1.2.2 完全平方公式-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

1.2.2完全平方公式 第1课时完全平方公式 里点提园 完全平方公式：(a十b)=a2十2ab十b,(a一b)2=a2一2ab十b2,即两数和（或差）的平方，等于它们的平方 和加（或减）它们的积的2倍。 已课内基础练 6.运用完全平方公式计算： 知识点①完全平方公式的概念及计算 (1)(3ab-4)2. (2(3m+号月 1.运用乘法公式计算(a一2)2的结果是( A.a2-4a+4 B.a2-2a+4 C.a2-4 D.a2-4a-4 2.(2025岳阳岳阳楼区校级月考)下列运算： (3)(-3.x-y)2. ①(3x+y)2=9.x2+y2;②(a-2b)2=a2-4b2； ③-x=r+2y+y:@(x-2)厂=x 知识点② 完全平方公式的展开求值及几何 一2x十京其中运算错误的有 意义 A.1个 B.2个 7.若(3x一1)2=9x2+a.x+1,则a的值为 C.3个 D.4个 ( 3.下列各式中，能用完全平方公式进行计算 A.6 B.±3 C.-6 D.±6 的是 8.如图，对于等式(a十b)2=a2十b2,甲、乙、丙 A.(a+b)(a-b) B.-(-a-b)(a+b) 三人有不同看法，其中说法正确的是() C.(a+b)(-a+b)D.(-a-b)(a-b) 甲：无论a和b乙：只有当a=0丙：当a=0或 取何值，等式均时，等式才能b=0时，等式 4.填空： 不能成立. 成立 成立 (1)(a+2b)2= 第8题图 (2)(2a+b)2= A.甲 B.乙 (3)(a-2b)2= C.丙 D.均不正确 9.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数 (4)(2a-b)2= 学公式.如图，根据图甲，可以得到两数和的 5.填空： 平方公式： (1)(2x+ )2=4x2十 根据图乙，可以得到两数差的平方公式： (2)(x+ )2=x2+10x十 (3)(3x+ )2=9x2+12.xy十 (4)(3a-5b)2=9a2+( +25b2. 第9题图 下册第1章 15△ 15.先化简，再求值： 易错点忽略分类讨论而漏解 (1)(2a+b)(a-2b)-2(a-b)2,其中a= 10.若x2+(m-1)x十4是完全平方式， 则m= 2025,b=-1. 已课外拓展练 (2)(2x-3)2-4x(-1,其中x=8 11.若n为正整数，则(2n+1)2-4n(n一1)一1 的结果 A.一定能被6整除B.一定能被8整除 C.一定能被10整除D.一定能被12整除 12.(2025郴州期中)已知x2一x一4=0，代数 式(x-2)2+(x-1)(x+3)的值为 13.纠错题小明在计算a(2+a)一(a一2)2 已核心素养练 时，解答过程如下： a(2+a)-(a-2)2 16.运算能力已知ab=1. =2a+a2-(a2-4)① 因为(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b2+ =2a+a2-a2-4② 2,① =2a-4.③ (a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2,② 小明的解答从第 步开始出错 所以由①，得a2十b2=(a+b)2-2,或由 (填序号)，请写出正确的解答过程。 ②，得a2+b2=(a-b)2+2,所以(a+b)2 -2=(a-b)2+2. 试根据上面公式的变形解答下列问题： (1)已知a一b=2,ab=1,则下列等式成立 14.已知x2十y2=4,xy=2,求下列代数式 的是 (填序号). 的值： ①a2+b2=6;②a4+b4=38;③(a+b)2 (1)(x+y)2 =8. (2)(x-y)2. (2)已知a+b=2,ab=1,求： ①代数式a2+b2的值： ②代数式a4+b的值： ③猜想代数式a2”+b2"(n为正整数)的值， 变式题本质相同：逆向思维 直接写出答案，不必说明理由. 已知(x一y)2=4,(x+y)2=64,求代数式 x2十y2的值. 16 七年级数学XJ版 第2课时完全平方公式的应用 要囱提园 完全平方公式的常见的变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a一b)2+2ab. 已课内基础练 5.若m+n=10,mn=5,则m2十n2的值为 知识点①底数的首项带“一”的完全平方式 1.计算（一x+1)2的结果等于 变式题完全平方公式的其他变形 A.x2-1 B.1-x2 已知a-b=3,ab=10,则a2十b2= C.x2-2x+1 D.-x2+2.x-1 2.下列等式成立的是 ( 6.把长和宽分别为a和b的四个相 A.(-x-1)2=(x-1)2 同的小长方形拼成如图所示的正 B.(-x-1)2=(x+1)2 方形，写出验证图形中阴影部分面 C.(-x+1)2=(x+1)2 积的等式： 第6题图 D.(x+1)2=(x-1)2 3.计算： 7.(教材变式)利用完全平方公式进行计算： (1)(-m+2n)2 (1)5012. (2)(-2x-3)2. 219月 (3)(-5a+2b)2. (4)(-4x-3y)2. 8.正方形的边长增加了2cm,面积相应增加了 24cm.求这个正方形原来的面积. 知识点②完全平方公式的运用 4.计算1012+992的结果为 A.2002 B.2×2002 C.2×1002+1 D.2×1002+2 下册第1章 7△ 已课外拓展练 (2)若2a一b=6,ab=8,求绿化面积. 9.(2025郴州桂阳校级月考)已知2a十4b十6c +8d=60,a2+b2+c2+d2=30,则ab+bc +cd+da的值是 10.观察下列各式及其展开式： (a-b)2=a2-2ab+b2; 已核心素养练 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3; 13.运算能力我们把多项式a2+2ab十b2及 (a-b)4=a-4a3b+6a2b2-4ab3+b4: a2一2ab+b2叫作完全平方式.如果一个多 (a-b)5=a5-5a4b+10a3b2-10a2b3+ 项式不是完全平方式，我们常常做如下变 5ab4-b5; 形：先添加一个适当的项，使式子中出现完 全平方式，再减去这个项，使整个式子的值 请你猜想(a一b)0的展开式第三项的系 不变，这种方法叫作配方法.例如：x2十2x 数为 ( -3=(x2+2x十1)-4=(x+1)2-4=(x A.-36B.45 C.-55D.66 +1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1);2x2 11.已知a2+ab=15,b2+ab=10,a-b=1,求 +4x-6=2(x2+2x+1)-8=2(x+1)2 下列各式的值： 一8.当x=一-1时，2x2+4x-6有最小值， (1)a+b. (2)a2+b2. 最小值是一8.根据材料用配方法解决下列 问题： (1)若多项式x2一4x十k是一个完全平方 式，则常数k= (2)当x为何值时，多项式一2x2一4x十3 有最大值？请求出这个最大值， (3)已知2a2+3b2-4a+12b+14=0,求出 a,b的值. 12.如右图，学校有一块边长为 (2a十b)m的正方形空地，计 划在阴影部分的地方进行绿 化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为 am、宽为bm的长方形鱼池供观赏. (1)绿化的面积是多少平方米？ 418 七年级数学XJ版所以Smes分=2a(a-b)+号6(a-b)=2(a 1 +6a-6=2a-6)=7×30=15 1 14.解：原来的面积为2a·2a=4a2(m2). 改造后的面积为(2a一3)(2a+3)=(4a2-9)m, 因为4a2-(4a2-9)=9>0,所以改造后的长方形草 坪的面积与原来的面积相比，变小了. 15.解：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)299×301+1 =(300-1)(300+1)+1 =3002-1+1 =90000. 