第26章 反比例函数 章节复习2025-2026学年人教版数学九年级下册

第26章 反比例函数 新情境 反比例函数的新考法 1.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s;当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度 2.小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.请根据图中信息，则k 的值为 ，点C 的坐标为 . 3.把一块含 角的三角板ABC 按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中 角的顶点 B 在x轴上，斜边AB 与x 轴的夹角 若AB=4，当点A，C同时落在反比例函数 图象上时，则k 的值为 . 4.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC 摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上(如图所示)，然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数 的图象上，则a 的值为 . 综合与实践 函数 的性质 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称.小勤同学利用代数方法进行了推导. 证明：在反比例函数 的图象上任取一点 则点 A 关于原点的对称点B 的坐标为 ∴点 B 也在反比例函数 的图象上.∵A 是反比例函数 的图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数 的图象上，∴反比例函数 的图象关于原点对称. 尝试应用：下面我们来研究一个新函数 (1)先列表、描点、连线，画出函数 的图象，观察发现图象关于 对称，并用代数方法证明该结论； (2)已知点 P (x,y₁),Q(2,y₂)在函数 的图象上，且 则x 的取值范围是 ; 拓展迁移:(3)已知函数y= nx+2(n≠0),当x>1或 时,函数y= nx+2(n≠0)的图象在函数 的图象的上方，求n 的范围. x … -5 -3 -1 1 3 5 … y 1 —— 4 6 6 2 章末复习 高频考点一 反比例函数的定义 1.下列函数关系式：①y= x;②y=π/₂;③xy=2;④y=3x⁻¹;⑤y= 其中表示 y是x 的反比例函数的是 .(填序号) 2.已知反比例函数的解析式为 则a 的取值范围是() A. a≠2 B. a≠-2 C. a≠±2 D. a=±2 高频考点二 求反比例函数的解析式 (一)利用定义求解析式 3.若 是反比例函数，则其函数解析式为 . (二)利用性质求解析式 4.已知函数 是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x 的增大而减小，则此函数的解析式为 . (三)利用待定系数法求解析式 5.小军将含45°角的三角板OAC 按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中直角顶点 C 在反比例函数 的图象上，若OA=4，则反比例函数的解析式为 . (四)利用“k”的几何意义求解析式 6.如图,矩形ABOC 的面积为10,顶点 B 在x 轴负半轴上,顶点 C 在y轴正半轴上，P为对角线的交点，则经过点 P 的双曲线的解析式为 . 高频考点三 反比例函数的增减性 7.已知反比例函数 下列选项正确的是( ) A.函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 8.已知点A(-2,y₁),B(-1,y₂),C(1,y₃)均在反比例函数 的图象上，则y₁,y₂,y₃的大小关系是 (用“<”连接). 9.已知 是反比例函数 的图象上的三点，若 则下列关系式错误的是( ) 高频考点四 反比例函数与方程、不等式 10.一次函数y=kx+b与反比例函数 的图象交于A(1,n),B(3,t)两点,则关于x 的方程 的解是 . 11.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A,B 两点,其中点A 的坐标为(-1,4),点B 的坐标为(4,n).根据图象,直接写出满足 的x的取值范围为 . 高频考点五 反比例函数与图形的面积 12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数y=kx-2的图象与x轴交于点A(-1，0)，与反比例函数 的图象交于点B(-2，a)，射线BO 与反比例函数的图象交于点 C，连接AC. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积. 高频考点六 反比例函数的应用 13.家用电灭蚊器的发热部分使用了 PTC发热材料，它的电阻R(kΩ)随温度 (在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后，发热材料的温度在由室温 上升到 的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到： 时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加 (1)求当10≤t≤30时,R 与t 之间的函数关系式; (2)求温度在30 ℃时电阻R 的值，并求出t>30时，R与t之间的函数关系式； (3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ? 新情境反比例函数的新考法 1.4 解：(1)由图可知点 A 的坐标为(-3,2). 设反比例函数关系式为 ∴k=-6; (2)∵直线OA 的解析式为 ∴直线 BC 的解析式为 联立 (舍去) 3.6 解:过点 C 作CD⊥x轴于点D,过点A 作AE⊥x轴于点E. ∵∠ACB=90°,∠ABC=60°, ∴∠BAC=30°, ∵AB=4, ∵∠ABO=60°,AE⊥x轴,CD⊥x轴，同理得 设A(a,2 ),则 4.2或3 解:∵OA=OB=5, ∴A(-5,0),B(0,5). 设平移后点 A，B的对应点分别为A',B', ∴A'(-5+a,-a),B'(a,5-a). ∵A'，B'两点恰好都落在函数y= 的图象上， ∴a(5-a)=6, ∴a=2或a=3. 综合与实践 函数 的性质 解:(1)2 3 4 3 1 如图所示， y轴. 证明：在 的图象上任取一点 则点 A 关于y轴的对称点B 的坐标为 ∵把x=-a代入 中,y= 即点 B 在 的图象上， 的图象关于y轴对称； (2)Q(2,y₂)关于 y 轴的对称点为(-2,y₂), ∵点 P(x,y₁),Q(2,y₂)在函数y= 的图象上，且 ∴x的取值范围是x<-2或x>2; (3)把x=1代入 中，得y=3,点(1,3),再把x=1,y=3代入y=nx+2中,得n=1,把 代入y 中，得y=6,点 再把 代入 y= nx+2中,得n=-8,结合函数图象,得n>1或n<-8. 章末复习 1.③④2. C 3. y= 5. y= 9. A 10. x₁=1,x₂=3 11. x<-1或0<x<4 12.解:(1)∵一次函数y= kx-2的图象与x轴交于点A(-1,0), ∴0=-k-2, ∴k=-2, ∴一次函数的解析式为y=-2x-2. ∵一次函数y=-2x-2的图象经过点B(-2,a), ∴a=-2×(-2)-2=2, ∴B(-2,2), ∵反比例函数 的图象过点B(-2,2), ∴m=-4, ∴反比例函数的解析式为 y = (2)过点 B,C 分别作BE⊥x轴于点E,CD⊥x轴于点 D. ∵点 B 与点 C 关于原点成中心对称， ∴C(2,-2), ∴BE=CD=2, ∵A(-1,0), ∴AO=1, 2=2. 13.解: (2)将t=30代入上式中,得 R= ∴温度在30℃时,电阻 R=2 kΩ. ∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值； 随后电阻随温度升高而增加， 温度每上升1℃，电阻增加 kΩ. ∴当t>30时, 即 (3)把R=6,代入 得 t=45, ∴当10℃≤t≤45℃时,电阻不超过6kΩ. 学科网（北京）股份有限公司 $