专题8.6 四边形（十七大高频易错题题型训练 共34题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册专项复习培优讲义

专题8.6 四边形（高频易错题题型训练） 【苏科版八下●新教材】 易错题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 ． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 易错题型二 平行四边形性质和判定的应用 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 4．（23-24九年级下·广西梧州·月考）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 易错题型三 矩形与折叠问题 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 6．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为 ． 易错题型四 根据矩形的性质与判定求角度 7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 易错题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 9．（24-25八年级下·吉林·期末）如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 易错题型六 根据矩形的性质与判定求面积 11．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是 ． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 易错题型七 根据菱形的性质与判定求角度 13．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 易错题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 15．（20-21八年级下·湖北荆州·期末）如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连结和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形纸片的面积． 16．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，、相交于点，于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若交于点，交点，连接，，求证：四边形是菱形． 易错题型九 根据菱形的性质与判定求面积 17．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知，点A，B分别在，上． (1)用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若菱形的周长为，，求菱形的高． 18．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，平分交于点交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 易错题型十 根据正方形的性质与判定证明 19．（24-25七年级下·山东济南·月考）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 20．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，且，点F在边上．将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接和．当线段取最小值时的面积是 ． 易错题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 21．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 22．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 易错题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为 ． 24．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，则________． 易错题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 25．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 26．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 易错题型十四 （特殊）平行四边形的动点问题 27．（23-24八年级下·河北衡水·月考）如图，等边三角形的边长为．动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及的边上一点D构成的四边形为平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2 28．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 易错题型十五 四边形中的线段最值问题 29．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 30．（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是 ． 易错题型十六 三角形的中位线证明与应用 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    32．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错题型十七 梯形的性质与判定 33．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 34．（22-23八年级下·山西太原·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图1，四边形是等腰梯形，其中 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：… 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定1：…．    任务： (1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形， 求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，…； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为， (2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题　 　的梯形是等腰梯形，该命题是 　 　命题． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.6 四边形（高频易错题题型训练） 【苏科版八下●新教材】 易错题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质定理与判定定理， 过点F作交于点G，利用全等三角形的判定定理与性质定理证明得到，，再根据平行四边形的性质定理与判定定理证明四边形为平行四边形，得到即可得解．添加平行线构造全等三角形是解答的关键． 【完整解答】解：过点F作交于点G， ∴，又， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：如图，连接，设点到距离为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等，同理的面积和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是， ∵的面积是，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：． 易错题型二 平行四边形性质和判定的应用 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【完整解答】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·广西梧州·月考）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 【答案】(1) (2)存在，当的值为时；与互相平分 (3)2或8 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答． （2）连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可． （3）分两种情况∶①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答 【完整解答】（1）解： 四边形是平行四边形， ， ， ， 当点在线段延长线上时， （2）存在，理由如下： 如图1，连接、，   与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 当t的值为时；与互相平分； （3）分两种情况： ①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即，解得：； 综上所述，t的值为2或8． 易错题型三 矩形与折叠问题 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【完整解答】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 6．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【完整解答】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 易错题型四 根据矩形的性质与判定求角度 7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先求得，推出四边形是平行四边形，利用有一个是直角的平行四边形是矩形即可判断结论成立； （2）先证明四边形是平行四边形，利用直角三角形斜边中线的性质及角直角三角形的性质证明，推出，再证明，求得，据此求解即可． 【完整解答】（1）证明：，点是的中点， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 四边形是矩形， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 易错题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 9．（24-25八年级下·吉林·期末）如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用矩形的性质得出．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得＝，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【完整解答】解：如图，连接． ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得．即则的最小值是． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．首先利用勾股定理的逆定理确定为直角三角形，，过点作于点，利用面积法解得，根据题意可知四边形为平行四边形，连接，则，当时，的长取最小值，此时四边形为矩形，结合矩形的性质即可获得答案． 【完整解答】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， 根据题意，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形， 连接，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的长取最小值， 此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴长的最小值为． 故答案为：． 易错题型六 根据矩形的性质与判定求面积 11．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是 ． 【答案】2 【思路引导】根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；由菱形的面积和勾股定理即可得出答案． 【完整解答】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【考点再现】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及完全平方式等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【思路引导】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【完整解答】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 易错题型七 根据菱形的性质与判定求角度 13．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【完整解答】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【考点再现】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 【答案】66 【思路引导】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【完整解答】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 易错题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 15．（20-21八年级下·湖北荆州·期末）如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连结和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形纸片的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查的是矩形的折叠，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质是关键． （1）由四边形是矩形与折叠的性质，易证得，即可得，则可证得四边形是平行四边形，又由，则可证得四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，得到，即可求出矩形的面积． 【完整解答】（1）证明：四边形的形状是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形纸片的面积为． 16．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，、相交于点，于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若交于点，交点，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据菱形的性质，证明，得到，先推出四边形是平行四边形，再推出矩形即可； （2）根据矩形和菱形的性质，可证，从而推出，即可得证． 【完整解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴， 四边形是矩形； （2）证明：四边形是矩形， ，， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又 四边形是菱形． 易错题型九 根据菱形的性质与判定求面积 17．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知，点A，B分别在，上． (1)用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若菱形的周长为，，求菱形的高． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）分别以A，B为圆心，长为半径作弧交直线，于点D，C，连接，则，又因为，所以四边形为菱形，即为所求； （2）连接，交于点O，过点A作于点H．利用面积法求解． 【完整解答】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：连接，交于点O，过点A作于点H． ∵四边形是菱形，周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴菱形的高为 ． 18．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，平分交于点交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【思路引导】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理； （1）根据平行四边形的性质得出结合，得出四边形是平行四边形，进而根据角平分线以及平行线的性质得出则，即可得证； （2）根据菱形的性质，勾股定理，求得菱形的面积，进而根据即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ， 平分交于点交于点F ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ． ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点H，    ∵四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 的长为． 易错题型十 根据正方形的性质与判定证明 19．（24-25七年级下·山东济南·月考）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【思路引导】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【完整解答】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 20．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，且，点F在边上．将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接和．当线段取最小值时的面积是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理等知识，解题关键是确定取最小值时的位置，再计算的面积； 连接，利用折叠性质知，根据两点之间线段最短确定、、共线时最小；再用勾股定理求、；设，由，结合勾股定理列方程求出；最后根据三角形面积公式算出的面积 ； 【完整解答】解：连接，,, 因为正方形纸片沿对折，点的对应点是点， 所以，，垂直平分． ∵， 故当D、E、G共线时，取最小值．最小值为， 此时， 在正方形中，，， 根据勾股定理， 所以， 又，，则， 那么． 设，则，由折叠可知． 在中，； 在中，． 因为， 所以， 解得：， 即． 则． 故答案为：4． 易错题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 21．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， 【思路引导】本题主要考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形、正方形的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）如图：连接，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，正方形的性质作图即可． 【完整解答】（1）解：如图：连接， 根据勾股定理得，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：如图所示，取格点四边形或四边形， 或 四边形：根据格点可得四边形是平行四边形， ∴对角线相互平分，交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； 四边形，连接， ∵， ∴， ∴即为所求； 根据格点图示，可得点到的高为， ∴ ． 22．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【完整解答】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【考点再现】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 易错题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【思路引导】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，当为直角三角形，有两种情况：①当点落在矩形内部，即时，连接，结合矩形性质、勾股定理求得，再根据折叠性质得到点、、共线，，，求得，设，则，再根据勾股定理即可得解；②当点落在边上，即时，证明四边形是正方形即可得解． 【完整解答】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部，即时，如下图，连接， 矩形中，，， 在中，，， ， 把沿着折叠，使点落在点处， ， ， 点、、共线， 根据折叠性质可得：，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②当点落在边上，即时，如下图： 由折叠性质得：，， 四边形是正方形， ， 此时符合题意． 故答案为：3或6． 24．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，则________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可解答； （3）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再证明即可求得，即可解答． 【完整解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：如图，连接， ， ， 根据（1）中可得， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 则， 在中，， 即可得， 解得， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， 点是的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，， ， ， 根据（1）中可得， ， ， ． 易错题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 25．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【答案】25 【思路引导】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【完整解答】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 26．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【完整解答】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 易错题型十四 （特殊）平行四边形的动点问题 27．（23-24八年级下·河北衡水·月考）如图，等边三角形的边长为．动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及的边上一点D构成的四边形为平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列出方程求解是解题的关键．分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【完整解答】解：①当，点M、N、D的位置如图所示： 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ，即：， 解得：， ②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形， ③当时，点M、N、D的位置如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ，即：， 解得：， 综上所述，t的值为1或3， 故选：C． 28．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）过C作于点E，利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求得的长； （2）根据题意得到当点P和点E重合时，四边形是矩形，然后求出，然后根据点P运动的速度求解即可； （3）根据题意得到，然后根据点P运动的速度求解即可． 【完整解答】（1）如图，过C作于点E，    ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得，四边形为矩形， ∴当点P和点E重合时，四边形是矩形 ∵， ∴ ∵点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t ∴（秒） ∴时，四边形是矩形； （3）∵四边形为矩形， ∴ ∵，即 ∴当时，四边形是平行四边形 ∴此时 ∴（秒） ∴时，四边形是平行四边形． 【考点再现】此题考查了含角直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 易错题型十五 四边形中的线段最值问题 29．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，依据题意，延长到G，使，连接，由四边形是矩形，从而，，,，先证，进而，故，所以当点G、F、C共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【完整解答】解：延长到G，使，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，,， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴当点G、F、C共线时，最小，最小值为． ∴最小值为． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴最小值为， 故答案为：． 30．（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是 ． 【答案】13 【思路引导】作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值，最小值为，求出即为所求． 【完整解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， 四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴， 是的中点， 点是的中点， ， ， ， 连接，是的中点，， ， 在中，， 的最小值为13， 故答案为：13． 【考点再现】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 易错题型十六 三角形的中位线证明与应用 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【思路引导】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【完整解答】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【考点再现】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 32．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查了菱形的判定及性质，菱形的面积，等边三角形的判定，矩形的判定；由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质及菱形的面积逐一判断即可． 【完整解答】解：① ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 故①正确； ②四边形是菱形， ， 故②正确； ③ ，， 四边形的面积为， 故③正确； ④四边形是菱形，， ，， 是等边三角形； 故④正确； ⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是矩形． 故⑤错误； ①②③④正确，共个； 故选：C． 易错题型十七 梯形的性质与判定 33．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【完整解答】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 34．（22-23八年级下·山西太原·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图1，四边形是等腰梯形，其中 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：… 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定1：…．    任务： (1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形， 求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，…； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为， (2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题　 　的梯形是等腰梯形，该命题是 　 　命题． 【答案】(1)见解析 (2)同一底上的两个角相等，真 【思路引导】（1）方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，证明四边形是平行四边形，得到，进而证明，再由平行线性质即可证明； 方法2：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，证明四边形是矩形，进而证明，即可得到，再由平行线性质即可证明； （2）结合（1）的方法二，证明，可证得，即可得出结论． 【完整解答】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线交于点，   ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ． 方法2：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，   ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题 已知：如图2，四边形是梯形，． 求证：梯形是等腰梯形． 证明：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，， 四边形是梯形 ， ，， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 梯形是等腰梯形， 故答案为：同一底上的两个角相等，真． 【考点再现】本题考查了梯形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握梯形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定及合理利用数形结合思想是解题关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $