键． 题型九 一次函数与二元一次方程（组） 例9. 如图，一次函数与的图像相交于点，若点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）（方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标），解题的关键是先利用直线确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标得到答案． 【详解】解：∵一次函数与的图像相交于点，且点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【变式9-1】表1、表2分别给出了两条直线与上部分点的横坐标和纵坐标y的对应值． 表1 表2 则方程组的解是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两个一次函数图象的交点问题， x值和y值都相等时的点即为交点坐标，也是对应二元一次方程组的解． 【详解】解：由表1和表2可知，当时，两个函数的函数值相等，都是， 因此方程组的解是， 故答案为：． 【变式9-2】如图，直线与在第二象限交于点，交轴、轴分别于，两点．，则方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，则，进而求得即可． 【详解】解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， 当时，由得，则， ∵， ∴，即， ∴，则， 将代入中，得，则， ∴方程的，解为， 故答案为：． 题型十 逆等线 例10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是　 　． 解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝4，连接BF、FG、BG， ∵AB＝AC，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°， ∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD， ∴∠GAF＝∠BCE， 又∵AF＝CE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝BE， ∵FB＝FC，∴BE+CF＝GF+BF， ∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小， ∴GF+BF的最小值时线段BG的长， ∵∠BAG＝90°，AB＝8，AG＝4， ∴BG＝＝4 即BE+CF的最小值为4，故答案为：4． 【变式10-1】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为 　 　． 解：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D． ∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM， ∴△BAN≌△ECM（SAS）， ∴BN＝EM， ∴AM+BN＝AM+ME， ∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小， ∵AD∥EC， ∴＝＝， ∴CM＝×1＝2﹣． 故答案为：2﹣． 【变式10-2】在中，， 点D、 E在边上，且，则的最小值 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作，使得．作交的延长线于G．证明，则，，的最小值为的长，由，可得，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，使得．作交的延长线于G． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为的长， 中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $