第十九章二次根式知识归纳与题型突破（十九题型）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章二次根式知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十九题型） 知识归纳： 知识点 重点归纳总结 常见易错点 二次根式的定义 被开方数必须是非负数（），否则二次根式无意义 . ① 二次根式的辨别只看形式，不看化简后的结果，如也是二次根式； ② 认为中的取值范围是（忽略了等于2的情况） 二次根式的性质 ① 双重非负性：； ② 转化性：； ③ 回归性：； ④ 积的算术平方根的性质： . ① 若，需同时满足和，而非仅解其中一个方程； ② 化简时，需要考虑的符号； ③ 无意义 最简二次根式 ① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ② 被开方数不含分母 . 将被开方数分解因数/因式，将能开得尽方的部分提到根号外，注意绝对值，如而不是 同类二次根式 ① 先化简成最简二次根式； ② 被开方数相同的二次根式 . 需先化简再判断，避免直接看原式的被开方数 二次根式的运算 ① 加减法：化成最简二次根式，再合并同类二次根式； ② 乘法法则： ； ③ 除法法则： ； ④ 混合运算：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的 . ① 忽略了运算顺序，如（错误，应先乘后加）； ② 未用完全平方公式展开，如（错误） 分母有理化 ① 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ② 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ③ 对于分母是的形式，需乘以. 分母有理化不彻底，如需乘以，得到 题型突破： 题型一：二次根式的识别 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2.下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二：二次根式有意义的条件 1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥6 B．x≥﹣6 C．x≤﹣6 D．x≤6 2.当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 3.代数式中的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 题型三：求二次根式的值 1.当时，二次根式的值是 ． 2.当时，二次根式的值为 ． 3.当时，二次根式的值为 ． 题型四：最简二次根式的判断 1.下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2.下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型五：利用二次根式的性质化简 1.化简（﹣）2的结果是（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．9 2.若a＞3，则化简|2﹣a|正确的是（　　） A．﹣1 B．1 C．5﹣2a D．2a﹣5 3.若＝m﹣1，则m的取值范围是 　 　． 题型六：二次根式乘除成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 题型七：根号内、外的因式互移 1.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 3.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a;(2)·(x>y>0);(3)ab(0<a<b). 题型八：分母有理化 1．下列各式中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．计算＝ ． 3．分母有理化： . 题型九：二次根式的乘法运算 1．下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2.计算： (1) (2) (3) (4)． 3.计算: (1);(2) 题型十：二次根式的除法运算 1．计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 3.计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 题型十一：二次根式的乘除混合运算 1.计算：． 2.计算：93． 3.计算：． 题型十二：判断二次根式能否合并 1.下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2.若最简二次根式与是能合并，那么（  ） A． B． C． D． 3.若与是可以合并的二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ． 题型十三：二次根式的加减运算 1.计算：． 2.计算：． 3.计算： （1）；（2）． 题型十四： 二次根式的混合运算 1.下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 2.计算：（+）×﹣4． 3.计算： （1）；（2）． 题型十五：比较二次根式的大小 1．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 3．比较大小： （填，或）． 题型十六：整数部分和小数 1.的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 2.实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 3．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 题型十七：二次根式的化简求值 1.已知，，则的值是 ． 2.已知：，则的值为 ． 3.先化简，后求值：，其中． 题型十八：二次根式的规律探索 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 2．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 3．观察规律：，，，…，将你猜想到的规律用一个式子来表示：________． 题型十九：二次根式的应用 1.高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 2.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 3.如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 【答案】 第十九章二次根式知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十九题型） 知识归纳： 知识点 重点归纳总结 常见易错点 二次根式的定义 被开方数必须是非负数（），否则二次根式无意义 . ① 二次根式的辨别只看形式，不看化简后的结果，如也是二次根式； ② 认为中的取值范围是（忽略了等于2的情况） 二次根式的性质 ① 双重非负性：； ② 转化性：； ③ 回归性：； ④ 积的算术平方根的性质： . ① 若，需同时满足和，而非仅解其中一个方程； ② 化简时，需要考虑的符号； ③ 无意义 最简二次根式 ① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ② 被开方数不含分母 . 