3(1-)×(1-号)×(1-)×…×(1 202F)×(1-202） -(1-2)×(1+2)×(1-3)×(1+3)(1 )×(1+4)×…×(1-2024)(1+202)(1 202)×1+20） 2023、2025 20242024 2024、2026 20252025 =1×2026 2×2025 1013 =2025 1.2.2完全平方公式 第1课时完全平方公式 1.A2.C3.B 4.(1)a2+4ab+4b2(2)4a2+4ab+b2(3)a2-4ab+ 4b2(4)4a2-4ab+b2 5.(1)14.x(2)525(3)2y4y2(4)-30ab 6.解：(1)原式=9ab2-24ab+16. 1 (2)原式=9m+2m+g (3)原式=9.x2+6.xy+y2. 0)原式=号-2红+是 9 7.C8.C 9.(a+b)2=a2+2ab+b2(m-n)2=m2-2mn+n 10.5或一3 11.B【解析】因为原式=(4n2+4n+1)-(4n2-4n)- 1=8,且n为正整数，所以结果一定能被8整除. 12.9 13.解：① a(2+a)-(a-2)9 =2a+a2-(a2-4a+4) =2a+a2-a2+4a-4 =6a-4. 14.解：(1)因为x2+y2=4,xy=2, 所以(x+y)2=x2+2xy十y2=4+2×2=8. (2)因为x2+y2=4,xy=2, 所以(x-y)=x2-2.xy十y2=4-2×2=0. 变式题解：(x-y)2=x2-2xy十y2=4,① (x+y)2=x2+2xy+y2=64.② 由①十②，得2x2+2y2=68,所以x2+y2=34. 15.解：(1)(2a+b)(a-2b)-2(a-b)2=2a2-4ab+ab -2b2-2(a2-2ab+b2)=2a2-3ab-2b2-2a2+ 4ab-2b2=ab-4b2.当a=2025,b=-1时，原式= 2025×(-1)-4×(-1)2=-2025-4=-2029. (2)原式=4x2-12x+9-4x2+4x=-8x十9. 当x=8时，原式=一1+9=8 16.解：(1)①③ (2)①a2十b2=(a+b)2-2ab=22-2×1=2. ②a'+b'=(a2+b2)2-2a2b2=22-2(ab)2=22-2 ×12=2. ③猜想：a2”十b2m=2. 【解析】(1)①a2+b2=(a-b)2+2ab=22+2×1=6, 故①正确；②a+b=(a2+b2)2-2a2b2=62- 2(ab)2=36-2×1=34,故②错误；③(a+b)2=(a -b)2+4ab=2+4×1=8,故③正确. 第2课时完全平方公式的应用 1.C2.B 3.解：(1)原式=(-m)2+2×(-m)×2n+(2n) =m2-4mn+4n2. (2)原式=[-(2.x+3)] =(2x+3)2 =4.x2+12.x+9. (3)原式=(-5a)2+2×(-5a)·2b+(2b)2=25a2- 20ab+4b2. (4)原式=[-(4.x+3y)]2=(4.x+3y)2=16.x2+24.xy +9y. 4.D 5.90【解析】因为m十n=10,mn=5,所以m2十n2=(m +n)2-2mn=100-10=90. 变式题29【解析】因为a-b=3,ab=10,所以a2+ b2=(a-b)2+2ab=9+20=29. 6.4ab=(a+b)2-(a-b)2【解析】阴影部分的面积为 大正方形的面积减去小正方形的面积，所以4ab=(a +b)2-(a-b)2. 7.解：(1)原式=(500+1)2=5002+2×500+12= 250000+1000+1=251001. (2)原式=(20-3)广=20-2×20×日+（日） 1 .1 400-5+64=3956m 下册参考答案 5 8.解：设这个正方形原来的边长是xcm. 由题意，得(x十2)2-x2=24, 解得x=5. 故这个正方形原来的面积为52=25cm 9.24【解析】2a十4b+6c+8d=60,① a2+b2+c2+d2=30.② ②-①得a2+b2+c2+d2-2a-4b-6c-8d=-30, 所以a2+b2+c2+d2-2a-4b-6c-8d+30=0, 所以(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2+(d-4)2=0. 所以a-1=0,b-2=0,c-3=0,d-4=0, 所以a=1,b=2,c=3,d=4, ab+bc+cd+da=1×2+2×3+3×4+1×4 =24. 10.B【解析】由题意可知，(a一b)”的展开式第三项的系 数为1=2X1 ,(a一b)的展开式第三项的系数为3 ,a一b)的展开式第三项的系数为6=4X3. 3X2 2…, 则(a-b)°的展开式第三项的系数为10X9=45. 2 11.解：(1)因为a2+ab-(b2+ab)=a2-b2=5,所以(a +b)(a-b)=a2-b2=5. 因为a-b=1,所以a十b=5. (2)因为a-b=1,a+b=5,所以a2+b2= 2d(a+ b)+(a-b]=2(5+1)=13. 12.解：(1)S绿化=SE方形一S长方形 =(2a+b)2-ab =4a2+4ab+b2-ab =(4a2+b2+3ab)m2. 故绿化的面积是(4a2+b2+3ab)m。 (2)因为2a-b=6,ab=8, 所以4a2+b2=(2a-b)2+4ab=36+32=68, 所以4a2+b2+3ab=68+3×8=92. 故绿化面积为92m 13.解：(1)4 (2)-2x2-4x+3 =-2(x2+2.x)+3 =-2(x2+2.x+1-1)+3 =-2(x+1)2+5. 因为一2(x十1)≤0，所以当x=-1时，多项式 -2x2-4x+3有最大值，最大值是5. (3)原式=2a-4a+2+3b2+12b+12 =2(a2-2a+1)+3(b2+4b+4) =2(a-1)2+3(b+2) =0. 因为(a-1)2≥0，(b+2)2≥0， 所以(a-1)2=0,(b十2)2=0，即a一1=0，b+2=0, 所以a=1,b=一2. 个6 七年级数学XJ版 1.2.3运用乘法公式进行计算和推理 1.C2.C变式题-x十y 3.解：(1)原式=a2+2a十1+a2-2a+1-2 =2a2. (2)原式=(3+y+3-y)(3+y-3+y) =6X2y =12y. (3)原式=(x十2y)2-3 =x2+4xy+4y2-9. (4)原式=(a-b)2+2(a-b)c+c =a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2 =a2+b2+c2+2ac-2ab-2bc. (5)原式=(x-y)(.x一y)2 =(x-y)(x2-2xy+y2) =x-2x2y+xy2-x'y+2xy'-y =x3+3.xy2-y3-3x2y. 4.解：因为原式=16m-4n+4n-16 =16m°-16， 所以（号m2+2n)(行m-2m）+(2m-404+2m)的 值与n的取值无关， 5.解：因为4m十n=90,2m-3n=10,所以(m+2n)2 (3m-n)2=[(m十2n)+(3m-n)][(m+2n)-(3m -n)]=(4m+n)(3n-2m)=90×(-10)=-900. 6.100×4×5+25100×202×203+25 7.A【解析】因为m2-n2=5,所以(m十n)2(m-n)2= (n2-n2)2=52=25. 8.A【解析】根据题意，得①ab=(a一b),b米a=(b一 a)2,所以a*b=b米a,所以该推断正确；②(a*b)2= [(a-b)2]=(a-b),a2*b2=(a2-b2)2=(a+b)2(a 一b)2,所以该推断不正确；③(-a)*b=(-a-b) =(a十b)2,a￥（一b)=(a十b)2,所以该推断正确；④a *(b+c)=(a-b-c)2,a￥b+a*c=(a-b)2十(a c),所以该推断不正确.综上所述，正确的是①③. 9.解：原式=4x2+12xy十9y2-4x2+y2-xy十2y =11xy+12y2. 当x=1,y=一1时， 原式=11×1×(-1)+12×(-1)2=-11+12=1. 10.解：原式=[(2x-6)+y][(2x-6)-y]+y =(2x-6)2-y2+y2 =(2x-6)2. 故原式的化简结果与y的取值无关，且当x=3时， 该式有最小值，最小值为0. 11.解：(1)82-4=8×6 (2)第n个等式为(n十4)2-n2=8(n+2). 因为左边=n2+8n+16-n2=8n+16, 右边=8n十16，所以左边=右边， 所以(n+4)2-n2=8(n十2).