专题8.8 特殊四边形的折叠、动点、最值问题（五大题型训练 共30题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册专项复习培优讲义

专题8.8 特殊四边形的折叠、动点、最值问题 【苏科版八下●新教材】 题型一 矩形中的折叠问题 模型解读 应用模型解决问题 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【完整解答】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 2．如图，折叠矩形纸片的一边，使点落在边上的点处，若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质、折叠以及勾股定理，根据折叠的性质得到，通过勾股定理求得，进而得到，再列方程求得即可求三角形面积． 【完整解答】矩形纸片 矩形沿着折叠，点落在边上的点处 ， 解得： 故选：C． 3．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了图形翻折变换的性质，勾股定理．根据矩形的性质以及折叠的性质可得到，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 5．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图（1），矩形纸片，以点为坐标原点，分别以矩形的边、为轴、轴建立如图所示的直角坐标系，折叠纸片，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若顶点的坐标为， （1）直接写出点_____、_____、_____的坐标． 如图（2），在矩形中，点在上，，，垂足为点． （2）求证：； （3）若，且，求． 【答案】（1）、、；（2）见解析；（3） 【思路引导】（1）过点作于点，根据点的坐标可求出，，设，则， 在中利用勾股定理可求出、的长，从而可得点坐标，同理在 中利用勾股定理可求出、的长，从而可得点坐标，过点作于点，在中，根据等面积法列式可求得的长，在中利用勾股定理可求出的长，从而可得点坐标； （2）根据矩形的性质证明， 即可得出结论； （3）根据角的数量关系可得， 再由含角直角三角形的性质即可得解． 【完整解答】（1）解：如图所示，过点作于点， 顶点的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ，， 点的坐标为， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， 点的坐标为． 过点作于点， ，即， ， ， 在中，， 点的坐标为． 故答案为：、、． （2）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ． 【考点再现】本题考查的是图形翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 6．如图是一张矩形纸片，与相交于点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连结，．若，．    (1)请用表示的大小； (2)请求出的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了矩形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质． （1）根据矩形的性质得到，进而得到，由三角形外角的性质可得；由折叠的性质可得，结合矩形的性质得到，再根据已知推出，即可得到； （2）由（1）知，由三角形外角的性质可得，再根据折叠的性质可得，由，即可解答． 【完整解答】（1）解：∵四边形是矩形，与相交于点， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二 正方形中的折叠问题 模型解读 应用模型解决问题 7．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【完整解答】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【思路引导】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明； ②设，则，根据翻折可得，再根据勾股定理可得x的值，进而证明； ③根据可得，由，可得，进而得，可得；④过点作于点H，求出的长，由求出的面积，即可判断． 【完整解答】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ①由翻折可知： ， ∴， ∵， ∴， 所以①正确； ②∵， ∴， 设，则， 由翻折可知：，， ∴ ∴在中，根据勾股定理，得 ∴， 解得， ∴， 所以②正确； ③由可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 所以③正确； ④过点作于点H， ∵， ∴利用勾股定理得： ∴，即，则： ∴ ． 所以④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 【考点再现】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定、勾股定理、正方形的性质，解决本题的关键是通过图形的性质找到边与边、角与角的关系． 9．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【完整解答】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至处，延长交于点，连接，，有下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的个数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证，从而判定；在直角中，根据勾股定理可证，从而判断；求出，然后通过折叠性质即可判断；求得，从而得出，从而判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵将沿折叠至处， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，故错误， 综上正确，共个， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【完整解答】（1）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ，， ∴ ． 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作： 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处，设交于点G．如图③； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④． 解决问题： (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． （I）求的长； （Ⅱ）求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（I）（Ⅱ） 【思路引导】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可； （）（）由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解； （）连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（）由折叠性质可知，，， 由（）知， ∵正方形的边长为， ∴，，， 在中，， 即， 解得； （）连接，如图， 由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，解得， ∴． 【考点再现】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型三 其他四边形中的折叠问题 模型解读 应用模型解决问题 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【完整解答】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 14．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【完整解答】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 15．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则 ． 