精品解析：浙江省强基联盟2026年1月高三联考数学试题

浙江强基联盟2026年1月高三联考数学试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法法则运算可得，再结合复数的概念可得. 【详解】由，则复数的虚部为． 故选：A． 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据集合的包含关系判断，再结合集合的交集及并集运算可得. 【详解】对A，因为，但，所以不成立，故A错误； 对B，因为，但，所以不成立，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误． 故选：C． 3. 若函数的图象在处的切线过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出在处的切线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 又，所以在处的切线方程为， 又切线过点，所以，解得， 故选：A. 4. 已知函数恒成立，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，是函数的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】由题意得，是函数的最大值， ,得， ，又． 故选：A 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 6. 某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算一台电器使用寿命超过小时的概率为，再由台这样的电器服从可得结果. 【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布， 所以元件1、元件2、元件3使用寿命超过小时的概率均为， 一台这样的电器使用寿命超过小时，是元件1使用寿命超过小时，并且元件2、元件3至少有一个使用寿命超过小时， 因此一台这样的电器使用寿命超过小时的概率为， 显然台这样的电器，使用寿命超过小时的台数， 所以台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为． 故选：B． 7. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 8. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案. 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，即可表示出，再分和两种情况讨论，即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为， 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确， 当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点， 则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确． 故选：ABD． 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（ ） A. 的坐标为 B. 的最小值为2 C. 若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D. 的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的性质求解焦点判断A，举反例判断B，联立方程组，令判别式为0求解切线斜率，进而得到切线方程判断C，利用抛物线的定义求解最小值判断D即可. 【详解】对于A，由抛物线性质得的坐标为，故A正确， 对于B，当的斜率不存在时，可得的方程为， 联立方程组，解得，， 得到，，则， 得到的最小值不可能为2，故B错误， 对于C，若，设切线方程为不为， 联立方程组，可得， 此时，解得， 则，即，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，作垂直于准线， 由抛物线定义可得， 当且仅当三点共线时取等，此时，可得， 则的最小值为3，故D正确. 故选：ACD 11. 在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（ ） A. 平面 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D. 当时，四面体外接球体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A根据线面平行的判定定理证明即可；选项B先求出平面的法向量，再根据线面角求出和的关系，进而确定点的轨迹；选项C求出点到直线的距离与点到平面的距离，结合已知条件求解即可；选项D根据球心到已知点的距离等于球的半径列方程组求解即可. 【详解】选项A：，为中点. 连接，交于点，则为中点，所以. 又平面，平面，平面.故A正确. 选项B：以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 正方体中，易知平面的法向量为， 因为，，，， 所以，则，. 设与平面所成角为（）， 则，即， 又，，，， 所以，即. 因为，所以点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆在平面上四边形内的部分（含与四边形的交点），其长度为.故B错误. 选项C：由选项B知，点到直线的距离为1. 又，所以点到平面的距离为. 若点满足到直线与到平面的距离相等，则，即，此时，所以满足条件的点有1个（与点重合），故C错误. 选项D：当时，，又，，， 设四面体的外接球球心坐标为，半径为，则 ，解得. 所以外接球的体积为.故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将，整理得到，再由两角和的正切公式，将展开即得. 【详解】由，得， 所以，故， 所以 故答案为： 13. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由求得，再由即可求解． 【详解】由题意可得，解得， 则． 故答案为： 14. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，再结合古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 所以事件“存在，，使得”的概率为 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 【答案】（1），管理时间与土地使用面积线性相关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论； （2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 所以， 可得， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关. 【小问2详解】 由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得数列为等比数列，从而可得通项公式； （2）由（1）可得，再用错位相减法求数列的前项和可得. 【小问1详解】 由，所以当时，，解得， 当时，，与相减得， 即时，，所以， 所以是首项和公比均为2的等比数列，所以，即， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以——①， 则——②， 得 ， 所以. 17. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，证明平面，从而得到，根据垂直平分即可证明； （2）根据已知条件证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 由侧面为菱形，可得，为的中点， 又， 而，平面， 所以平面， 而平面，故， 又为的中点，所以垂直平分， 所以. 【小问2详解】 因为，且为的中点，所以， 又因为，所以，故， 由菱形，故，故，故， 从而两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 因为，所以为等边三角形， 所以， 则， 则，， 设是平面的法向量， 则，取，则，故， 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解； （2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解； （3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率. 【小问1详解】 当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； 【小问3详解】 将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 【答案】（1）证明如下： ，，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2） （3）证明如下： 由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 【解析】 【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得； （2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围； （3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设. 若对任意的，恒成立，则恒成立. 又， 设，则，且有， （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，. 所以在单调递增，所以，所以恒成立； （iii）当，时，，则单调递增， 又，则必然存在一个，使得， 且有时，单调递减；时,，单调递增. 此时，不满足恒成立. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2026年1月高三联考数学试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象在处的切线过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数恒成立，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为（ ） A. B. C. D. 7. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（ ） A. 的坐标为 B. 的最小值为2 C. 若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D. 的最小值为3 11. 在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（ ） A. 平面 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D. 当时，四面体外接球体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角满足，则______． 13. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则______． 14. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $