2025-2026学年高二上学期数学人教A版期末考试模拟练习02（概率+选择性必修第一册+数列）

2025-2026学年高二上学期数学期末考试模拟卷练习02 考试范围：（概率+选择性必修一+数列） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为  A. B. C. D. 2.已知向量为直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则实数m等于(    ) A. 5 B. 2 C. D. 3.若圆C经过点，，且圆心在直线l：上，则圆C的方程为    A. B. C. D. 4.已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为    A. B. C. D. 5.已知分别为椭圆的左，右焦点，A为上顶点，则的面积为    A. 6 B. 15 C. D. 6.已知点，，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是    A. 或 B. 或 C. 或 D. 7.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则    A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 8.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前n项和为，则取最大值时，n的值为(    ) A. 8 B. 8或9 C. 9 D. 17 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知事件A与事件B相互独立，且，，则下列正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知圆与圆，则    A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有3条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 11.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”，若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点.设双曲线C的离心率为e，则下列说法正确的有          A. B. C. 直线与双曲线C的一条渐近线垂直 D. 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若过点作圆O：的切线，则切线方程为          . 13.在数列中，，，，则          . 14.已知双曲线的方程为，如图，点A的坐标为，B是圆上的点，点M在双曲线的右支上，则的最小值为          . 四、解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将两次得到的点数分别记为 a， 求是奇数的概率; 求直线与双曲线有公共点的概率. 16.已知的三个顶点分别为，，，求： 边所在直线的方程； 边上中线AD所在直线的方程； 边的垂直平分线DE的方程． 17.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，且平面ABCD，若， 证明：平面平面PBC； 求二面角的余弦值； 18.已知为等差数列，为等比数列，，， Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ记的前n项和为，求证：； Ⅲ对任意的正整数n，设求数列的前2n项和． 19.已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和 求椭圆C的标准方程； 过点作不与坐标轴平行的直线l交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线AE与直线BD相交于P点. ①求证：点P在定直线上； ②求面积的最大值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题． 利用列举法求解即可. 【解答】 解：记3只测量过某项指标的兔子分别为A，B，C， 没有测量过某项指标的兔子为D，E， 则从这5只兔子中随机取出3只的所有情况为，，， ，，， ，，，，共10种， 恰有2只测量过该指标的所有情况有6种， 所求概率为 故选： 2.【答案】D  【解析】解：因为直线l垂直平面，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行， 则，即，解得 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查圆的标准方程，是基础题. 求出线段AB的中垂线的方程，联立直线方程求出圆心，由两点之间的距离公式求出半径，然后可得圆的标准方程. 【解答】 解：线段AB的中点为，又，所以线段AB的中垂线的方程为，即 由解得即，圆C的半径， 所以圆C的方程为 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量法求点、线距离，属基础题. 根据空间向量的点线距离公式求解即可. 【解答】 解：依题意得，， 则点C到直线AB的距离为 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考椭圆的焦点三角形问题，属于基础题. 根据椭圆的方程得出，，可得，根据三角形的面积公式即可算出的面积． 【解答】 解：由题意，因为椭圆的方程为， 所以，，可得， 故， 则的面积为， 故选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查过两点的斜率公式，属于中档题. 画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足，用直线的斜率公式求出和的值，求出直线l的斜率k的取值范围． 【解答】 解：根据题意做出图形，如图， 由题意得，所求直线l的斜率k满足， 即， 即直线的斜率的取值范围是 故选： 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查事件独立性的判断，考查古典概型概率的计算，属于中档题. 根据题意，计算基本事件总的个数，依次判断事件甲乙丙丁所包含的基本事件个数，求得四个事件的概率，再求甲丙，甲丁，乙丙，丙⋂丁，根据公式判断四个事件的独立性. 【解答】 解：由题意可知，基本事件的总数为， 甲所包含的基本事件为，，，，，； 乙所包含的基本事件为，，，，，； 丙所包含的基本事件为  ，，，，； 丁所包含的基本事件为  ，，，，，； 甲，乙  ，丙，丁， 甲丙，甲丁，乙丙，丙丁， 有甲丁甲丁，事件甲与事件丁相互独立， 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的求和以及等比数列的通项公式与性质，是中档题． 由题意求出等比数列的公比和首项，然后求出等比数列的通项公式，代入，再利用等差数列的求和公式求解即可. 【解答】 解：是等比数列且，，公比， ，解得舍或， 则，可得， ， 因此， ， 则， 可知数列是以4为首项，以为公差的等差数列， 则数列的前n项和， 令， 则，令，可得， 当或9时，取最大值． 故选： 9.