将被开方数分解因数/因式，将能开得尽方的部分提到根号外，注意绝对值，如而不是 同类二次根式 ① 先化简成最简二次根式； ② 被开方数相同的二次根式 . 需先化简再判断，避免直接看原式的被开方数 二次根式的运算 ① 加减法：化成最简二次根式，再合并同类二次根式； ② 乘法法则： ； ③ 除法法则： ； ④ 混合运算：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的 . ① 忽略了运算顺序，如（错误，应先乘后加）； ② 未用完全平方公式展开，如（错误） 分母有理化 ① 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ② 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ③ 对于分母是的形式，需乘以. 分母有理化不彻底，如需乘以，得到 题型突破： 题型一：二次根式的识别 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 题型二：二次根式有意义的条件 1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥6 B．x≥﹣6 C．x≤﹣6 D．x≤6 【答案】B 2.当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.代数式中的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 题型三：求二次根式的值 1.当时，二次根式的值是 ． 【答案】3． 2.当时，二次根式的值为 ． 【答案】3． 3.当时，二次根式的值为 ． 【答案】． 题型四：最简二次根式的判断 1.下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 2.下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】． 题型五：利用二次根式的性质化简 1.化简（﹣）2的结果是（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．9 【答案】C 2.若a＞3，则化简|2﹣a|正确的是（　　） A．﹣1 B．1 C．5﹣2a D．2a﹣5 【答案】D 3.若＝m﹣1，则m的取值范围是 　 　． 【答案】m≥1． 题型六：二次根式乘除成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 题型七：根号内、外的因式互移 1.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a;(2)·(x>y>0);(3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 题型八：分母有理化 1．下列各式中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．计算＝ ． 【答案】 3．分母有理化： . 【答案】 题型九：二次根式的乘法运算 1．下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)3(3)(4)8 【详解】（1） （2） （3） （4） 3.计算: (1);(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型十：二次根式的除法运算 1．计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 2．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 3.计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型十一：二次根式的乘除混合运算 1.计算：． 【答案】 【详解】解： 2.计算：93． 【答案】解：原式＝9 10 ＝45． 3.计算：． 【答案】解： ＝3×（）×2 5 ． 题型十二：判断二次根式能否合并 1.下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 2.若最简二次根式与是能合并，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 3.若与是可以合并的二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ． 【答案】（答案不唯一） 题型十三：二次根式的加减运算 1.计算：． 【答案】2． 【解答】解：原式＝﹣2+3 ＝2． 2.计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝ ＝． 3.计算： （1）；（2）． 【答案】（1）2； （2）2． 【解答】解：（1）原式＝3﹣3+2 ＝2； （2）原式＝2+2﹣﹣2+ ＝2． 题型十四： 二次根式的混合运算 1.下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 2.计算：（+）×﹣4． 【答案】解：原式＝（2+）×﹣2 ＝2×+×﹣2 ＝4+3﹣2 ＝4+． 3.计算： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝． 题型十五：比较二次根式的大小 1．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 3．比较大小： （填，或）． 【答案】 题型十六：整数部分和小数 1.的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 2.实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【答案】 题型十七：二次根式的化简求值 1.已知，，则的值是 ． 【答案】 2.已知：，则的值为 ． 【答案】 3.先化简，后求值：，其中． 【答案】解： ＝ ＝； 当时， 原式＝． 题型十八：二次根式的规律探索 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 【答案】 2．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 【答案】 3．观察规律：，，，…，将你猜想到的规律用一个式子来表示：________． 【答案】(n≥1) 题型十九：二次根式的应用 1.高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 【答案】C． 2.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 3.如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 【答案】解：大正方形边长为，小正方形边长为， ． 学科网（北京）股份有限公司 $