2回归教材 完全平方公式的巧用&基本功通关练二 平方根与立方根的计算-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

拼接后是一个长为(a十b)、宽为(a一b)的长方形，所 以面积为(a十b)(a一b),所以有a2一b2=(a十b)(a b),因此能够验证平方差公式：图②中，拼接前阴影部 分的面积为a2一b2,拼接后是一个底为(a十b)、高为 (a一b)的平行四边形，所以面积为(a十b)(a一b),所 以有a2-b2=(a十b)(a一b),因此能够验证平方差公 式；图③中，拼接前阴影部分的面积为a一b,拼接后 是一个长为(a十b)、宽为(a一b)的长方形，所以面积 为(a+b)(a-b),所以有a2-b2=(a十b)(a-b),因 此能够验证平方差公式；图④中，拼接前阴影部分的面 积为a2一b2,拼接后是一个底为(a十b)、高为(a一b) 的平行四边形，所以面积为(a十b)(a一b),所以有a1 一b2=(a+b)(a一b),因此能够验证平方差公式. 综上所述，其中能够验证平方差公式的有4个， 6.(1)-6x3y(2)40ab2(3)-32x1°y8 7.-6【解析】原式=2x2一nx-6x十3n=2x2十(-n一 6)x+3n.因为(x-3)(2.x一n)=2x2+mx一15，所以 3n=-15,-n-6=m,解得n=-5,m=-1, 所以m十n=-1+(-5)=-6. 8.4【解析】原式=2x2一8x+8-4x2+4=-2x2一8x +12=-2(x2+4x)+12. 因为x2+4x-4=0,所以x2+4x=4. 故原式=一2×4+12=4. 9.(12x一3)33【解析】由题意，得(2x+3)(2x一4十 3)-2.x(2x-4)=(2x十3)(2x-1)-2x(2.x-4) 4x2-2x+6.x-3-4x2+8.x=(12.x-3)cm. 故面积增加了(12x一3)cm2. 当x=3时，12.x一3=12×3-3=33. 故增加的面积为33cm'. 10.256【解析】由“杨辉三角”的规律可知， (a十b)°展开式系数和为1=2°， (a+b)展开式系数和为2=2， (a十b)2展开式系数和为4=2， (a十b)3展开式系数和为8=23， … 所以(a十b)”展开式系数和为2”， 所以(a十b)8展开式系数和为2=256. 11.解：(1)原式=(-b)2-(2a)2=b2-4a2 (2)原式=4x2+12xy+9y2-(4x2-12xy+9y2) =24xy. (3)原式=x2+6xy+9y2-2(x2-9y)十x2一6.xy +9y2 =2x2+18y2-2x2+18y2=36y2 12.解：(1)原式=4(m2十2m+1)-(4m2-25) =4m2+8m+4-4m2+25=8m+29 当m=-3时，原式=8×(-3)+29=5. (2)原式=9x2-4y2-(9x2-6xy+y2) =9x2-4y2-9.x2+6.xy-y2=-5y2+6.xy. 当x=1,y=1时原式=二5X1+6X7X1=二2 434 七年级数学XJ版 13.解：(1)因为(x+2)2+(x-2)2=46, 所以x2+4x+4+x2-4.x+4=46, 所以2x2+8=46,所以x2=19. (2)令t=x-2026,则x-2025=t+1,x-2027=t -1. 原方程变形为(t十1)2+(t一1)2=34， 所以t2+2t+1+t-2t+1=34, 所以2t+2=34,所以t2=16,即(x-2026)2=16. 14.解：(1)b(2a+3b)+b(4a+3b)-b2 =2ab+3b2+4ab+3b2-b =(6ab+5b2)m2. 故通道的面积是(6ab+5b2)m2. (2)(4a+3b)(2a+3b)-(6ab+5b2) =8a2+6ab+12ab+9b2-6ab-5b =(8a2+12ab+4b2)m. 故剩余草坪的面积是(8a2+12ab+4b2)m. 回归教材完全平方公式的巧用 教材母题 解：(1)因为a-b=2,ab=1, 所以a2+b2=(a-b)2+2ab=22+2×1=6. (2)因为a+1=3, 所以+-(a+2)-2a·--2=7 a 所以a+-(+-2a·=-2= 变式训练 1.解：因为a+b=2,所以(a十b)2=4,即a2+2ab+b=4. 因为a2+b2=3,所以3+2ab=4,所以ab=2 2.解：(1)因为(x-y)2=6,(x十y)2=3, 所以(x-y)2-(x十y)2=6-3, 所以-4xy=3,所以xy=一4 3 3 (2)因为(x十y)2=3,xy=一4： 所以+y+y=(x+y-=8-(←）-只 3.解：(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=32-2×(-7)=23 (2)x2-xy+y2=(x+y)2-3.xy=32-3X(-7) =30. (3)(x-y)2=(x十y)2-4xy=32-4×(-7)=37. 4.解：因为(+)）广=9，所以原式=2+是-2=(+ 2）-22=9-4=5 5.解：设3m-2025=x,2024-3m=y, 所以x2+y2=5,x+y=-1,所以(x+y)2=(-1)2=1, 即x2+2xy+y2=1, 所以5十2xy=1,所以xy=一2. 因为2025-3m=-x,2024-3m=y,xy=-2, 所以(2025-3m)(2024-3m)=-xy=2. 6.解：(1)-2(2)8 (3)因为-x2+7x+y+12=0, 所以y=x2-7x-12, 所以x十y=x2-6.x-12=x2-6.x十9-21=(x-3) -21. 因为(x-3)2≥0，所以(x-3)2-21≥21， 所以x+y的最小值是一21. 基本功通关练二平方根与立方根的计算 1.解：(1)士√169=土13.(2)士√0.8I=土0.9. (3)士10=士10.(4)±√9=±3 4 2 2.解：)原式=4.(2)原式=一2 3 (3)原式=一（一1）=1.(4)原式=0.5. 3.解：1)整理，得9x2=25,所以x2=25 ，所以x=±3 (2)整理，得x+3=一27，所以x十3=-3，所以x =-6. 4.解：因为a-2与√2a-7互为相反数，所以(a-2)十 (2a-7)=0,解得a=3. 5.解：因为a2=16,1b|=9,=-2,所以a=士4，b= ±9，c=-8. 因为ab<0,bc>0,所以b与c同号，a与b,c异号， 所以a=4,b=-9,=-8, 所以a-b+c=4-(-9)+(-8)=5. 6.解：因为A=“√2a+3且A是2a+3的算术平方根， 所以2a-4=2,解得a=3, 所以A=√2X3+3=√9=3. 因为B=-+3b-4且B是36一4的立方根，所以 4a-3b+3=3,解得b=4,所以B=93×4-4=8 =2, 所以A-B=3一2=1， 所以A一B的值的平方根是士1. 亿.解：Q30.57名0(2①Va不一定等于0 当a≥0时，√a=a:当a<0时，√a=-a②a-3 π一a 课时通关练一（2.3) 1.A2.C3.D 4.C【解析】因为a>√1I,且a是整数，所以a能取到 的最小整数为4.因为b>8=2,且b为整数，所以b 能取到的最小整数为3，所以a十b的最小值为4十3 =7. 5.26.2(或3) 7.B与C【解析】因为一4<一√13<一3，所以此时捶 丸在数轴上对应点的位置应介于字母B与C之间. 8.解：(1)原式=1+√2-1+2-2=√2. (2)原式=√5-√5+3√5-3√5=(5-35)+(-√5 +33)=-25+23」 9.解：由题意可知，ab=1,c十d=0,e=士√2，f=64,所 以。=（生2）=2，T=6丽=4，所以3h+ 5 +e2+万=2+0+2+4=62 10.解：(1)原式=1+(-2)-6-9=-16. (2)1÷-8×√/36=1÷(-2)×6=-3，-3-9= 一12，所以运算符号为“一” (3)-108. 周测二(2.1~2.3) 1.C2.D3.C 4.B【解析】观察规律可知每三个数为一组，每组出现的 特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术 平方根、立方根.因为2026÷3=675…1，所以这一 列数中的第2026个数应是-√2026. 1 5.> 6.0.04-i05 7.4【解析】由题意，得x十3+x一1=0，解得x=一1，所 以这个正数是(x十+3)2=4，所以这个正数的立方根是4. 8.3-√5或3+√5【解析】因为3>√5，且点B在点A的 左边.分下列两种情况：①当点A,B在原点同侧时， AB=3一√5：②当点A,B在原点异侧时，AB=3+ √5.综上所述，AB之间的距离为3-√5或3十√5. 9.156 【解析】根据题意，得第n个等式为 1+2(m+1)2=1+2一、1 1 /50,1 +元n+1所以√9+64 ++品-√++-1+号-g- 1,1 ，1,1 10.解：整数：{十5,0，-12，-(-6)，…； 正数：+5，v3,号.-(-6,0.10101001（每相 邻两个1之间依次多一个0)，…； 无理数：5，-子0.101010001…（每相邻两个1 之间依次多一个0)，… 11.解：1)整理，得64x-81,所以x2=8别 64 所以x=士V4土8 /81 9 (2)两边开立方，得2x一1=一2， 下册参考答案 35y回归教材完全 教材母题 求值： (1)已知a-b=2,ab=1,求a2+b2的值 (2)已知a+-3,求a2+2和a+1的值. 【思路点拨】先根据完全平方公式进行变形，再 代入求出即可. 【我的解答】 变式训练 1.已知a2+b2=3,a+b=2,求ab的值. 2.已知(x-y)2=6,(x+y)2=3. (1)求xy的值， (2)求x2+y2+xy的值. 3.已知x十y=3,xy=一7，求： (1)x2+y2的值. (2)x2-xy+y2的值. (3)(x-y)2的值. 108 七年级数学XJ版 平方公式的巧用 4.已知(x+)=9,求(x-)的值. 5.已知m满足(3m一2025)2+(2024一3m)2 =5,求(2025-3m)(2024-3m)的值. 6.(2025武冈期中)老师在讲完乘法公式(a士 b)2=a2士2ab十b2的多种运用后，要求同学 们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最 小值.同学们经过交流、讨论，最后总结出如 下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x +2)2+1. 因为(x+2)2≥0，所以(x+2)2+1≥1. 当(x十2)2=0时，(x十2)2+1的值最小，最 小值是1， 所以x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)(x一1)2-2的最小值为 (2)代数式x2一10x+33的最小值为 (3)若-x2+7x+y+12=0,求x+y的最 小值. 基本功通关练二平方根与立方根的计算 (建议用时：30分钟) 1.分别求下列各数的平方根： 5.已知a2=16,1b=9,e=-2,且ab<0,bc (1)169. (2)0.81. >0,求a-b十c的值. (3)102. 4 (4) 2.计算下列各式的值： 3 6.已知A=2a-2a+3且A是2a十3的算术平 (1)64. (2)N 27 8 方根，B=如-6+b-4且B是3b一4的立 方根，求A一B的值的平方根. (3)--1下. (4)/0.125. 3.求下列各式中x的值： (1)9x2-25=0. 7.（1)计算：√32= ,√0.52= ,√(-7)2= (2)(x+3)3+27=0. -- ,02= (2)根据(1)中的计算结果，解答下列问题： ①Wa一定等于a吗？你发现其中的规律 4.已知a-2与2a-7互为相反数，求a 了吗？请用自己的语言描述出来： 的值 ②利用你总结的规律化简： 若3<a<3.14,则√(a-3)= ;W(a-π)2= 下册限时周测 109