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式，属于基础题. 利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式求解． 【解答】 解：因为事件A，B是相互独立的，所以 与 也是相互独立的， 对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查圆与圆的位置关系，考查公切线和公共弦，是基础题. 【解答】解：圆化为标准方程得，即圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得 ，即圆的圆心，半径， 则两圆的圆心距为，故A正确; 因为，所以两圆相交，公切线有两条，故B错误; 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故C正确; 点到直线的距离 ，则公共弦的长度为，故D错误. 故选 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查双曲线的基本知识，处理双曲线的简单几何性质的基本方法，运用设而不求的思想解决新概念问题，属于中档题. 对于A，由新概念黄金分割比可得，即可判断A正确;对于B，设，，可得，进而求解，即可判断B错误;对于C，由，双曲线C的一条渐近线的斜率，作乘积即可判断C正确；对于D，由，可得，求解离心率即可判断D正确. 【解答】 解：对于A，由黄金分割比可得，所以离心率，故A正确; 对于B，设，，则点， ，，两式作差得， 则，故B错误; 对于C，易知， ， 则，双曲线C的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线C的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，， 若成立，则有，而， 则，解得负值舍去，满足题意，故D正确. 故选 12.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查过圆外一点的圆的切线方程，属于基础题． 根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解． 【解答】 解：由题意可知，，故点在圆O外， 则过点P做圆O的切线有两条，且至少有一条切线的斜率存在， 当切线的斜率存在时，设为k， 则切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得或， 故切线方程为或 故答案为：或 13.【答案】46  【解析】【分析】 本题考查累加法求通项公式，为基础题. 利用累差法可解. 【解答】 解：由，则有，， 累加可知，则，可知 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义以及圆中的最值问题，属于中档题 取，则点A，D是双曲线的左右焦点，由双曲线的定义以及圆中最值，求得答案 【解答】 解：取，则点A，D是双曲线的左右焦点，由双曲线的定义，得， ， 又B是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 故，从而， 当点M，B在线段CD上时取等号， 即的最小值为 15.【答案】解：总的事件的个数为：，记“是奇数”， 则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，，， ，，，，，，，，，共18个， ； 设“直线与双曲线有公共点”为事件B， 因为双曲线的渐近线为， 要使直线与双曲线有公共点， 则，即， 则事件B包含的基本事件有，，，，，， ，，，，，，，，共15个， 故  【解析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题. 记“是奇数”，列举法求出样本空间总的基本事件数和A事件，即可求解； 设“直线与双曲线有公共点”为事件B，要使直线与双曲线有公共点，则，列举法求出B事件的基本事件数，利用古典概型概率公式即可求得. 16.【答案】解：直线BC经过和两点， 的方程为，即 设BC中点D的坐标为， 则，， 边的中线AD过点，两点， 所在直线方程为，即 的斜率， 的垂直平分线DE的斜率， 直线DE的方程为，即  【解析】本题考查直线方程的求解，属于基础题． 根据已知条件，结合直线的两点式公式，即可求解． 先求出BC中点，再结合直线的截距式公式，即可求解． 根据已知条件，结直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，即可求解． 17.【答案】解：因为平面ABCD，平面ABCD，则， 又因为ABCD为矩形，则，且，平面PAB， 可得平面PAB，又平面PBC，所以平面平面 由题意可知：平面ABCD，且， 如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 可得， 设平面PBD的法向量为，则， 令，则，可得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 由题意可知：二面角为锐角，所以二面角的余弦值为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】Ⅰ解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，，则，可得， ， ，， ， 解得， ； Ⅱ证明：由Ⅰ可得， ，， ， ； Ⅲ解：当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和…，①， 由①可得…，②， ①-②得…+ ， ， 因此 数列的前2n项和：  【解析】本题考查了等差数列，等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了裂项相消法，错位相减法求和，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题． Ⅰ分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； Ⅱ根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； Ⅲ分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n项和． 19.【答案】解：设椭圆C的方程为， 代入已知点的坐标，可得，， 解得，， 所以椭圆C的标准方程为 ①设直线l的方程为，并记点，，， 联立方程，消去x，可得， 易知， 则，， 由条件可知，，直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立解得， 所以点P在定直线上， ②， 而， 所以， 则， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为  【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用，考查定直线问题和面积问题，属于较难题. 设椭圆C的方程为，代入已知点的坐标，求出m，n，即可得椭圆方程； ①设直线l的方程为，并记点，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，通过求证，即可得到点P在定直线上； ②求出，结合，得，再换元，利用基本不等式即可求解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $