三角函数寒假复习试题（三）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

【2026年寒假】三角函数复习试题(三) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第五章。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【答案】A 【分析】先得到钝角的取值范围，进而求得的取值范围，从而确定正确答案. 【详解】因为是钝角三角形中最大的角，所以， 则，故是第一象限角． 故选：A 2．已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积， 即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 3．已知函数（a为常数），且，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据条件，求得，从而有，代入即可求解. 【详解】因为，又，则， 得，所以，则， 故选：C. 4．在中，下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理与三角函数的诱导公式即可判断. 【详解】依题意，在中，，所以，； 对于A，因为，所以A错误； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C错误； 对于D，因为，所以D错误. 故选：B. 5．已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】由可知， 所以，. 故选：B. 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得，由题意结合正弦函数的图象得到，解不等式即可求出答案. 【详解】当时，因为，所以， 由于函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. 故选：A. 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系得出，再利用倍角公式计算，最后利用诱导公式计算. 【详解】因为，所以， 又， 则， ， 则， 所以. 故选：B 8．已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恰有个零点，求出的范围，再分、两种情况讨论即可. 【详解】因，，则， 因函数与的零点完全相同， 则函数在上恰有个零点，等价于函数在上恰有个零点， ①若，即，则， 则不可能存在个零点； ②若，即，因为区间关于对称， 则，得 综上，的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（　　） A．若角的终边过点，则 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．若角为锐角，则角为钝角 D．是第三象限角 【答案】AB 【分析】根据三角函数的定义求解的值即可判断A；根据扇形圆心角、半径与弧长、面积公式求解即可判断B；根据角的范围求解角的范围即可判断C；根据第三象限角度范围判断D即可. 【详解】对于A，角的终边过点，则，故A正确； 对于B，由圆心角为的扇形的弧长为，得该扇形所在圆半径为3，则该扇形面积为，故B正确. 对于C，角为锐角，取，则是锐角，故C错误； 对于D，，则是第二象限角，故D错误； 故选：AB. 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．的最小正周期为 C．的图象关于原点对称 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的定义域结合正切函数值域计算判断A，根据周期定义计算判断B，根据对称中心定义计算判断C，化简得出，再结合二倍角公式计算判断D. 【详解】由题意知，解得，所以函数的定义域为，故A正确； ，所以是的周期，故B错误； 由的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，故C正确； 若，所以，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最大值为2 B．若，则函数为奇函数 C．存在，使得 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：整理可得，结合二次函数求最值；对于B：举反例说明即可；对于C：取，代入检验即可；对于D：根据题意结合诱导公式可得，进而可得，运算求解即可. 【详解】因为，可知的定义域为， 对于选项A：当时，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最大值为2，故A正确； 对于选项B：当时，则， 令，则，可得， 所以函数不为奇函数，故B错误； 对于选项C：当时，，则， 且对任意，则， 所以，故C正确． 对于选项D：因为， 若， 可得， 则，解得，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于BC：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且与的终边关于原点对称，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为： 13．已知角，满足，，则 . 【答案】 【分析】根据两角和差的余弦公式将题目中的两个等式展开，列方程组求解. 【详解】由①， ②， 将①②列成方程组可解得，. 则. 故答案为：. 14．已知函数在区间上有三个零点，（），则的值为 . 【答案】 【分析】由函数解析式求得函数在上的对称轴，即可求得函数的单调区间，由题意可知三个零点存在于三个不同的单调区间，由三角函数的对称轴求得结果. 【详解】由得，， 所以函数在的对称轴为和， 函数时周期为的正弦函数， 由正弦函数单调性可知，在单调递增，单调递减，递增， 要想函数存在三个零点，则在三个区间内各有一个零点， 即关于对称轴对称，关于对称轴对称， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分（依次为13分、15分、15分、17分、17分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的对称性和时的解析式可求答案； （2）根据求出范围，结合对称性可求答案. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数， 令，则，所以, 即当时. （2）当时，即，所以；又函数是定义在上的偶函数, 综上不等式的解集. 16．如图，是函数（，，）图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的函数图像性质即可求得的解析式； （2）令，则可转化为方程在有且仅有两个实根，解出t的多解表达式，并分析区间和正根之间的大小关系即可得到m的取值范围． 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为， 则， 所以，因为， 则，因为， 所以，解得，所以． （2）令，，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或，， 所以方程的正根从小到大排列分别是，，，…， 所以，解得． 17．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，利用垂径定理结合解直角三角形可得； （2）根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环面积的最大值即可． 【详解】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 设交于， 则由垂径定理得，， 当时，，所以， 所以， 即点E到弦BC的距离为． （2）由（1）得， 则， ， 当且仅当，即，取得最大值. 18．已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用的展开式，结合已知条件列方程，筛选出符合范围的的值. （2）借助立方和公式将变形，代入与的值计算. （3）先通过完全平方公式求出，再用平方差公式变形，代入相关值求解. 【详解】（1）因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 所以. （2） . （3）. 因为，所以，即为第二象限角. 所以，所以. 19．由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． (1)试用表示； (2)求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式可证明三倍角公式； （2）利用（1）的结果可得，故可求的值； （3）令，结合（1）中恒等式对方程变形可得，故可求原方程的解，结合三角变换公式可证. 【详解】（1） （2）由（1）得， 而，所以， 所以，即， 所以． （3）因为，所以 令，因为，所以，取 所以， 由（1），得 又因为，所以 所以， 所以 所以 . 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026年寒假】三角函数复习试题(三) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第五章。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 2．已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知函数（a为常数），且，则（   ） A． B． C．0 D．2 4．在中，下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C．2 D． 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（　　） A．若角的终边过点，则 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．若角为锐角，则角为钝角 D．是第三象限角 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．的最小正周期为 C．的图象关于原点对称 D．若，则 11．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最大值为2 B．若，则函数为奇函数 C．存在，使得 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且与的终边关于原点对称，则的最大值为 . 13．已知角，满足，，则 . 14．已知函数在区间上有三个零点，（），则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分（依次为13分、15分、15分、17分、17分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集． 16．如图，是函数（，，）图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 17．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 18．已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 19．由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． (1)试用表示； (2)求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $