1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

1.2.3运用乘法公式进行计算和推理 香/但图提园 1.运用乘法公式进行计算： (1)平方差公式的连用：(a十b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a-b (2)完全平方公式的加减：①(a十b)+(a-b)2=(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)=2a2+2b2;②(a+ b)2-(a-b)2=(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=4ab. (3)完全平方公式的增项：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (4)平方差公式与完全平方公式的综合：(a-b十c)(a十b-c)=[a-(b-c)][a+(b一c)]=a2-(b c)2=a2-b2+2bc-c2. (5)乘法公式与多项式乘法的综合：(a十b)3=a3+3a2b十3ab2十b. 2.运用乘法公式进行推理：利用乘法公式推理出某个数的平方的表示，如152=100×1×2十25. 课内基础练 (3)(x+2y+3)(x+2y-3). 知识点① 运用乘法公式进行计算 1.关于(x+2y一1)(x一2y+1)的变形正确的 是 A.[x-(2y+1)]2 (4)(a-b+c)2. B.[x+(2y+1)]2 C.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] D.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] 2.计算(x-1)(x+1)(x2+1)的结果正确的 (5)(x-y)3. 是 ( A.x4+1 B.(x+1) C.x4-1 D.(x-1)4 变式题逆向思维：根据原式求结果→根据 4试说明.（行m+2)(m-2m）+(2m 结果求原式 若(-x-y)(x2十y2)·A=x4-y,则整 4)(4+2n)的值与n的取值无关. 式A为 3.运用乘法公式计算： 1)(a+1)2+(a-1)2-2. 5.已知4m+n=90,2m-3n=10,求(m+ 2n)2-(3m-n)2的值. (2)(3+y)2-(3-y)2. 下册第1章 19△ 知识点②运用乘法公式进行推理 11.观察下列等式： 6.观察下列各个式子的规律： ①52-12=8×3； 第1个等式：152=100×1×2+25： ②62-22=8×4： 第2个等式：252=100×2×3+25： ③72-32=8×5； 第3个等式：352=100×3×4+25； 第4个等式：452= (1)直接写出第4个等式： 。… (2)写出第n个等式，并通过计算说明等式 第202个等式：20252= 的正确性. 已课外拓展练 7.若m2-n2=5,则(m十n)2(m-n)2的值是 A.25 B.5 C.10 D.15 8.新定义题设a,b是有理数，定义一种新运 算：a*b=(a一b)2.下面有四个推断：①a￥ 已核心素养练 b=b*a;②(a*b)2=a2*b2;③(-a)￥b 12.运算能力在计算(1+2)(1+22)(1+2)(1 =a￥(-b);④a*(b十c)=a*b十a*c. 十28)时，小青的做法如下： 其中正确的是 (1+2)(1+22)(1+24)(1+28) A.①③ B.①② =(2-1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+28) C.③④ D.①②④ =(22-1)(1+22)(1+24)(1+28) 9.(2025张家界永定区期中)先化简，再求值： =(24-1)(1+24)(1+28) (2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)-y(x =(28-1)(1+28) 2y),其中x=1,y=-1. =216-1. 请用这种方法计算： (1+21+21+)1+2)+2: 10.先化简(2.x+y-6)(2x-y-6)+y2,然后 选择一个合适的x,y的值，使该式有最 小值 420 七年级数学XJ版8.解：设这个正方形原来的边长是xcm. 由题意，得(x十2)2-x2=24, 解得x=5. 故这个正方形原来的面积为52=25cm 9.24【解析】2a十4b+6c+8d=60,① a2+b2+c2+d2=30.② ②-①得a2+b2+c2+d2-2a-4b-6c-8d=-30, 所以a2+b2+c2+d2-2a-4b-6c-8d+30=0, 所以(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2+(d-4)2=0. 所以a-1=0,b-2=0,c-3=0,d-4=0, 所以a=1,b=2,c=3,d=4, ab+bc+cd+da=1×2+2×3+3×4+1×4 =24. 10.B【解析】由题意可知，(a一b)”的展开式第三项的系 数为1=2X1 ,(a一b)的展开式第三项的系数为3 ,a一b)的展开式第三项的系数为6=4X3. 3X2 2…, 则(a-b)°的展开式第三项的系数为10X9=45. 2 11.解：(1)因为a2+ab-(b2+ab)=a2-b2=5,所以(a +b)(a-b)=a2-b2=5. 因为a-b=1,所以a十b=5. (2)因为a-b=1,a+b=5,所以a2+b2= 2d(a+ b)+(a-b]=2(5+1)=13. 12.解：(1)S绿化=SE方形一S长方形 =(2a+b)2-ab =4a2+4ab+b2-ab =(4a2+b2+3ab)m2. 故绿化的面积是(4a2+b2+3ab)m。 (2)因为2a-b=6,ab=8, 所以4a2+b2=(2a-b)2+4ab=36+32=68, 所以4a2+b2+3ab=68+3×8=92. 故绿化面积为92m 13.解：(1)4 (2)-2x2-4x+3 =-2(x2+2.x)+3 =-2(x2+2.x+1-1)+3 =-2(x+1)2+5. 因为一2(x十1)≤0，所以当x=-1时，多项式 -2x2-4x+3有最大值，最大值是5. (3)原式=2a-4a+2+3b2+12b+12 =2(a2-2a+1)+3(b2+4b+4) =2(a-1)2+3(b+2) =0. 因为(a-1)2≥0，(b+2)2≥0， 所以(a-1)2=0,(b十2)2=0，即a一1=0，b+2=0, 所以a=1,b=一2. 个6 七年级数学XJ版 1.2.3运用乘法公式进行计算和推理 1.C2.C变式题-x十y 3.解：(1)原式=a2+2a十1+a2-2a+1-2 =2a2. (2)原式=(3+y+3-y)(3+y-3+y) =6X2y =12y. (3)原式=(x十2y)2-3 =x2+4xy+4y2-9. (4)原式=(a-b)2+2(a-b)c+c =a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2 =a2+b2+c2+2ac-2ab-2bc. (5)原式=(x-y)(.x一y)2 =(x-y)(x2-2xy+y2) =x-2x2y+xy2-x'y+2xy'-y =x3+3.xy2-y3-3x2y. 4.解：因为原式=16m-4n+4n-16 =16m°-16， 所以（号m2+2n)(行m-2m）+(2m-404+2m)的 值与n的取值无关， 5.解：因为4m十n=90,2m-3n=10,所以(m+2n)2 (3m-n)2=[(m十2n)+(3m-n)][(m+2n)-(3m -n)]=(4m+n)(3n-2m)=90×(-10)=-900. 6.100×4×5+25100×202×203+25 7.A【解析】因为m2-n2=5,所以(m十n)2(m-n)2= (n2-n2)2=52=25. 8.A【解析】根据题意，得①ab=(a一b),b米a=(b一 a)2,所以a*b=b米a,所以该推断正确；②(a*b)2= [(a-b)2]=(a-b),a2*b2=(a2-b2)2=(a+b)2(a 一b)2,所以该推断不正确；③(-a)*b=(-a-b) =(a十b)2,a￥（一b)=(a十b)2,所以该推断正确；④a *(b+c)=(a-b-c)2,a￥b+a*c=(a-b)2十(a c),所以该推断不正确.综上所述，正确的是①③. 9.解：原式=4x2+12xy十9y2-4x2+y2-xy十2y =11xy+12y2. 当x=1,y=一1时， 原式=11×1×(-1)+12×(-1)2=-11+12=1. 10.解：原式=[(2x-6)+y][(2x-6)-y]+y =(2x-6)2-y2+y2 =(2x-6)2. 故原式的化简结果与y的取值无关，且当x=3时， 该式有最小值，最小值为0. 11.解：(1)82-4=8×6 (2)第n个等式为(n十4)2-n2=8(n+2). 因为左边=n2+8n+16-n2=8n+16, 右边=8n十16，所以左边=右边， 所以(n+4)2-n2=8(n十2). 12.解：原式=2(1-2)(1+2)(1+是)(1+安)(1+ )+品 =21-)+品 1,1 =2-2+2 =2. 重难题型专练乘法公式的灵活应用 1.解：(1)原式=(a-2b)2-2(a-2b)·3c+9c =a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c =a2+4b2+9c2-4ab-6ac+12bc. (2)原式=[(x-之)+2y][(x-之)-2y]-[(x一 )+y] =(x-z)2-4y2-(x-x)2-2(x-z)y-y =-5y2-2xy+2yz. (3)原式=4m2-4m+1-(9m2-1)+5m2-5m =9m2-9m+1-9m2+1 =-9m+2. 2.C 3.a+b-c 4解：1m+-(+)广-2m·6-2=3 m (2)因为m十】=6，所以m'+1=6m,即m2-6m= m -1, 所以(m-3)2=m2-6m+9=-1+9=8. 5.解：(1)原式=172+2×17×3+3 =(17+3) =202 =400. (2)原式=(10-1)×(10+1)×(100+1)×(10000+ 1) =(100-1)×(100+1)×(10000+1) =(10000-1)×(10000+1) =100002-1 =100000000-1 =99999999. (3)原式=(50+1)°(50-1D+(50+1D×60-1D 2 _502+100+1+50-100+1+502-1 2 =502+1+502-1 =5000. 6.解：(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n) =9n2-1-(9-n2) =10n2-10 =10(n2-1) 因为n为正整数，所以n2一1为整数， 所以(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的 倍数 7.解：(1)507505 (2)规律：4n=(n十1)2-(n-1)2 验证：右边=(n十1)2-(n-1)2=n2+2n十1-n2+2n 一1=4n=左边. (3)不是.理由如下： 设相邻的两个整数分别是a,a十1. 根据题意可知，(a十1)2-a2=2a十1， 化简结果为奇数，所以不是4的倍数. 故相邻的两个整数的平方差不是4的倍数。 8.解：(1)由题意得，S1=a2一b2,S2=(a十b)(a一b). (2)由(1)，可得乘法公式(a十b)(a-b)=a2-b. (3)20222-2021×2023 =20222-(2022-1)×(2022+1) =20222-20222+1 =1. 9.解：(1)(2a+b)(2b+a) (2)S=(2a+b)(2b+a)=4ab+2a2+2b2+ab=(2a +2b2+5ab)cm2. (3)根据题意，得2(a+b)=22,a2十b2=65, 所以a+b=11,所以(a十b)2=121, 即a2+2ab+b2=121, 所以2ab=121-65=56,所以ab=28, 所以S=2a2+2b2+5ab=2×65+5×28=130+140 =270. 故这张长方形大铁皮的面积为270cm。 章末对点导练 1.C 2.A【解析】因为x十2y一4=0，所以x十2y=4,所以 4·2-2=22wX2-2=2+2-2=2-2=22=4. 3.C【解析】因为2”=6=2×3=2×2m=21+",所以n= 1十m.因为2°=12=2×3=22+m,所以p=2十m,所 以p=n十1，所以m十p=n-1十n十1=2n. 4.x45.2 6.2x6【解析】原式=x+9.xs-8x5=2x. 7.解：1212=(3×4)12=32×42=(3)3×(43)=a3b. 8.A9.D10.D 11.16【解析】因为一x2y=2,所以x2y=-2,所以原式 =-xy3+x'y2-2x2y=-(x2y)3+(x2y)2- 2x2y=-(-2)3+(-2)2-2×(-2)=8+4+4 =16. 12.解：原式=3a2-3a+a-1-(5a2-6a+15a-18) =3a2-2a-1-5a2+6a-15a+18 =-2a2-11a+17. 13.解：原式=x3-2x2+px2-2px+x-2=x3+（p 2)x2+(1-2p)x-2. 因为(x十px十1)(x一2)的结果中不含二次项， 所以p一2=0，解得p=2, 下册参考答案 7个