【答案】8 【完整解答】由折叠的性质和正方形的性质得，，，证得，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 解：如图，由正方形性质得：， 折叠可知，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形边长是12， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：8． 【考点再现】本题考查折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、解一元一次方程，熟练运用全等的性质与判定证得是解题的关键． 16．如图，已知是三角形纸片的高，将纸片沿直线折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①是的中位线；②的周长等于周长的一半；③若四边形是菱形，则；④若是直角，则四边形是矩形，其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了图形的翻折变换，矩形，菱形的判定以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．设交点为，根据折叠可得是的垂直平分线，再加上条件是三角形纸片的高可以证明，进而可得，，再推出，同理可得：，进而得到是的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出的周长是的一半，进而得到的周长等于周长的一半；根据三角形中位线定理可得，，若四边形是菱形则，即可得到． 【完整解答】解：如图，设交点为， 是的高， ， ， 根据折叠可得：是的垂直平分线， ∴，， ，， ， ， ， ，， 又， ， ， 则， 同理可得：， 是的中位线，故①正确，符合题意； 是的中位线， 的周长是的一半， 根据折叠可得， 的周长等于周长的一半，故②正确，符合题意； 是的中位线， ，， 若四边形是菱形， 则， ，故③正确，符合题意； 根据折叠只能证明， 不能确定和的度数，故④错误，不符合题意； 则正确的有①②③． 故答案为：①②③． 17．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【完整解答】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【考点再现】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 18．（2026八年级下·全国·专题练习）已知四边形是正方形，点在直线上，连接．将沿所在直线折叠，点的对应点是，连接并延长交直线于点． (1)当点与点重合时，如图①，求证： (2)当点在的延长线上（如图②）或点在的延长线上（如图③）时，线段，，各有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)①当点在的延长线上时，． ②当点在的延长线上时，．证明见解析． 【思路引导】（1）由折叠可得，，，再根据四边形是正方形，可证，即可证明； （2）当点在的延长线上时：；延长到点，使，连接，需证，根据，得，即可得出，则，则，即可得出答案．当点在的延长线上时：，证法类似． 【完整解答】（1）证明：由折叠的性质，得，，． 四边形是正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）解：①当点在的延长线上时，． 证明：延长到点，使，连接，如图①． 在和中， ， ，． ， ． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ． ②当点在的延长线上时，． 证明：在上取点，使，连接，如图②． 在和中， ， ，． 由折叠的性质可知，， ． ， ， ， ， ． 【考点再现】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质以及翻折变换，是一道综合型的题目，证明三角形的全等是解题的关键． 题型四 特殊四边形中的动点问题 19．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【思路引导】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【完整解答】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 20．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【思路引导】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【完整解答】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 21．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ． 【答案】或； 【思路引导】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 22．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【答案】6或11/11或6 【思路引导】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【完整解答】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【考点再现】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 23．如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或0.7 (2) (3)存在， 【思路引导】（1）当时，由中心对称知，，，当时， 由，得 ，当，不平行时，过O作于点H，由的面积可得，得，由，得，可得 （2）过点O作于点H，知，由得，由，得，解得 （3）由线段垂直平分线性质得，由 ，，可得，可得时点O在线段的垂直平分线上． 【完整解答】（1）解：当时， ∵是中心对称图形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 由中心对称知，， ∴， ∵点P匀速运动的速度为1，运动时间为t， ∴， ∵， ∴； 当，不平行时， 过O作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或0.7 （2）过点O作于点H， 由（1）知，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 （3）若点O在线段的垂直平分线上， 则为的垂直平分线， ∴， 由（1）知，，， 在中， ∴， 解得或（舍去） ∴时，点O在线段的垂直平分线上． 【考点再现】本题考查平行四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形的判定与性质，中心对称性质，勾股定理，三角形面积公式，线段垂直平分线性质，是解题的关键． 24．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)12或 (4)2或或 【思路引导】（1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【完整解答】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 【考点再现】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 题型五 特殊四边形中的线段最值问题 25．如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【思路引导】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【完整解答】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【考点再现】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【思路引导】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度． 【完整解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵四边形是矩形， ∴，，∠QCE＝90°， ∵， ∴, ∵点F点关于BC的对称点G， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴GH＝DF＝6，∠H＝90°, ∵点E是CD中点， ∴CE=2， ∴EH＝2+4＝6， ∴∠GEH＝45°， ∴∠CEQ＝45°， 设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x， 在△CQE中， ∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°， ∴CQ＝EC， ∴6﹣x＝2， 解得x＝4． 故选：C． 【考点再现】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点与点关于对称，过点作，使得，连接交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：如图，连接， ， 点与点关于对称， ， 过点作，使得，连接交于点，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， 当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， 在中， 的最小值为． 故答案为：． 28．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于 ． 【答案】10 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，则四边形是平行四边形，那么，，则，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，可得，则，连接，则，再由勾股定理求解即可． 【完整解答】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， 则， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∴， ∴的最小值为10， 即的最小值为10， 故答案为：10． 29．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3) 【思路引导】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）根据题意，分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，进而勾股定理，即可得出结论． 【完整解答】（1）解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ∴， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：①当点在的右边时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ，解得， ， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； 综上所述，时，；时，；时，； （3）解：如图，取，作点关于的对称点，连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形的周长为 ， 最小时，四边形的周长最小， 当在上时，最小，即最小， ， ∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【考点再现】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、菱形性质、平行四边形的性质、勾股定理、轴对称的性质，坐标与图形，解（1）的关键是求出的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点的位置． 30．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论； （2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解． 【完整解答】（1）证明：连接， 垂直平分， ， 四边形为菱形， 和关于对角线对称， ， ； （2）解：连接， 和分别是和的中点，点为中点， ，即 当点与菱形对角线交点重合时，最小， 即此时最小， 菱形边长为，， 为等边三角形，， 即的最小值为． 【考点再现】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.8 特殊四边形的折叠、动点、最值问题 【苏科版八下●新教材】 题型一 矩形中的折叠问题 模型解读 应用模型解决问题 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，折叠矩形纸片的一边，使点落在边上的点处，若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图（1），矩形纸片，以点为坐标原点，分别以矩形的边、为轴、轴建立如图所示的直角坐标系，折叠纸片，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若顶点的坐标为， （1）直接写出点_____、_____、_____的坐标． 如图（2），在矩形中，点在上，，，垂足为点． （2）求证：； （3）若，且，求． 6．如图是一张矩形纸片，与相交于点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连结，．若，．    (1)请用表示的大小； (2)请求出的值． 题型二 正方形中的折叠问题 模型解读 应用模型解决问题 7．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 9．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是 ． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至处，延长交于点，连接，，有下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的个数是 ． 11．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作： 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处，设交于点G．如图③； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④． 解决问题： (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． （I）求的长； （Ⅱ）求的值． 题型三 其他四边形中的折叠问题 模型解读 应用模型解决问题 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 14．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 15．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则 ． 16．如图，已知是三角形纸片的高，将纸片沿直线折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①是的中位线；②的周长等于周长的一半；③若四边形是菱形，则；④若是直角，则四边形是矩形，其中正确的是 ．（填写序号） 17．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 18．（2026八年级下·全国·专题练习）已知四边形是正方形，点在直线上，连接．将沿所在直线折叠，点的对应点是，连接并延长交直线于点． (1)当点与点重合时，如图①，求证： (2)当点在的延长线上（如图②）或点在的延长线上（如图③）时，线段，，各有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 题型四 特殊四边形中的动点问题 19．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 20．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 21．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ． 22．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    23．如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 题型五 特殊四边形中的线段最值问题 25．如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 28．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于 ． 29．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 30．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，． (1)求证：； (2)求的最小值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $