专题8.9 特殊四边形的六大解题模型（知识解读+题型讲练 共36题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册专项复习培优讲义

专题8.9 特殊四边形的六大解题模型 【苏科版八下●新教材】 模型一 “中点四边形”模型-知识解读 模型特征： 条件 E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 ①四边形EFGH是平行四边形；②C四边形EFGH=AC+BD；③S四边形EFGH = S四边形ABCD 模型拓展： 拓展方向 图形背景由一般四边形拓展为特殊四边形 类型 矩形的中点四边形 菱形的中点四边形 正方形的中点四边形 条件 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是矩形 四边形EFGH是正方形 【模型讲练1 “中点四边形”模型】 【例1】如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【变式1】顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（   ） A．对角线互相垂直的四边形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．矩形 【变式2】如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 【变式3】如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 【变式4】如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【变式5】四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2） 如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 模型二 “十字架”模型-知识解读 模型特征： 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上，AE⊥BF 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上，EF⊥GH 图示 结论 ①△ABF≌△DAE;②BF=AE GH=EF 模型拓展： 拓展方向 由正方形向矩形拓展 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在矩形ABCD中，点E在AD 上，CE⊥BD 在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在AD,BC,AB,DC上，EF⊥GH 图示 结论 ①△BCD∽△CDE；② = = 【模型讲练2 “十字架”模型】 【例2】如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm． 【变式2】如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是 ． 【变式3】如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（　　） A． B．3 C． D． 【变式4】如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝ ． 【变式5】定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________； （2）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上． （3）如图2，在正方形中，点E，F，G分别在，，上，四边形是垂等四边形，且． ①求证：； ②若，求n的值； 模型三 “垂美四边形”模型-知识解读 模型特征： 条件 在四边形ABCD中，AC⊥BD 图示 结论 ①AB2+CD2=AD2+BC2 ;②S四边形ABCD=AC·BD 【模型讲练三 “垂美四边形”模型】 【例3】回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【变式1】在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【变式2】四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【变式3】如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 【变式5】和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由. 模型四 “含60°角的菱形”模型-知识解读 模型特征： 条件 四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O,∠ABC=60° 图示 结论 ①∠ABD=∠CBD=30°； ②△ABC和△ACD均为等边三角形； ③AB:AC:BD=1:1:; ④S菱形ABCD=AC·BD=BC2 【模型讲练四 “含60°角的菱形”模型】 【例4】如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形是菱形，．则菱形的周长为（   ） A．64 B．32 C．24 D．16 【变式2】如图，在矩形中，，，点P从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒，过点P作于点E，连接，． (1)______，______（用含t的代数式表示）； (2)试说明：无论t为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当t为何值时，为直角三角形． 【变式3】如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ． 【变式4】如图，在菱形中，，菱形的周长为16，点、分别为，的中点，点为菱形的边上任意一点（点不与点，重合），点，分别是，的中点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5】如图，菱形中，，点分别是上的点，，连接． (1)求证：； (2)以为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 模型五 “梯子”模型-知识解读 模型特征： 条件 线段AB的两端点在坐标轴上滑动，∠ABC=90°,AB的中点为Q, 连接OQ,CQ,OC 图示 结论 当O,Q,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OQ+CQ 【模型讲练五 “梯子”模型】 【例5】如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【变式1】．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【变式2】如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？ 【变式3】如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 【变式4】一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1） 这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 【变式5】如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答： （1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？ （2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？ 模型六 “半角”模型-知识解读 模型特征： 拓展方向 特殊四边形中的“半角”模型 类型 90°含45° 120°含60° 特点 正方形ABCD，∠EAF=45° 菱形ABCD,∠BAD=120°，∠EAF=60° 图示 变形 结论 ①△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE; ②EF=BE+DF ①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF; ②△AEF为等边三角形(连接AC,可得 △AEC≌△AFD) 【模型讲练六 “半角”模型】 【例6】如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【变式1】如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【变式2】问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【变式3】如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【变式4】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 【变式5】如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.9 特殊四边形的六大解题模型 【苏科版八下●新教材】 模型一 “中点四边形”模型-知识解读 模型特征： 条件 E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 ①四边形EFGH是平行四边形；②C四边形EFGH=AC+BD；③S四边形EFGH = S四边形ABCD 模型拓展： 拓展方向 图形背景由一般四边形拓展为特殊四边形 类型 矩形的中点四边形 菱形的中点四边形 正方形的中点四边形 条件 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是矩形 四边形EFGH是正方形 【模型讲练1 “中点四边形”模型】 【例1】如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【完整解答】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 【变式1】顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（   ） A．对角线互相垂直的四边形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．矩形 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．四边形的边的中点分别为点，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的性质可得，则，由此即可得． 【完整解答】解：如图，四边形的边的中点分别为点， 由三角形的中位线定理得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是对角线互相垂直的四边形， 故选：A． 【变式2】如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【思路引导】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【完整解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【考点再现】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 【变式3】如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 【答案】AC⊥BD，AC=BD/ AC=BD， AC⊥BD 【思路引导】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的判定定理即可得解． 【完整解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形． ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD， ∴EF∥GH，EF=GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH， ∴四边形EFGH为正方形． 故答案为：AC⊥BD，AC=BD． 【考点再现】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形的判定定理是解题的关键． 【变式4】如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【思路引导】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【完整解答】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【考点再现】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 【变式5】四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【思路引导】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【完整解答】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【考点再现】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 模型二 “十字架”模型-知识解读 模型特征： 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上，AE⊥BF 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上，EF⊥GH 图示 结论 ①△ABF≌△DAE;②BF=AE GH=EF 模型拓展： 拓展方向 由正方形向矩形拓展 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在矩形ABCD中，点E在AD 上，CE⊥BD 在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在AD,BC,AB,DC上，EF⊥GH 图示 结论 ①△BCD∽△CDE；② = = 【模型讲练2 “十字架”模型】 【例2】如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【思路引导】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【完整解答】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【考点再现】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 【变式1】如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm． 【答案】13 【思路引导】先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△ADE，从而求出PQ=AE． 【完整解答】过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 又∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∵AD∥BC， ∴∠APQ=∠PQM， 则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD ∴△PQM≌△ADE ∴PQ=AE= 故答案是：13. 【考点再现】本题主要考查正方形中的折叠问题, 正方形的性质.解决本题的关键是能利用折叠得出PQ⊥AE从而推理出∠AED=∠APQ=∠PQM，为证明三角形全等提供了关键的条件. 【变式2】如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是 ． 【答案】16. 【思路引导】解过点A作AM⊥GH于M，由正方形纸片折叠的性质得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，则EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一条直线的两直线平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，则∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，则DG=GM，由AAS证得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL证得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，则△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16． 【完整解答】解：过点A作AM⊥GH于M，如图所示： ∵将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处， ∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG， ∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA， ∴AM∥EG， ∴∠EGA=∠GAM， ∴∠EAG=∠GAM， ∴AG平分∠DAM， ∴DG=GM， 在△ADG和△AMG中， ∴△ADG≌△AMG（AAS）， ∴AD=AM=AB， 在Rt△ABP和Rt△AMP中， ∴Rt△ABP≌Rt△AMP（HL）， ∴BP=MP， ∴△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16， 故答案为16． 【考点再现】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【思路引导】设EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题． 【完整解答】解：∵将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处， ∴EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90° ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝3cm， 在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2， ∴（6﹣AF）2＝AF2+9 ∴AF＝ 故选C． 【考点再现】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式4】如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝ ． 【答案】. 【思路引导】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，推出∠BAE＝∠EBH，根据全等三角形的性质得到CF＝BE＝2，求得DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理即可得到结论． 【完整解答】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵BH⊥AE， ∴∠BHE＝90°， ∴∠AEB+∠EBH＝90°， ∴∠BAE＝∠EBH， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴CF＝BE＝2， ∴DF＝5﹣2＝3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°， 由勾股定理得：AF＝＝＝． 故答案为． 【考点再现】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE≌△BCF是解本题的关键． 【变式5】定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________； （2）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上． （3）如图2，在正方形中，点E，F，G分别在，，上，四边形是垂等四边形，且． ①求证：； ②若，求n的值； 【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）见解析；（3）①见解析；② 【思路引导】（1）矩形的邻边垂直且对角线相等，则矩形是垂等四边形； （2）根据垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形即可； （3）①由SAS证得△ADF≌△CDG（SAS），得出DF=DG，再由垂等四边形定义得出EG=DF，即可得出结论； ②过点G作GH⊥AD于H，则四边形CDHG为矩形，得出CG=DH，由①得EG=DG，由等腰三角形的性质得DH=EH，推出CG=DH=EH，证明△BFG为等腰直角三角形，得出∠GFB=45°，再证明△AEF为等腰直角三角形，得出AE=AF=CG，则AE=EH=DH，推出BC=3AE，BG=2AE，即可得出结果． 【完整解答】解：（1）∵矩形的邻边垂直且对角线相等， ∴矩形是垂等四边形， 故答案为：矩形； （2）由垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，如图1所示： ∵∠ABC=90°，BD=AC=， ∴四边形ABCD是垂等四边形； （3）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠A=∠C=90°， 在△ADF和△CDG中， ， ∴△ADF≌△CDG（SAS）， ∴DF=DG， ∵四边形DEFG是垂等四边形， ∴EG=DF， ∴EG=DG； ②过点G作GH⊥AD于H，如图2所示： 则四边形CDHG为矩形， ∴CG=DH， 由①得：EG=DG， ∵GH⊥DE， ∴DH=EH， ∴CG=DH=EH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD， ∵AF=CG， ∴AB-AF=BC-CG， 即BF=BG， ∴△BFG为等腰直角三角形， ∴∠GFB=45°， ∵∠EFG=90°， ∴∠EFA=180°-90°-45°=45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE=AF=CG， ∴AE=EH=DH， ∴BC=3AE，BG=2AE， ∵BC=nBG， ∴n=． 【考点再现】本题是四边形综合题，考查了垂等四边形的定义、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；正确理解垂等四边形的定义、证明△BFG和△AEF都为等腰直角三角形是解题的关键． 模型三 “垂美四边形”模型-知识解读 模型特征： 条件 在四边形ABCD中，AC⊥BD 图示 结论 ①AB2+CD2=AD2+BC2 ;②S四边形ABCD=AC·BD 【模型讲练三 “垂美四边形”模型】 【例3】回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【完整解答】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【考点再现】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【变式1】在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 【变式2】四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）． 【思路引导】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证； （2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证； （3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长． 【完整解答】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°， ∴点Q在直线CA上， ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠QDN=∠MDN=60°， ∵在△MND和△QND中， ， ∴△MND≌△QND（SAS）， ∴MN=QN， ∵QN=AQ+AN=BM+AN， ∴BM+AN=MN； （2）：. 理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP， 则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°， ∴点P在BM上， ∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠MDP=∠MDN=60°， ∵在△MND和△MPD中， ， ∴△MND≌△MPD（SAS）， ∴MN=MP， ∵BM=MP+BP， ∴MN+AN=BM； （3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴△BMG是等边三角形， ∴BM=MG=BG， 根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND， 根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN， ∴∠MND=∠MHN， ∴MN=MH， ∴GH=MH-MG=MN-BM=AN， 即AN=GH， ∵在△ANE和△GHE中， ， ∴△ANE≌△GHE（AAS）， ∴AE=EG=2.1， ∵AC=7， ∴AB=AC=7， ∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8， ∴BM=BG=2.8． 故答案为：2.8 【考点再现】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点． 【变式3】如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线； ②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA； ③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC． ④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA． 