2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册练习卷

2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．已知方程的解在内，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 6．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 7．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，且满足．当时，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 9．下列函数中最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 10．下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 11．函数的图象以中心对称，则（    ） A．直线是曲线的对称轴 B．将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象． C．函数在区间单调递增 D．函数在区间的值域为 三、填空题 12． ． 13．如图所示，两直角三角形共斜边，且，设，则 ．    14．已知，，且，则的最小值为 . 四、解答题 15．（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 16．某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. (1)求的解析式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? (3)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 17．设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 18．已知，，角β的终边过点. (1)求的值； (2)求的值. 19．已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：. (1)若，求实数x的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； (3)设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一上期末测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D A C C ACD AC 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】化简集合，根据集合交集运算即可求解. 【详解】因为或， 所以集合或， 故. 故选：D 2．B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】若，则恒成立，之间的大小关系不一定，即充分性不成立； 而，则，一定有，即必要性成立. 故选：B 3．D 【分析】分别判断函数的单调性即可． 【详解】为反比例函数，在上单调递减； 为一次函数，在上单调递减； 为开口向下的二次函数，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故选：D 4．D 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算，由，则仅在内存在零点，即可确定． 【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点， ∵， ∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内， 故． 故选：D． 5．D 【分析】根据已知，并利用，化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9. 故选：D 6．A 【分析】根据以及指数函数的性质得出，代入计算即可. 【详解】由题意可知，，，则， 则. 故选：A 7．C 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 8．C 【分析】根据题意可推导，进而得到，再根据周期性、奇偶性及对称性求值即可． 【详解】由题可知，，且为上的奇函数， ，，即， ，即函数的周期为4， ． 故选：C． 9．ACD 【分析】对于ABC，根据最小正周期公式运算求解即可；对D，根据函数图象分析判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C正确； 对于D，作的图象，如图，由图可知的最小正周期为，故D正确. 故选：ACD. 10．AC 【分析】根据函数单调性结论即可判断A；根据对数型复合函数单调性即可判断B；根据指数函数与对勾函数复合即可判断C；根据函数定义域即可判断D. 【详解】对于A，因为函数和在上均单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，，根据复合函数单调性知其在上单调递减，故B错误； 对于C，当时，令，又在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，故D错误． 故选：AC． 11．AB 【分析】由已知得求参数值，从而得到的表达式，从而判断A；由图象平移写出解析式判断B；应用余弦型函数的性质判断区间单调性、求区间对应值域判断C、D. 【详解】的图象以中心对称，则， 所以，即， 又，所以，从而. 由，所以直线是曲线的对称轴，故A正确； 将的图象向左平移个单位长度，则得到函数的图象， 又，故B正确； 当时，，设， 又函数在单调递增，在单调递减，故C错误； 当时，， 设，又函数在单调递减， 在上单调递增，且， 所以函数的值域为，故D错误. 故选：AB. 12． 【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得. 故答案为：. 13． 【分析】在直角三角形中利用三角函数表示各个直角边，然后代入等式，平方相加即可得到答案. 【详解】，由题意可得，，，，因为则 两式平方相加可得，即，所以． 故答案为：. 14．/6.25 【分析】由基本不等式得，，利用对勾函数的单调性求最小值. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 由于，当且仅当时等号成立， 对勾函数在上单调递减， 可知当，即时取得最小值. 所以的最小值. 故答案为：. 15．（1） ；（2） 【分析】（1）利用三角函数定义求出正弦和余弦值，从而得到答案； （2）齐次化变形求出，从而得到，代入求值，即得答案. 【详解】（1）由三角函数定义可知 ， 所以； （2），故， 则. 16．(1) (2)4 (3)3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元 【分析】（1）当时，，且，代入求得值，即可解； （2）分段求解不等式； （3）因为，当时，利用基本不等式求最值，当时，利用单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，当时，； 当时，，且， 则，解得， 此时， 综上， （2）由题意得，， 当时，，满足题意； 当时，， 即，解得，所以. 综上，要使载客量至少达到532人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为4分钟. （3）由（1）知， 当时，，当且仅当等号成立， 所以当时，. 当时，单调递减，则， 又，所以当时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元. 17．(1)； (2)单调递减区间为； (3). 【分析】（1）分和两种情况分析函数单调性即可求解； （2）由（1）单调性结合对数函数定义即可求解； （3）由（1）单调性结合对数函数定义域即可解不等式. 【详解】（1）当时，函数为减函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的减函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，所以符合题意； 当时，函数为增函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的增函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，不符合； 综上，； （2）由（1）可得函数为减函数， 令， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间； （3）由（1）可得函数为减函数， 则令. 所以解集为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据已知可判断为第三象限角可求得的值，利用两角和的正弦公式求解即可； （2）由（1）可得的值，利用二倍角的正切公式得的值，角β的终边过点，可得，利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】（1）解：∵，∴为第三象限角，故， ∵，∴， ∴. （2）解：由（1）得，，故，， 又角β的终边过点，故为第一象限角，， ∴. 19．(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）直接利用定义求解； （2）求出的定义域，求出在上单调性及值域，从而得到的值域，根据定义求出.由，得的值，从而得到，由，得到，从而得到，计算得到实数x的取值范围； （3）在上单调递减，在上单调递增，得到在上单调递增，在上单调递减，从而得到.求出，，得到在上的值域，从而得到 ，继而得到，解得.按照和讨论求解，得到实数a的取值范围. 【详解】（1）由表示不小于x的最小整数，，得，所以实数x的取值范围是. （2）函数的定义域为，而函数在上单调递增，值域为，因此，即有，所以函数的值域为，则.由，得，则有，由，必有，则必须满足，解得，，，解得.所以实数x的取值范围. （3）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， .而，，于是在上的值域为， ，， 依题意，，，可得. 当时，，即， 当时，，即，. 所以实数a的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $