1.2.1 平方差公式-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

1.2乘法公式 1.2.1平方差公式 第1课时平方差公式 森要提园 平方差公式：(a十b)(a一b)=a2一b2,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 已课内基础练 (4)(3a+b)(3a-b)+2b2. 知识点① 平方差公式的概念及计算 1.计算(1+y)(1-y)的结果是 A.1+y2 B.-1-y2 (5)(x-2y)(x+2y)-y(x-4y). C.1-y2 D.-1+y2 2.(2025张家界慈利期中)下列式子正确的是 A.(3a+4)(3a-4)=9a2-4 知识点② 平方差公式的展开求值及几何 B.(2a2-b)(2a2+b)=4a2-b2 意义 C.(3-x)(x+3)=9-x2 6.若m十n=7,m一n=一8，则m2一n2的值为 D.(-x+y)(x+y)=-x2-y 3.(教材变式)计算： A.-15 B.15 (1)(x十3)(x-3)= C.-56 D.56 (2)(-x+y)(-x-y)= (3)(-6a-b)(-6a+b)= 变式题本质相同：逆向思维 4.填空： 已知a2-b2=12,且a一b=-2,则a+b (1)( )(5-x)=25-x2, (2)(x”+y")( )=t2n-y2n 7.若(m+1)(m一1)=8，则m的值为() 5.计算： A.3 B.±3C.-3D.±5 (1)(4m+n)(4m-n). 8.如图①，边长为a的大正方形中有一个边长 为b的小正方形.若将图①中的阴影部分拼 成一个长方形（如图②），比较两图中阴影部 (2)(2m-3)(2m+3). 分的面积，写出一个正确的等式： (3)(5m-6n)(5m+6n). b 图① 图② 第8题图 下册第1章 已课外拓展练 13.新定义题对于任意有理数，我们规定 9.若a+b=3,则a2-b2+6b的值为( 1 =ad-bc.例如： =1×4-2 A.3 B.6 C.9 D.12 c d 34 10.若a2-2a=0,则代数式(a+1)(a-1) ×3=-2.当a2一3a+1=0时，求 2a的值为 a+1 3a 的值. 11.(1)先化简，再求值：2x(x一2)+(2-x)(4 a-2a-1 +2x),其中x=一2. (2)已知a2-2b2=5,求代数式(a+b)(a b)+(2a+3b)(2a-3b)的值. 巴核心素养练 14.推理能力(1)填空： (a-b)(a+b)= (a-b)(a2+ab+b2)= (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= (2)猜想：(a-b)(a"-1+a"-2b+…十ab"-2 十b”-1)= 12.解方程：(1)(3一x)(3十x)一x(5一x)=4. (n为正整数，且 n≥2). (3)利用(2)中猜想的结论计算：37+3十3 +34+33+32+3+1. (2)(x-2)(2x-5)-2(x-1)(x+1)=3. 七年级数学XJ版 第2课时平方差公式的应用 要点提园 平方差公式的常见变形：(1)(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2;(2)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a -b)=a2-b2:(3)(a+b)(-a+b)=(b+a)(b-a)=b2-a2:(4)(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a) =(-b)2-a2=b2-a2」 已课内基础练 知识点② 平方差公式的运用 知识点① 平方差公式的变形 7.(教材变式)运用平方差公式计算： 1.计算(-x+2y)(2y十x)的结果是( (1)197×203. A.4y-x B.4y+x C.4y2-x2 D.2y2-x2 2.(-5a+4b)( )=25a2-16b2,括号内应 填 ( ) (2)99.8×100.2. A.5a+4b B.5a-4b C.-5a-4b D.-5a+4b 3.(2025永州冷水滩区校级月考)下列能用平 方差公式计算的是 () 59 (3)603 1 A.(-x+y)(x+y)B.(x+y)(x+y) 3 C.(x+2)(2+x)D.(2x十3)(3x-2) 4.计算： (1)(a+b)(b-a)= (2)(x-y)(-x-y)= 5.填空： 20252 (1)(2a+4b)( )=16b2-4a2 (4)2026×2024+T (2)(-3.x2+2y2)( )=9x -4y. 6.计算： (1)(-3a+2b)(3a+2b). 易错点 对平方差公式的特征理解不透彻 而致错 (2)(2b-3a)(-3a-2b). 8.下列运算正确的是 A.(a-2b)(a-2b)=a2-4b2 B.(-a+2b)(a-2b)=-a2+4b2 (3)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3). C.(a+2b)(-a+2b)=a2-4b2 D.(-a-2b)(-a+2b)=a2-4b2 下册第1章 13△ 巴课外拓展练 14.某广场内有一块边长为2am的正方形草 9.若a≠0，且单项式m满足m一36y2=(一5x 坪.统一规划后，南北方向要缩短3m,东西 6y)(6y+a.x),则m,a的值分别是 方向要加长3m,则改造后的长方形草坪的 面积与原来的面积相比，是变大了，还是变 A.25.x2,-5 B.5.x2,-5 小了？请通过计算说明. C.25x2,5 D.5.x2,5 10.已知M=20242,N=2023×2025,则M 与N的大小关系是 ( A.M>N B.M<N C.M-N D.不能确定 色核心素养练 11利用平方差公式计算，2+3一4华 15.数形结合思想初中数学的一些代数公式 3 7 可以通过几何图形的面积来推导和验证， 52-62 十…十 20232-2024 11 4047 的结果为 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个 边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪， 然后拼成一个长方形，如图②： 12.将下列10个乘积按照从小到大的顺序 (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可 排列. 11×29,12×28,13×27,14×26,15×25, 以验证的公式是 (2)利用(1)中的公式简便计算：299×301+1. 16×24,17×23,18×22,19×21,20×20. (3)计算：(1-2)×(1-3)×(1-) x1-2×1-302 图① 图② 13.如下图，已知大正方形与小正方形的面积 之差是30，求阴影部分的面积. 414 七年级数学XJ版=5.x3-5.x2-3.x. (5)原式=a3-2a(2a2-6a2-6a) =a3-4a3+12a3+12a =9a3+12a2. 7.A8.2a(a+b)=2a2+2ab(答案不唯一)9.D 10.C 11.一m+2m【解析】由题意，得n=(m一1)(1-2)= 一m十1，所以把数对(n,m)放入该魔盒，得到的结果 为(-m+1-1)(m-2)=-m(m-2)=-m2+2m. 12.解：(1)原式=6a3-12a2十9a-6a3-8a =-20a2+9a. 当a=-2时，原式=-20×(-2)2+9×(-2)= -98. (2)原式=2x3y-6.x2y-8.xy =2(xy2)3-6(xy2)2-8xy2. 当xy2=3时，原式=2×33-6×32-8×3 =2×27-6X9-24=-24. 13.解：原式=-10.x2十6.x3一2m,x十12x十3x一nx2 十x =12x5+(3-2m)x+6x3+(-10-n)x2+x. 由题意，得3一2m=0,一10一n=0, 3 解得m=2n=-10. 14.解：(1)由题意可知，两个卧室以外的部分的面积为3y· y+2y·(3.x-x-y)=3y2+4xy-2y2=(y2+ 4xy)m,所以至少需要(y2十4xy)m2的地砖.购买这 种地砖至少需要(y2+4xy)a=(ay2+4a.xy)元. (2)客厅贴墙纸的面积为(2y十6y)h=8hy(m), 两个卧室贴墙纸的面积为(4x十6y)h=(4hx+6hy)m, 所以贴墙纸的总面积为8hy十4h.x+6hy=(14hy+ 4hx)m, 所以至少需要(14hy十4h.x)m的墙纸， 所以购买所需的墙纸至少要(14hy+4hx)b=(14bhy +4bhx)元. 第2课时多项式与多项式相乘 1.D2.C3.C 4.(1)x2-m2(2)a2+4a+4(3)2.x2-5.x-3 5.解：(1)原式=m2-4m十8m-32 =m2+4m-32. (2)原式=-(2a+1)(a十2) =-(2a2+4a十a+2) =-2a2-5a-2. (3)原式=x2-4x+3.x-12-x2-2x =-3.x-12, 6.B 7.解：A-B=(x-3)(x-6)-(x-2)(x-7) =x2-9x+18-(x2-9x+14) =x2-9x+18-x2+9x-14 =4. 因为4>0，所以A>B. 8.解：(3a十2b)(2a+b)=6a2+7ab+2b2. 因为S4=a2,S4=b2,Sc=ab,所以需要6张A类的 卡片，2张B类的卡片，7张C类的卡片. 9.A【解析】原式=x3-2ax2+3.x+5.x2-10a.x+15 =x3-(2a-5)x2+(3-10a)x+15. 因为(x2-2a.x十3)(.x十5)的计算结果中不含x的二 次项， 所以-(2a-5)=0,解得a=， 10.C【解析】因为m+n=一2，mn=一2，所以(1- m)(1-n)=1+mn-(m+n)=1+(-2)-(-2) 1. 11.2x2+7x-4【解析】因为a☒b=(a.x十2b)(bx a),所以1☒2=(x+2×2)(2x一1)=(x+4)(2x 1)=2x2-x+8x-4=2x2十7x-4. 12.解：(1)(x十2)(x-2)+x(1-x) =x2-2x十2x-4十x-x =x-4. 当x=6时，原式6-4=2. (2)因为原式=n2+51-(n2-n-6) =n2十5n-n2+n+6 =6n+6 =6(n+1), 所以对于任意自然数n,多项式n(n十5)一(n-3)(n 十2)的值能被6整除. 13.解：(1)由题意，得(2x-a)(3x-2)=6x2十(-4- 3a)x+2a=6.x2-19x+10, 所以2a=10,解得a=5,此时-4-3a=-19,符合题 意.故a的值为5. (2)(2x+5)(3x-2)=6x2-4x+15.x-10=6.x2+ 11x-10. 14.解：(1)①a3+83②.x3+y (2)原式=x3-x2y+xy2十x2y-xy2+y3=x 十y3. 15.解：-2< 设t=m+18.2025,p=(m+22.2025)(m+ 14.2025),g=(m+18.2025)(m+17.2025), 所以p=(t+4)(t-4),q=t(t-1), 所以原式=p-q=(t十4)(t-4)-t(t-1)=t2-4t +4t-16-t2+t=t-16=m+18.2025-16=m +2.2025. 1.2乘法公式 1.2.1平方差公式 第1课时平方差公式 1.C2.C 3.(1).x2-9(2)x2-y2(3)36a2-b 4.(1)5+x(2)x"-y 5.解：(1)原式=(4m)2一n =16m2-n2. 下册参考答案 3△ (2)原式=(2m)2一3 =4m2-9. (3)原式=(5m)2一(6n)8 =25m2-36n2. (4)原式=9a2-b2+2b2 =9a2+b2. (5)原式=x2-4y2-xy+4y =x-xy. 6.C 变式题-6【解析】因为a2-b2=12,a-b=-2,所 以(a+b)(a一b)=12,所以-2(a+b)=12,所以a+b =-6. 7.B【解析】因为(m+1)(m-1)=8,所以m2-1=8, 即m2=9,解得m=士3. 8.a2-b2=(a十b)(a一b)(答案不唯一)【解析】图①中 阴影部分的面积为S,=a2-b. 图②中阴影部分的面积为S2=(a+b)(a一b). 由两图中阴影部分的面积相等可得，a2一b2=(a十 b)(a-b). 9.C【解析】因为a+b=3,所以a2-b2+6b=(a+ b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b =3(a+b)=3×3=9. 10.-1【解析】由题意，得(a+1)(a-1)-2a=a2-1 -2a=a2-2a-1.因为a2-2a=0,所以(a十1)(a 1)-2a=0-1=-1. 11.解：(1)原式=2x2一4x+2(2一x)(2+x) =2x2-4x+2(4-x2) =2.x2-4.x十8-2x =8-4x. 当x=-2时，原式=8-4×(-2)=8+8=16. (2)原式=a2-b2+(2a)2-(3b)2 =a2-b2+4a2-9b =5a2-10b2. 因为a2-2b2=5,所以原式=5×(a2-2b2)=5×5=25. 12.解：(1)去括号，得9一x2一5.x十x2=4, 移项、合并同类项，得-5x=一5， 系数化为1，得x=1. (2)去括号，得2x2-5.x-4x+10-2x+2=3, 移项、合并同类项，得一9x=一9， 系数化为1，得x=1. 13.解：原式=(a+1)(a-1)-3a(a-2)=a2-1-3a2 +6a=-2a2+6a-1. 因为a2一3a十1=0，所以a2一3a=一1， 所以原式=-2(a2-3a)-1=-2×(-1)-1=1. 14.解：(1)a2-b2a3-b3a'-b (2)a"-b" (3)原式=3-1)(3+3+3+3+3+3+3+1) 3-1 =3-1 2 =3280. 4 七年级数学XJ版 第2课时平方差公式的应用 1.C2.C3.A 4.(1)b2-a2(2)y2-x2 5.(1)4b-2a(2)-3.x2-2y2 6.解：(1)原式=(2b)2-(3a)2=4b2-9a2. (2)原式=(-3a)2-(2b)2=9a2-4b2. (3)原式=(-2.x)2-[(-2x)2-32] =4.x2-(4.x2-9)=9. 7.解：(1)原式=(200一3)×(200+3)=2002一32= 39991. (2)原式=(100-0.2)×(100+0.2)=1002-0.2= 9999.96. 3)原式=(60+)×(60-号)=60-（号） 3600-号-3599 5 2025 （4)原式=(2025+1)×(2025-1)+1 20252 20252-1+1=1. 8.D【解析】A.(a-2b)(a一2b)=a2-4ab十4b2,本选 项运算错误；B.(-a十2b)(a-2b)=-a2十4ab 4b2,本选项运算错误；C.(a+2b)(-a十2b)=4b一 a,本选项运算错误；D选项运算正确. 9.A【解析】因为m一36y2=(一5.x一6y)(6y+ax),且 m为单项式，所以a=-5.将a=-5代入（一5.x- 6y)(6y+ax)中进行计算，可得25x2一36y2,所以m =25x2. 10.A【解析】因为M=20242,N=2023×2025= (2024-1)(2024+1)=20242-1,所以M-N= 20242-(20242-1)=1>0,所以M>N. 1.-1012【解析】原式=1+2)X1-2十 3 (3+4)×(3-4) +5+6)×(5-6) 7 11 十…十 2023+2024)×(2023-2024)=3×(-1D 4047 3 7x(9-1D+1X(-1D+…+4047XCG-1D=(-1) 7 11 4047 +(-1)+(-1)+·+(-1)=(-1)×1012= -1012. 12.解：因为11×29=202-92,12×28=202-82， 13×27=202-72,14×26=202-62, 15×25=202-52,16×24=202-42, 17×23=202-32,18×22=202-22, 19×21=202-12,20×20=202-02, 所以这10个乘积按从小到大的顺序排列为11×29< 12×28<13×27<14×26<15×2516×24<17× 2318×22<19×21<20×20. 13.解：设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b. 由题意，得α2-b2=30, 所以Smes分=2a(a-b)+号6(a-b)=2(a 1 +6a-6=2a-6)=7×30=15 1 14.解：原来的面积为2a·2a=4a2(m2). 改造后的面积为(2a一3)(2a+3)=(4a2-9)m, 因为4a2-(4a2-9)=9>0,所以改造后的长方形草 坪的面积与原来的面积相比，变小了. 15.解：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)299×301+1 =(300-1)(300+1)+1 =3002-1+1 =90000. 3(1-)×(1-号)×(1-)×…×(1 202F)×(1-202） -(1-2)×(1+2)×(1-3)×(1+3)(1 )×(1+4)×…×(1-2024)(1+202)(1 202)×1+20） 2023、2025 20242024 2024、2026 20252025 =1×2026 2×2025 1013 =2025 1.2.2完全平方公式 第1课时完全平方公式 1.A2.C3.B 4.(1)a2+4ab+4b2(2)4a2+4ab+b2(3)a2-4ab+ 4b2(4)4a2-4ab+b2 5.(1)14.x(2)525(3)2y4y2(4)-30ab 6.解：(1)原式=9ab2-24ab+16. 1 (2)原式=9m+2m+g (3)原式=9.x2+6.xy+y2. 0)原式=号-2红+是 9 7.C8.C 9.(a+b)2=a2+2ab+b2(m-n)2=m2-2mn+n 10.5或一3 11.B【解析】因为原式=(4n2+4n+1)-(4n2-4n)- 1=8,且n为正整数，所以结果一定能被8整除. 12.9 13.解：① a(2+a)-(a-2)9 =2a+a2-(a2-4a+4) =2a+a2-a2+4a-4 =6a-4. 14.解：(1)因为x2+y2=4,xy=2, 所以(x+y)2=x2+2xy十y2=4+2×2=8. (2)因为x2+y2=4,xy=2, 所以(x-y)=x2-2.xy十y2=4-2×2=0. 变式题解：(x-y)2=x2-2xy十y2=4,① (x+y)2=x2+2xy+y2=64.② 由①十②，得2x2+2y2=68,所以x2+y2=34. 15.解：(1)(2a+b)(a-2b)-2(a-b)2=2a2-4ab+ab -2b2-2(a2-2ab+b2)=2a2-3ab-2b2-2a2+ 4ab-2b2=ab-4b2.当a=2025,b=-1时，原式= 2025×(-1)-4×(-1)2=-2025-4=-2029. (2)原式=4x2-12x+9-4x2+4x=-8x十9. 当x=8时，原式=一1+9=8 16.解：(1)①③ (2)①a2十b2=(a+b)2-2ab=22-2×1=2. ②a'+b'=(a2+b2)2-2a2b2=22-2(ab)2=22-2 ×12=2. ③猜想：a2”十b2m=2. 【解析】(1)①a2+b2=(a-b)2+2ab=22+2×1=6, 故①正确；②a+b=(a2+b2)2-2a2b2=62- 2(ab)2=36-2×1=34,故②错误；③(a+b)2=(a -b)2+4ab=2+4×1=8,故③正确. 第2课时完全平方公式的应用 1.C2.B 3.解：(1)原式=(-m)2+2×(-m)×2n+(2n) =m2-4mn+4n2. (2)原式=[-(2.x+3)] =(2x+3)2 =4.x2+12.x+9. (3)原式=(-5a)2+2×(-5a)·2b+(2b)2=25a2- 20ab+4b2. (4)原式=[-(4.x+3y)]2=(4.x+3y)2=16.x2+24.xy +9y. 4.D 5.90【解析】因为m十n=10,mn=5,所以m2十n2=(m +n)2-2mn=100-10=90. 变式题29【解析】因为a-b=3,ab=10,所以a2+ b2=(a-b)2+2ab=9+20=29. 6.4ab=(a+b)2-(a-b)2【解析】阴影部分的面积为 大正方形的面积减去小正方形的面积，所以4ab=(a +b)2-(a-b)2. 7.解：(1)原式=(500+1)2=5002+2×500+12= 250000+1000+1=251001. (2)原式=(20-3)广=20-2×20×日+（日） 1 .1 400-5+64=3956m 下册参考答案 5