【完整解答】解：如图， ①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， ∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度， ∴D、A、E三点共线；故①正确； ②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠BDC=∠E=60°， ∴∠CDA=120°-60°=60°， ∴DC平分∠BDA；故②正确； ③∵∠BAC=60°， ∠E=60°， ∴∠E=∠BAC．故③正确； ④由旋转可知AE=BD， 又∵∠DAE=180°， ∴DE=AE+AD． ∵△CDE为等边三角形， ∴DC=DB+DA．故④正确； 故选：D． 【考点再现】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 【变式4】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）. 【思路引导】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答； （2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可． 【完整解答】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合， ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线， ∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AFG和△AFE中，， ∴△AFG≌△AFE， ∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF； （2）EF＝DF−BE； 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'， ∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠E'AF， 在△AEF和△AE'F中，， ∴△AFE≌△AFE'（SAS）， ∴FE＝FE'， 又∵FE'＝DF−DE'， ∴EF＝DF−BE； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'， 同（1）可证△AED≌AED'， ∴DE＝D'E． ∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°， ∴∠ECD'＝90°， 在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝， 故答案为：． 【考点再现】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式5】和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由. 【答案】且 【思路引导】由已知条件可证明，再根据全等三角形的性质，得到   ，在中，又，可得：，即可证明且. 【完整解答】解： 和是直角三角形 则 即 在与中     在中 又 则中，即，， 综上所述，且. 【考点再现】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键. 模型四 “含60°角的菱形”模型-知识解读 模型特征： 条件 四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O,∠ABC=60° 图示 结论 ①∠ABD=∠CBD=30°； ②△ABC和△ACD均为等边三角形； ③AB:AC:BD=1:1:; ④S菱形ABCD=AC·BD=BC2 【模型讲练四 “含60°角的菱形”模型】 【例4】如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【完整解答】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 【变式1】如图，四边形是菱形，．则菱形的周长为（   ） A．64 B．32 C．24 D．16 【答案】B 【思路引导】本题主要考查菱形的性质，利用菱形的四边相等证得为等边三角形是解题的关键．先证明为等边三角形，求得，再由菱形的四边相等可求得结果． 【完整解答】解：四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， 菱形的周长为， 故选：B． 【变式2】如图，在矩形中，，，点P从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒，过点P作于点E，连接，． (1)______，______（用含t的代数式表示）； (2)试说明：无论t为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)与能垂直， (4)或时，是直角三角形 【思路引导】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的动点问题，掌握在直角三角形中所对的边是斜边的一半和平行四边形的判定及菱形和矩形的性质运用是解题的关键． （1）根据题意，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，得，，再由，求解即可； （2）根据，得，再根据（1）得即可证明； （3）根据（2）所证四边形是平行四边形，利用时，四边形是菱形，菱形对角线垂直，可得，建立方程求解即可； （4）分别从与两种情况讨论即可求解． 【完整解答】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）证明：四边形是矩形， ， ， ， ． 由（1）可知，． ， ， 四边形是平行四边形． 无论为何值，四边形总是平行四边形； （3）解：与能垂直，理由如下： 由（2）可知， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 根据菱形的对角线互相垂直，可得， ． 解得， 当时，； （4）解：当时，．如图1， ， ， ，， ， 解得：； 当时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，是直角三角形． 【变式3】如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【完整解答】解：连接，作交的延长线于H， ∵在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 即求的最小值转化为求的最小值． ∵在中，， ∴， ∵菱形的边长为2， ∴， ∴， ∴， 当E与H重合时，最小值是， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式4】如图，在菱形中，，菱形的周长为16，点、分别为，的中点，点为菱形的边上任意一点（点不与点，重合），点，分别是，的中点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理．利用菱形的性质证明是等边三角形，利用三角形中位线定理求解即可． 【完整解答】解：连接， ∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点、分别为，的中点， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， 故选：A． 【变式5】如图，菱形中，，点分别是上的点，，连接． (1)求证：； (2)以为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角、平行四边形的判定等知识点． （1）由菱形的性质可得，易证是等边三角形可得，再结合，即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由可得．即，进而证明，即可证明结论． 【完整解答】（1）解：如图：∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 模型五 “梯子”模型-知识解读 模型特征： 条件 线段AB的两端点在坐标轴上滑动，∠ABC=90°,AB的中点为Q, 连接OQ,CQ,OC 图示 结论 当O,Q,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OQ+CQ 【模型讲练五 “梯子”模型】 【例5】如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】(1) (2)梯子的底端B在水平方向滑动了 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 【变式1】．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【完整解答】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【变式2】如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？ 【答案】梯子顶端下滑的距离是3米． 【思路引导】利用勾股定理求得OB的长，设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，然后根据勾股定理即可列方程求解； 【完整解答】解：在直角△AOB中，OB=（m）． 设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x， 在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12x）2+（9+x）2=225； 解得：x=0（舍）或x=3． 答：当梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离是3m时，与点B向外移动的距离有可能相等； 【考点再现】本题考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的求出下滑的距离． 【变式3】如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 【答案】 【思路引导】取的中点，连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得，在中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得，据此解题． 【完整解答】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【考点再现】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式4】一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有24米高；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【思路引导】（1）应用勾股定理求出的高度； （2）利用勾股定理求出的距离即可解答． 【完整解答】解：（1）由题意，得， 所以：（米)． （2）由，得 （米)． （米)． 答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【考点再现】本题考查了正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 【变式5】如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答： （1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？ （2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？ 【答案】（1）CE是15米；（2）AE有5米． 【思路引导】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，由于梯子长度不变，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长，从而得出答案； （2）由AE＝AC﹣EC即可求得结果． 【完整解答】解：（1）∵在Rt△ABC中， AB＝25米，BC＝15米， ∴AC＝＝20（米）， 在Rt△CDE中， ∵DE＝AB＝25米，CD＝BC+BD＝15+5＝20（米）， ∴EC＝＝15（米）， 答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15米； （2）由（1）知，AC＝20米，EC＝15米， 则AE＝AC﹣EC＝20﹣15＝5（米）． 答：梯子顶端A下落的长度AE有5米． 【考点再现】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出AC及EC的长是解题关键． 模型六 “半角”模型-知识解读 模型特征： 拓展方向 特殊四边形中的“半角”模型 类型 90°含45° 120°含60° 特点 正方形ABCD，∠EAF=45° 菱形ABCD,∠BAD=120°，∠EAF=60° 图示 变形 结论 ①△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE; ②EF=BE+DF ①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF; ②△AEF为等边三角形(连接AC,可得 △AEC≌△AFD) 【模型讲练六 “半角”模型】 【例6】如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【思路引导】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 【考点再现】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【思路引导】延长至H，使，连接，如图，则可用证明，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得，，进而可根据证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差求出，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解． 【完整解答】证明：延长至H，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 则在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：或（舍）， 故答案为：6． 【考点再现】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 【变式2】问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【思路引导】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【完整解答】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【变式3】如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【思路引导】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【完整解答】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【变式4】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1) (2)当时，仍有；见解析 (3) 【思路引导】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【完整解答】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，仍有；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：．理由如下： 把绕点A顺时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【考点再现】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性比较强，能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． 【变式5】如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①它们的关系为．证明见解析；②当秒时周长为，当时，不存在；当秒时，周长为 【思路引导】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由勾股定理直接求解； （2）①如图1，延长到点G，使，连结，先证明，再证明，即可求解；②依题意得，记的周长，则，故（I）当秒时，点在线段上，点在上，由①知 ，II）当时，点与点重合，不存在；III）当时，点在延长线上，点在延长线上，如图2，在上取点G，使，连结，同理可得，， ． 【完整解答】（1）解：，， ； （2）解：①它们的关系为．理由如下 如图1，延长到点G，使，连结， 又， ，， ， 又， 即 ②依题意得，记的周长， ，， ， （I）当秒时，点在线段上，点在上， 由①知 ， II）当时，点与点重合，不存在. III）当时，点在延长线上，点在延长线上， 如图2，在上取点G，使，连结， 同理可得， 综上所述，当秒时周长为， 当时，不存在. 当秒时，周长为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $