第21—26章 综合练习题 2025-2026学年华东师大版九年级数学

2025-2026学年华东师大版九年级数学《第21—26章》综合练习题（附答案） 一、选择题（共24分） 1．下列各组二次根式中，化简后是可以合并的二次根式是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0 3．若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1 4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是a，则四边形BDEC的面积是（　　） A．a B．2a C．3a D．4a 5．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜﹣1 C．x＜1 D．﹣3＜x＜1 7．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A．B．C．D． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　） A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6 二、填空题（共18分） 9．计算：3﹣＝　 　． 10．关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　． 11．如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则DF的长为 　 　． 12．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是 　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）．若点A的坐标为（2.5，3），则点A′的坐标为 　 　． 14．如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2﹣2ax+（a＜0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为　 　． 三、解答题（共78分） 15．计算． 16．解方程：x2+4x﹣7＝0． 17．为迎接中国共产党建党100周年，某校举行“知党史，感党恩，童心向党”系列活动．现决定组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），D（大合唱）．该校随机抽取了本校部分学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为36°，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查 　 　名学生，扇形统计图中“C”的圆心角度数为 　 　； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，根据调查数据估计该校约有多少人喜欢参加“C”活动小组． 18．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母a，b，c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率． 19．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，画△ABC的高线AD． （2）在图②中，画△ABC的中线CE． （3）在图③中，画△ABC的角平分线BF． 要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法． 20．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 22．【教材呈现】如下是华师版九年级上册数学教材第102页至第103页的部分内容． 探索：如图，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线，量一量，看看CD与AB有什么关系． 相信你与你的同伴一定会发现：CD恰好是AB的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线． 求证：CD＝AB． 证明：如图①，延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE． 结合图①，补全证明过程． 【结论应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中点，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，连结DE、DF和EF． （1）若BC＝10，EF＝6，则△DEF的面积为 　 　； （2）若AB＝BC，∠A＝65°，则∠EDF的大小为 　 　度． 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，在边AC上以每秒3个单位的速度运动，在边CB上以每秒4个单位的速度向终点B运动．当点P与△ABC的顶点不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边AB于点Q，以PQ为底边作等腰三角形PQD，使PD∥AB．设点P的运动时间为t（s）． （1）当点P在边AC上运动时，求PQ的长（用含t的代数式表示）； （2）用含t的代数式表示点D到边PQ的距离； （3）当△ABC的一条直角边平分△PQD的腰时，求t的值； （4）当点D到△ABC两直角边所在直线的距离相等时，直接写出t的值． 24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标； （3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围． 参考答案 一、选择题（共24分） 1．解：A、＝2和不是同类二次根式，本选项不合题意； B、＝2与不是同类二次根式，本选项不合题意； C、与不是同类二次根式，本选项不合题意； D、＝5，＝3是同类二次根式，本选项符合题意． 故选：D． 2．解：由题意得：m﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选：A． 3．解：∵抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（0，1）， ∴所得抛物线对应的函数关系式为y＝2x2+1． 故选：D． 4．解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝4， ∴S△ABC＝4a， ∴S△BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝3a． 故选：C． 5．解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D， 则tan∠BAC＝＝， 故选：C． 6．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故选：D． 7．解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6． A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； 故选：D． 8．解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4）， 即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4， ∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点， ∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4． 故选：A． 二、填空题（共18分） 9．解：原式＝2． 故答案为：2． 10．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4m＝0， 解得：m＝． 故答案为：． 11．解：∵直线a∥b∥c， ∴，即＝， ∴EF＝6， ∴DF＝EF+DE＝6+3＝9， 故答案为：9． 12．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6， ∴该函数的对称轴是直线x＝1， ∴当x＝4时，函数有最大值，最大值为y＝（4﹣1）2﹣6＝3， 故答案为：3． 13．解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点A的坐标为（2.5，3）， ∴点A′的坐标为（5，6）， 故答案为：（5，6）． 14．解：∵y＝ax2﹣2ax+的对称轴是直线x＝1，与y轴的交点坐标是（0，） ∴点B的坐标是（0，） ∵菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2﹣2ax+（a＜0）的图象上， 点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点， ∴点B与点D关于直线x＝1对称， ∴点D的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 三、解答题（共78分） 15．解： ＝1+3﹣+ ＝4． 16．解：x2+4x﹣7＝0， 移项得，x2+4x＝7， 配方得，x2+4x+4＝7+4， （x+2）2＝11， 解得x+2＝±， 即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣ 17．解：（1）本次调查的学生总人数为10÷20%＝50（名）， 扇形统计图中“B”所占的百分比为：36°÷360°×100%＝10%， 扇形统计图中“C”所占的百分比为：1﹣20%﹣10%﹣40%＝30%， 扇形统计图中“C”的圆心角度数为：360°×30%＝108°， 故答案为：50，108°； （2）B项活动的人数为：50×10%＝5（名）， C项活动的人数为：50×30%＝15（名）， 补全统计图如下： （3）1500×30%＝450（人）， 答：估计该校约有450人喜欢参加“C”活动小组． 18．解：列表如下： a b c a （a，a） （b，a） （c，a） b （a，b） （b，b） （c，b） c （a，c） （b，c） （c，c） 所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种， 则P＝＝． 19．解：（1）如图所示，AD即为所求； （2）如图所示，CE即为所求； （3）如图所示，BF即为所求； 20．解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220， ∴y＝﹣2x+220； （2）设利润为W， 则W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x²+300x﹣8800， 令W＝2400， 则﹣2x2+300x﹣8800＝2400， 解得：x＝70或x＝80， 答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元； （3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元， 答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2450元． 21．解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝， ∴点A的坐标为（0，）， ∴雕塑高m． （2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （3）当x＝10时，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝， ∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上． 又∵≈1.83＞1.8， ∴顶部F不会碰到水柱． 22．【教材呈现】 证明：如图①，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE， 则CD＝CE， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD＝BD， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴平行四边形ACBE是矩形， ∴CE＝AB， ∴CD＝AB． 【结论应用】 解：（1）过D作DG⊥EF于G，如图②所示： ∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F， ∴∠BEC＝∠BFC＝90°， ∵D为边BC的中点，BC＝10， ∴DE＝BC＝5，DF＝BC＝5， ∴DE＝DF＝5， ∵DG⊥EF， ∴GE＝EF＝3，∠DGE＝90°， ∴DG＝＝＝4， ∴△DEF的面积＝EF×DG＝×6×4＝12， 故答案为：12； （2）∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠A＝65°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝50°， 由（1）得：DE＝DC＝BD＝DF， ∴∠DEC＝∠ACB＝65°，∠DFB＝∠ABC＝50°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ACB﹣∠DEC＝50°，∠BDF＝180°﹣∠ABC﹣∠DFB＝80°， ∴∠EDF＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝180°﹣50°﹣80°＝50°， 故答案为：50． 23．解：（1）∵PD∥AB，∠C＝90°， ∴∠APQ＝∠C＝90°， ∴tanA＝，tan∠PAQ＝， ∴＝， 即＝， 解得：PQ＝4t； （2）分两种情况： ①当点P在AC上时，过点D作DH⊥PQ于H，如图1所示： ∵PD＝DQ，DH⊥PQ， ∴PH＝HQ＝PQ＝2t， ∵PD∥AB， ∴∠AQP＝∠DPQ， ∴tan∠AQP＝tan∠DPH， ∴＝， 即＝， 解得：DH＝t； ②当点P在BC上时，过点D作DH⊥PQ于H，如图2所示： ∵tanB＝＝， ∴＝， 解得：PQ＝6﹣3t， ∵PD＝DQ，DH⊥PQ， ∴PH＝HQ＝3﹣t， ∵PD∥AB， ∴∠BQP＝∠DPH， ∴tan∠DPH＝tan∠PQB， ∴＝， 即＝， 解得：DH＝4﹣2t； 综上所述：点D到边PQ的距离为t或4﹣2t； （3）如图3，当BC平分PD和QD时，过点D作DH⊥PQ于H，交BC于E， 又∵∠ACB＝∠QPC＝90°， ∴四边形PCEH是矩形， ∴PC＝HE＝3﹣3t， ∵PQ∥MN， ∴＝＝1， ∴HE＝DE， ∴DE＝HE＝t， ∴3﹣3t＝t， 解得：t＝； 如图4，当AC平分DQ和DP时，过点D作DH⊥PQ于H，交AC于E， 同理可得t＝； 综上所述，t的值为或； （4）如图5，当点P在AC上时，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则MD＝DN， 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形DNCM是矩形， 又∵DM＝DN， ∴四边形DNCM是正方形， ∴MC＝CN， ∴3﹣3t﹣t＝2t， 解得：t＝； 如图6，当点P在BC上，且点D在AC左侧时，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC，交BC的延长线于N，则MD＝DN， 同理可求t＝， 如图7，当点P在BC上，且点D在AC右侧时，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则MD＝DN， 同理可得t＝， 综上所述：t的值为或或． 24．解：（1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3； （2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1， 故点A的坐标为（4，0），则PF＝2， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3， 设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3）， 则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1， 解得x＝1或3， 故点P的坐标为（1，）或（3，3）； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n）， 当∠ABQ为直角时，如图2﹣1， 设BQ交x轴于点H， 由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝， 故设直线BQ的表达式为y＝x+t， 该直线过点B（0，3），故t＝3， 则直线BQ的表达式为y＝x+3， 当x＝时，y＝x+3＝5， 即n＝5； ②当∠BQA为直角时， 过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M， ∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°， ∴∠BQN＝∠MAQ， ∴tan∠BQN＝tan∠MAQ， 即，则， 解得n＝； ③当∠BAQ为直角时， 同理可得，n＝﹣； 综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形， 故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5． 学科网（北京）股份有限公司 $