8.2 幂的乘方与积的乘方-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该教案聚焦幂的乘方与积的乘方运算性质，通过天体体积、存储容量等现实情境导入，结合同底数幂乘法等旧知作为支架，引导学生从具体实例归纳性质，梳理前后知识脉络。 特色在于情境创设联系现实，通过问题链引导学生经历性质推导过程，发展推理意识和运算能力，如用存储容量推导幂的乘方，地球表面积计算应用积的乘方，帮助学生提升数学思维，为教师提供结构化教学流程和分层练习设计。

8.2 幂的乘方与积的乘方 第1课时 幂的乘方 课题 幂的乘方 课型 新授课 教学内容 教材第77-79页的内容 教学目标 1.经历幂的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力. 2.掌握幂的乘方的运算性质，能进行幂的乘方的有关计算，提高学生的运算能力. 3.能够运用幂的乘方运算解决实际问题，进一步体会幂的意义. 教学重难点 教学重点：准确掌握幂的乘方运算性质及其应用. 教学难点：会用或逆用幂的乘方的运算性质进行有关计算. 教 学 活 动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和10²倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ 学生回答，教师点评、追问. 教师：如何计算(102)3 呢？我们这节课就来解决这个问题. 2.归纳总结，学习新知 计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示. 一般用KB(千字节)、MB(兆字节)或GB(吉字节)作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为 1GB=210MB，1MB=210KB,1KB=210B. 1GB=210×210×210B. 【问题1】 根据乘方的意义，210×210×210可以表示为 . 依据同底数幂乘法的性质，210×210×210= . 由此，能得到什么结论？ 学生解答题目，并发言回答. 学生成果：根据乘方的意义，210×210×210=(210)3， 依据同底数幂乘法的性质，210×210×210=210+10+10=230， 结论：230=(210)3. 【追问】根据上面的结论，完成下面的小题. （102）3= × × =10（ ）， （a3）4= × × × =a（ ）. 学生解答. 【追问】观察上面各式中幂指数之间的关系,猜想: 若m，n为正整数，则（am）n= . 你能说明理由吗？ 学生分组交流讨论，然后提出猜想并到前面讲明理由，边分析边板书. 学生成果： . 教师总结，给出幂的乘方的运算性质. 【总结】幂的乘方的性质： 字母表示：（m，n是正整数）. 文字表述：幂的乘方,底数不变，指数相乘. 3.学以致用，应用新知 考点 1 幂的乘方的运算 【例1】计算： （1）；（2）；（3）（m是正整数）. 答案：（1）；（2）；（3）. 考点2 与幂的乘方有关的混合运算 【例2】计算： （1）x·(x2)3； (2)a·a2·a3-(a2)3. 解: (1) x·(x2)3 =x·x6= x7. (2) a·a2·a3-(a2)3=a6-a6= 0. 考点3 幂的乘方的性质的逆用 【例3】已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m；(2)102n；(3)103m+2n． 解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27. (2)102n＝(10n)2＝22＝4. (3)103m+2n＝103m×102n＝27×4＝108. 【例4】比较3500,4400,5300的大小. 解:3500=(35)100=243100, 4400=(44)100=256100, 5300=(53)100=125100. ∵256100>243100>125100, ∴4400>3500>5300. 4.随堂训练，巩固新知 1. 判断下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？ （1） (x3)3 = x6 ； （2）(104)3= 107 ； （3）a6 · a4 = a24 ； （4）(x2)3 ·(-x)2 = -x8. 答案：（1）×，x9（2）×，1012 （3）×，a10 （4）×，x8 2. 填空： （1）(104)3= ；（2）(a3)3= ； （3）-(x3)6= ；（4）(x2)3 ·(-x)3= . 答案：（1）1012；（2）a9；（3）x18；（4）- x9 3.计算(-x5)4+(-x4)5的结果是( ) A.0 B.2x20 C.-2x20 D.x40 答案：A 4.若3×9m×27m=321,则m的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 5.计算：[(a+b)3]4+[-(a+b)2]6. 解：[(a+b)3]4+[-(a+b)2]6＝(a+b)12-(a+b)12＝0. 6.(1)已知ax=2,ay=3，求a2x+2y的值； (2)若42a+1=64,解关于x的方程2ax+3=5. 解：(1)∵ax=2,ay=3,∴ax·ay=2×3, ∴ax+y=6,a2x+2y=62=36. (2)∵42a+1=64,∴42a+1=43,∴2a+1=3,∴a=1, ∴2ax+3=5化为2x+3=5,解得x=1. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）幂的乘方的运算法则是怎样的？ （2）应用幂的乘方的运算法则时要注意什么？ 6.布置作业 课本P78-79第1-5题. 通过创设情景，提出问题，引出新课. 让学生进一步巩固幂的意义及同底数幂的乘法法则. 让学生亲身经历新知识的形成过程，可以知其所以然，掌握牢固，同时培养了学生的观察分析、概括总结的能力.学习上也有成就感，也活跃了课堂气氛. 运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式． 此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可. 通过随堂练习，让学生加深对知识的理解，更好的掌握课堂知识，提高学生知识的综合运用能力. 与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项． 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 板书设计 8.2幂的乘方与积的乘方 第1课时 幂的乘方 幂的乘方的性质： 字母表示：（m，n是正整数）. 文字表述：幂的乘方,底数不变，指数相乘. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 第2课时 积的乘方 课题 积的乘方 课型 新授课 教学内容 教材第79-81页的内容 教学目标 1．经历积的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力. 2．掌握积的乘方的运算性质，能进行积的乘方的有关计算，提高学生的运算能力. 教学重难点 教学重点：准确掌握积的乘方运算性质及其应用. 教学难点：会正用或逆用积的乘方的运算性质进行有关计算. 教 学 活 动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 你知道地球的体积大约是多少吗？（球的体积计算公式：） 【师生活动】学生列出式子：. 教师追问. 【追问】 它是幂的乘方吗？ 有怎样的结构特征？ 这节课我们就来学习如何解决这个问题. 2.归纳总结，学习新知 【知识回顾】 1.计算: （1）10×10²× 10³ =______ ； （2）(x5 )²=_________. 2.（1）同底数幂的乘法：am·an= ( m，n都是正整数). （2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）. 学生回答. 【问题】观察下面的运算过程，指出每步运算的依据. (3×7)2 =(3×7)·(3×7) ( ) =(3×3)·(7×7) ( ) =32×72 ( ) 学生回答，教师追问. 答案：乘方的意义，乘法交换律和结合律，同底数幂的乘法 【追问】按照上面的方法，完成下面的小题： (ab)2;(ab)3 . 学生在练习册上解答，并发言阐述. 【追问】你有什么发现？ 学生回答，教师板书. 结论：(ab)2=a2b2，(ab)3 =a3b3. 【追问】通过这些算式，猜想：(ab)n = (n是正整数）. 【追问】你能根据幂的意义和乘法的有关运算律进行验证吗？ 学生分组交流讨论，并发言板演. 教师点评、总结. 【总结】积的乘方的性质; 字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数). 文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积. 【追问】对三个或三个以上因式积的乘方，积的乘方的性质是否也成立? 说出你的猜想，并以 (abc)n 为例来验证你的猜想. 学生分组交流讨论，并自主完成解答过程，请同学板演. 学生板演： 教师点评，总结. 【总结】 （ 是正整数）. 3.学以致用，应用新知 考点1 积的乘方的性质及混合运算 【例1】计算：(1)(-2b)³； (2) (-xy3)2； (3)(-2ab3c2)4 ；(4) (2a2)3+（-3a3）2+（a2）2·a2. 答案：（1）-8b³；（2）x2y6；（3）16a4b12c8；（4）18a6. 考点2 积的乘方的性质的逆用 【例2】(1) 23×53； (2) 28×58； (3) (-5)16 × (-2)15；(4) 24 × 44 ×(-0.125)4. 解：(1) 23×53 = (2×5)3 = 103. (2) 28×58= (2×5)8 = 108. (3) (-5)16 × (-2)15= (-5)×[(-5)×(-2)]15= -5×1015. (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 = [2×4×(-0.125)]4= 14= 1. 考点3 积的乘方的性质的实际应用 【例3】球体表面积的计算公式为S=4πr²，地球可近似地看成一个球体，其半径r约为6.4×106 m，那么地球的表面积约为多少平方米?(π取3.1) 解: S=4πr² =4×3.1×(6.4×106)2 =4×3.1×6.4²×1012 =507.904×1012(m²). 答：地球的表面积约为507.904×1012m². 4.随堂训练，巩固新知 （1）计算(-3x)2的结果是( ) A.6x2 B.-6x2 C.9x2 D.-9x2 答案：C （2）计算(a2b)3的结果是( ) A.a6b3 B.a2b3 C.a5b3 D.a6b 答案：A （3）计算： 82020×0.1252019= ________; (0.04)2019×[(-5)2019]2=________; (-2x3)3·(x2)2 (-xy)5=________; (5ab2)3 =________. 答案：8 1 8x18y5 125a3b6 （4）计算: ①12(x3)2·x3-(4x3)3+(3x)2·x7; ②(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) . 解：①12(x3)2·x3-(4x3)3+(3x)2·x7 =12x6·x3-64x9+9x2·x7 = 12x9-64x9+9x9 =-43x9. ②(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) =9x2y4 +4x2y4 =13x2y4; （5）如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值. 解：∵(an•bm•b)3=a9b15,∴ (an)3•(bm)3•b3=a9b15, ∴ a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,∴ a 3n •b 3m+3=a9b15, ∴ 3n=9，3m+3=15. ∴n=3,m=4. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）积的乘方的性质是什么？ （2）你会逆用积的乘方的性质吗？ （3）在应用积的乘方的性质时，要注意哪些问题？ 6.布置作业 课本P81习题第1-4题. 通过创设情景，提出问题，引出新课. 让学生联系以前学过的知识进行解答，体现了知识间的必然联系，使学生产生了学习的兴趣. 复习回顾旧知识，为学新知识打下铺垫. 让学生经历探索积的乘方的运算性质的过程，发展推理能力和有条理的表达的能力，体会由特殊到一般的规律. 让学生积极参与讨论，并在讨论中引导学生发现规律，调动学生参与数学学习的积极性，培养学生主动参与、合作、交流的意识. 类比两个积的乘方的性质，延伸拓展三个或三个以上的积的乘方性质. 涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算． 把积的乘方和同底数幂的乘方相结合，培养合作探究的能力，同时明确数学与生活实际相结合. 通过随堂练习，让学生加深对知识的理解，更好的掌握课堂知识，提高学生知识的综合运用能力. 运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 有针对性地练习所学内容，注重结果的同时，也要注意学生的分析过程. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 板书设计 第2课时 积的乘方 1.积的乘方的性质 字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数). 文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积. 2.积的乘方的性质的拓展 （ 是正整数）. 3.积的乘方的性质的逆用 anbn=(ab)n (n是正整数). 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $