2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册模拟卷

2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册练习卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数为幂函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的图象位于第一､二象限 C．函数为奇函数 D．函数在上单调递增 4．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 6．已知，则的值为（    ） A．17 B．15 C．11 D．9 7．若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 D．函数在区间上单调递增 10．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 11．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 三、填空题 12．设函数过定点，则 ． 13．记的内角的对边分别为，若，则 ． 14．小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是 ． 四、解答题 15．已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，，，求； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 16．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 17．设函数且，已知， (1)求的定义域； (2)是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 18．已知函数． (1)求的最小正周期及图象的对称中心； (2)当，求的最大值与最小值． 19．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一上册期末检测2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C A A B D AB BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，所以， . 故选：B. 2．B 【分析】根据取整函数的定义，结合特例法以及必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】取，满足“”，但即，充分性不成立； 如果，那么和的整数部分是相同的，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．B 【分析】根据幂函数定义求出解析式，作图解决即可. 【详解】由题知， 解得， 所以，如图 所以定义域为，故A错； 函数的图象位于第一､二象限，故B正确； 为偶函数，故C错； 函数在上单调递减，故D错； 故选：B. 4．C 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 5．A 【分析】根据基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意， 当且仅当，结合，即时取得等号， 所以的最小值为3. 故选：A 6．A 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得，即. 故选：A. 7．B 【分析】设的最小正周期为，可得，结合最小正周期可求得的最小值. 【详解】设的最小正周期为，则. 因为，所以，解得，所以的最小值为. 故选：B. 8．D 【分析】由条件可知，代入指定解析式得， 【详解】是定义在上的奇函数，，时，， 所以，. 故选：D 9．AB 【分析】根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，的周期，所以 A 正确； 对于B，因为 ， 所以函数的图象关于点中心对称 ，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 对于D中，因为，所以， 所以在上不单调，故D错误. 故选：AB. 10．BC 【分析】先由是幂函数得到的值，从而可得的解析式，然后根据幂函数的图象性质依次判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，所以，即． 对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为，且，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 11．ABD 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D. 【详解】由，其最小正周期为，A对， 由，则的值域为，B对， 由，则，显然不单调，C错， 函数的图象向右平移个单位长度， 则，D对. 故选：ABD 12．4 【分析】根据对数函数的图象性质列方程组求解即得，利用换底公式和对数运算性质即得答案. 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 13．/ 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再由三角形的内角和定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，即， 所以或（舍去），即， 又因为，则，解得． 故答案为：. 14．或 【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围. 【详解】当时，即，在上递增， 故当时，，解得：，满足题设； 当，即， 若，即时，函数在上递减，在上递增， 故， 可得或（舍去）； 若，即时，函数在上递增， ，解得：，不满足题设. 故答案为：或. 15．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据函数图像确定周期，从而求出再代入图像中的一个点即可求出； （2）根据同角三角函数的关系即可得到，再利用与两角差的正弦公式即可求得结果； （3）将恒成立问题，转化为最值问题，再利用二次函数的动轴定区间即可求得结果. 【详解】（1）依题意知，，， 所以，又，可得，故函数（）， 由图象经过点，所以， 可得，所以，， 所以，，又因为，所以， 所以， 令解得， 故对称中心为. （2）因为，所以， 所以， 由， 可得，即，可得， 所以； （3）因为对任意的，，都有， 所以， 因为，所以， 所以，所以， ， 令，则，， 对称轴为，所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上. 16．(1)； (2)年产量为42千件，最大年利润为115万元. 【分析】（1）根据题目条件，进而求出的表达式． （2）由（1）按与分段利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值，再比较大小即得． 【详解】（1）依题意，. （2）由（1） 当时，， 则当时，取得最大值60万元； 当时，， 当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元． 17．(1) (2)存在， 【分析】（1）由和求得，得函数解析式，即可确定定义域； （2）假设存在实数，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论. 【详解】（1）由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得，解得，或（舍），， 所以， 由得， 故的定义域为； （2）假设存在实数，使得在区间上的值域是， ∵在上单调递增， ，故方程有两个大于1的不等实数根， 令，则方程的两个大于2的不等实数根， 令， 则，即，解得． 即，故存在实数符合条件，的取值范围是． 【点睛】易错点睛：小问1：在求解方程时，要特别注意代数符号的运算，特别是在代入过程中，确保正确地处理方程中的加减运算； 小问2：在假设存在时，确保正确使用辅助变量（换元法）来简化问题，特别是在处理方程时，必须注意解的符号和范围，推理步骤要严谨，特别是根的分布判断，避免因符号误差导致错误的结论. 18．(1)最小正周期为，对称中心为，（） (2)最大值为，最小值 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体角思想可求对称中心； （2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值. 【详解】（1）因 则的最小正周期为． 由，可得（） 解得（）， 故图象的对称中心为，（）. （2）因为，所以． 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故当时，，的最小值为， ，． 故的最大值为，最小值． 19．(1)函数不是“函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； （2）因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 （3）由函数为“函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故， 即. 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $