11.2 一元一次不等式&重难题型专练 活用不等式的性质-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（人教版·新教材 江西专版）

第2课时不等式性质的应用 1.B2.A 3.解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边同减4x,得 -7x≤-1. 根据不等式的性质3，不等式两边同除以一7，得x ≥7 原不等式的解集在数轴上表示如图所示. (2)根据不等式的性质1，不等式两边同减(2x十4)，得 4x-4. 根据不等式的性质2，不等式两边同除以4，得x< 一1. 原不等式的解集在数轴上表示如图所示. 20 4.A 11.2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.B2.A3.A4.B 5.a>2【解析】A>B,.a-1>-a+3,∴.2a>4, .a>2. 6.解：(1)去分母，得x一1<2(x+1), 去括号，得x-1<2x十2， 移项、合并同类项，得一x<3, 系数化为1，得x>一3 将解集在数轴上表示如图所示. -30 (2)去分母，得x-3-2x≥一4， 移项，得x-2x≥一4十3， 合并同类项，得一x≥-1， 系数化为1，得x≤1. 将解集在数轴上表示如图所示. -3-2-10123 7.解：(1)三 (2)去分母，得x-1十2>2(2-x), 去括号，得x一1十2>4-2x, 移项，得x十2x>4十1-2， 合并同类项，得3x>3, 系数化为1，得x>1. 8.C【解析】去括号，得4x一4<3x一2，移项、合并同类 项，得x<2,∴.4(x一1)<3x一2的正整数解为1，共 1个. 1 9.B【解析】移项，得-2x十2x<5-1, 3 合并同类项，得一之x<4, △14 七年级数学RJ版 系数化为1，得>号 1 故不等式1-2x<5-2x的负整数解为一2，-1，共 2个 10.A【解析】解不等式3(x+1)-2≤4(x-3)+1,得 x≥12，∴.该不等式的最小整数解为12.把x=12代 人方程号-m=5,得号×12-m=5,解得m=1. 1.解：)：P=3(号-m)∴当m=2时，P=3×(号 2)=3x(-8）=-5. /1 (2):P=3(3-m)小，且由数轴可知P≤7， ∴3（号-m）)<1,解得m≥-2. .m的负整数值为一2，一1. 第2课时一元一次不等式的应用 1.A 2.B【解析】设该自行车打x折. 由题意，得1200×0-800≥800×5%， 解得x≥7，即最多可打七折. 变式题32【解析】设每个护眼灯的售价降价x元. 根据题意，得320-1-240×100%≥20%，解得x< 240 32.故每个护眼灯的售价最多可降价32元. 3.5【解析】设x个月后能赚回这台机器的贷款.依题 意，得(8一5一8×10%)×2000x≥22000，解得x≥5， .至少5个月后能赚回这台机器的贷款. 4.解：(1)设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲 盒的进价是(x十20)元. 由题意，得4(x十20)=5.x, 解得x=80, 则x十20=100. 故每个A款盲盒进价是100元，每个B款盲盒进价是 80元. (2)设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒(200一 m)个. 100m+80(200-m)≤≤17000， 解得m≤50. m为整数，.m最大为50， 即最多可以购买A款盲盒50个. 5.C【解析】设有x名学生. 购买单人票的总价格：10x元； 购买团体票的总价格：①当0<x≤25时，25×10×0.8 =200(元)；②当x>25时，x·10×0.8=8.x(元). 易知当x>25时，购买团体票更划算. 由题意，得10x<200, 解得x<20. x为正整数，x的最大值为19.故学生最多有 19名. 6.解：(1)设在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价 为x元，B款运动盲盒的销售单价为y元， 由题意，得 5x十10=230解得任=10， 25.x+25y=450, y=8. 答：在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价为10 元，B款运动盲盒的销售单价为8元. (2)(1.6m+291)(1.8m+288) (3)由题意，得1.6m十291<1.8m十288，解得m>15, .15<m<40. 答：购买A款运动盲盒的数量在15<m<40范围内 时，去甲商店更合算。 7.13 重难题型专练活用不等式的性质 1.解：(1)二 (2)正确的解题过程如下： .mn,.-2026m>-2026n, .-2026m+1>-2026n+1. 2.C3.m<2 4.9<m≤13【解析】.4</17<5，.a=4. 将a=4代入不等式a.x十m>1中，得4x十m>1, 解得x>。 ,关于x的不等式a.x+m>1只有2个负整数解， 1一m∠一2， 解得9<m≤13. 2a-3b=4, 5.解：(1)依题意，得 5a+3b=3. a=1, 解得 2 b=-3 1 故a十b= 31 (2)由1D,得x△y=x千2y, 依题意，得2士二（一m)≥0 解得m≤3. 6.解：依题意，得 6+92+x≥86，解得x≥90. 3 故他在第三次数学考试中的得分x应满足不低于90 分，才能使这三次考试的平均分不低于86分. 7.解：(1)设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(500一 x)株.根据题意可得50x十80(500一x)≤34000，解得 x≥200，∴.x的最小值为200. 答：至少购买甲种树苗200株 (2)设购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗(500一 a)株. 根据题意可得90%a+95%(500-a)≥92%×500，解 得a≤300， ∴.a的最大值为300. 答：至多购买甲种树苗300株。 11.3一元一次不等式组 1.③④⑤【解析】根据一元一次不等式组的定义可知， 一元一次不等式组中未知数只有一个，未知数的次数 是1，且不等号的两边都是整式.①中含有两个未知 数，因此不是；②中未知数的最高次数为2，因此不是； ⑥中上不是整式，因此不是.故③④⑤是一元一次不等 式组. 2.C3.一1<x≤14.D5.一1（答案不唯一） 6.-3<m<1【解析】，点M(m+3,m-1)在第四 象限， ÷十3>0解得-3<m<1 m-1<0, 7.解：(1)一 (2)解不等式①，得x>一2， 解不等式②，得x≤2， .该不等式组的解集为一2<x≤2， ∴.该不等式组的整数解为一1,0,1,2. 2x-3<x,① 8.解： ,② 解不等式①，得x<3, 解不等式②，得x≥一2， -2≤x<3, 将解集在数轴上表示如图所示。 -6-5-4-3-2-10123456 9.解：解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x≥-3， ,.该不等式组的解集为一3≤x≤1， .该不等式组的整数解为-3，一2，一1,0,1， .-3-2-1+0+1=-5. 10.解：(1)(5x+38) (2)根据题意，得 5.x+38-6(x-1)<5, 5.x+38-6(x-1)≥1， 解得39<x≤43. ,x为整数，.x的值可能为40或41或42或43. 故该敬老院最少有40个老人，最多有43个老人. 重难题型专练含字母参数的一元一次 不等式（组）的应用 1,≥-5【解折】解不等式-2>2，得y<-4, 解不等式2y+1≤3y-k,得y≥k+1. “不等式子-2，→2的任意一个解都比不等式2 下册参考答案 15个11.2一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 已知识要点扫描 已经典例题剖析 1.一元一次不等式的定义 【例】(2025上饶广丰区月考)解不等式 定义 示例 3x-2,x+1 3 ≥3，并把它的解集在数轴上表 只含有一个未知 示出来 数，且含有未知数 3x+2≥5，x-3< 一元一次 【解】去分母，得3(3x-2)+2(x十1) 的式子都是整式， 0,m-3>4等都是 不等式 未知数的次数是1 ≥18， 一 元一次不等式 的不等式 去括号，得9x-6+2x+2>18, 移项、合并同类项，得11x≥22， 一元一次不等式需要满足的三个条件： 系数化为1，得x≥2. ①不等式两边都是整式； 要点精析 将解集在数轴上表示如图所示 ②不等式中只含有一个未知数； ③未知数的次数是1 432101含4 2.一元一次不等式的解法 【点拨】解一元一次不等式类似于解一元 一次方程，但系数化为1时，要注意不等号方 摘要 向可能改变，在数轴上表示解集时，大于向右 解一元一次不等式，要根据不等式 解一元一次不 画，小于向左画，含等号画实心圆点，不含等号 的性质，将不等式逐步化为x≤a或 等式的含义 画空心圆圈. x>a的形式 已基础对点训练 ①去分母（根据不等式的性质2或 性质3)； 知识点① 一元一次不等式的定义 ②去括号（根据去括号法则）； 1.若(m+1)xml+2>0是关于x的一元一次 解一元一次不 ③移项（根据不等式的性质1）； 不等式，则m的值是 () 等式的一般步 ④合并同类项（根据合并同类项的 骤及依据 A.±1 B.1 C.-1D.0 法则)； 2.有下列式子：①-2<0：②3x-5>0:③x2 ⑤系数化为1（根据不等式的性质2 或性质3) ④>1：⑤=2>0：⑥x+2 (1)解一元一次不等式与解一元 其中是一元一次不等式的有 () 次方程的方法类似，有所不同的是， A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解不等式时，两边同时乘（或除以） 同一个负数，要改变不等号的方向； 知识点②一元一次不等式的解法 要点关注 (2)解一元一次不等式的基本步骤 3.(2025芜湖月考)下列不等式的解集为x≥ 在实际解不等式时不一定都用到， 一1的是 () 顺序也可以调整，应根据不等式的 A.x+2>≥1 B.x-1≤2 特点灵活运用 C.2x+2≥4 D.4x-3≤-7 462 七年级数学RJ版 4.已知关于x的方程3x一1=2x一a的解是 知识点③一元一次不等式的整数解 负数，则点M(一2，a)在 8.不等式4(x一1)<3.x一2的正整数解的个数 A.第一象限 B.第二象限 为 () C.第三象限 D.第四象限 A.3 B.2 C.1 D.0 5.已知A=a一1，B=一a十3，若A>B,则a 1 的取值范围是 9.不等式1-2x<5一2x的负整数解有 6.解下列不等式，并在数轴上表示解集： ( ) 号+1 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 10.若不等式3(x+1)-2≤4(x-3)+1的最 小整数解为方程2x一m=5的解，则m的 值为 ( A.1 B-1c号 D、23 2 (2)3 1.整式3（写m)的值为P. 2 -x≥-2. (1)当m=2时，求P的值. (2)若P的取值范围如下图所示，求m的 负整数值， 0十23456方 7.纠错题下面是小明同学解不等式的过程， 解不等式 -+1>2-x 解：去分母，得x一1+2>2(2一x),第一步 去括号，得x一1+2>4一2x,第二步 移项，得x一2x>4十1一2，第三步 合并同类项，得一x>3,第四步 系数化为1，得x<一3.第五步 (1)以上解题过程从第 步开始出 现错误。 (2)请写出该不等式的正确的解答过程. 下册第十一章 63△ 第2课时 一元一次不等式的应用 知识要点扫描 答：最多可以买80支钢笔。 实际问题与一元一次不等式 【点拨】(1)设购买1支钢笔需要x元，购 列不等式解应用题的步骤与列方程解应 买1本笔记本需要y元，根据“购买60支钢笔 用题的步骤相似，具体步骤如下表： 和30本笔记本需要1080元，购买50支钢笔 和10本笔记本需要840元”列方程组求解 步骤 具体做法 即可； ①审 认真审题，分清已知量、未知量 (2)设购买钢笔m支，则购买笔记本(100 ②设 设出适当的未知数 一m)本，根据“购买费用不超过1360元”列不 找出题中的不等关系，准确理解题中的关 ③找 键词语的意义，如“大于”“小于”“不大于” 等式求解即可. “不小于”“至少”“最多”等 基础对点训练 ④列 根据题中的不等关系列出不等式 知识点① 一元一次不等式的应用 ⑤解 解所列的不等式 1.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买 ⑥答 检验是否符合题意及实际意义，写出答案 篮球和足球共50个，购买资金不超过3000 经典例题剖析 元.若每个篮球80元，每个足球50元，则篮 【例】某校举行数学竞赛，需要购买钢笔与 球最多可购买 笔记本作奖品.已知购买60支钢笔和30本笔 A.16个 B.17个 记本需要1080元，购买50支钢笔和10本笔 C.33个 D.34个 记本需要840元. 2.某品牌自行车的进价为每辆800元，标价为每 (1)购买1支钢笔和1本笔记本各需多 辆1200元.店庆期间，商场为了答谢顾客，进行 少元？ 打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%， (2)若需要购买100件奖品，且购买费用 则最多可打 ( 不超过1360元，则最多可以买多少支钢笔？ A.六折 B.七折 C.八折D.九折 【解】(1)设购买1支钢笔需要x元，购买1 变式题某品牌护眼灯的进价为每个240 本笔记本需要y元 元，商店以每个320元的价格出售.五一劳 60x+30y=1080, 根据题意，得 动节假期期间，商店为让利于顾客，计划以 50x+10y=840, 利润率不低于20%的价格降价出售，则每 x=16, 解得 个护眼灯的售价最多可降价 元. y=4. 答：购买1支钢笔需要16元，购买1本笔 3.(教材变式)某人贷款22000元购进一台机 记本需要4元. 器，用于生产某种产品.已知每个产品的成 (2)设购买钢笔m支，则购买笔记本(100 本是5元，售价是8元，销售一个产品应付的 -m)本. 税款和产生的其他费用是售价的10%.若每 根据题意，得16m+4(100一m)≤1360， 月能生产并销售2000个产品，则至少 解得m≤80. 个月后能赚回这台机器的贷款， 七年级数学RJ版 4.(2025九江湖口二模)某商家销售A,B两款 活动： 盲盒.已知购进4个A款盲盒的费用与购进 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭 5个B款盲盒的花费相同，每个A款盲盒的 会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价 进价比每个B款盲盒的进价多20元. 格的八折出售（已知小明在此之前不是该商 (1)每个A款盲盒和每个B款盲盒的进价分 店的会员)；乙商店：购买商店内任何商品， 别是多少元？ 一律按商品价格的九折出售。 (2)根据网上预订的情况，该商家计划用不 【解决问题】 超过17000元的资金购进A,B两款盲盒共 (1)在无促销活动时，A款运动盲盒和B款 200个.求最多可以购进A款盲盒的个数. 运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A,B两款运动 盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个(0< m<40).若小明在甲商店成为会员购买，共 需要 元；若在乙商店 购买，共需要 元.（均 用含m的代数式表示) (3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购 买A款运动盲盒的数量m在什么范围内 时，去甲商店更合算？ 知识点②利用一元一次不等式选择方案 5.有若干名学生星期天去公园游玩，公园售票窗 口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含 25人)可享八折优惠.若选择购买单人票比选 择购买团体票更划算，则学生最多有( A.23名B.25名C.19名D.20名 6.(2025赣州于都期未)【问题情境】 易错点利用不等式解决实际问题时，忽 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购 略问题的实际意义，在取特殊值 买A,B两种款式的运动盲盒作为奖品， 时易出现问题 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式 7.(2025芜湖月考)某次数学测验，共16 相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动 个选择题.评分标准：答对一题得6分， 时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运 答错一题扣2分，不答得0分.某个学生 动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲 只有1题未答，他想自己的分数不低于 盒、25个B款运动盲盒，共需450元， 70分，他至少要答对 道题 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销 下册第十一章 65 重难题型专练 活用不等式的性质 题型① 利用不等式的性质比较大小 (2)已知m是实数，若2△(-m)≥0，求m 1.阅读下列解题过程，再解题， 的取值范围. 已知m<n,试比较-2026m十1与-2026n +1的大小 解：，m<n,第一步 .-2026m<-2026n,第二步 题型③利用不等式的性质解决实际问题 故-2026m+1<-2026n+1.第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开 6.小明在第一次数学考试中得了76分，在第 始出现错误. 二次数学考试中得了92分.他在第三次数 (2)请写出正确的解题过程. 学考试中的得分x应满足怎样的条件，才能 使这三次考试的平均分不低于86分？ 题型②利用不等式的性质确定取值范围 2.(2025安庆期末)如图表示的是关于x的不7.某绿化公司计划购买甲、乙两种树苗共500株 等式2x一a<一1的解集，则a的取值是 已知甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80 ( 元，统计表明甲、乙两种树苗的成活率分别为 -3-2-101 90%和95%（成活率= 种植树苗成活的株数 第2题图 种植树苗的总株数 A.a≤-1B.a≤-2C.a=-1D.a=-2 ×100%). 3.若x>y,且(m-2)x+5<(m-2)y十5，则 (1)若购买树苗的钱不超过34000元，则至 m的取值范围是 少购买甲种树苗多少株？ 4.我们知道1<√3<2，所以√3的整数部分是 (2)若希望这批树苗的成活率不低于92%， 1.如果a为17的整数部分，且关于x的不 则至多购买甲种树苗多少株？ 等式ax十m>1只有2个负整数解，那么实 数m的取值范围是 5.对于任意实数x,y,规定x△y=a.x一by (a,b为常数).已知2△3=4,5△(-3)=3. (1)求a+b的值. 66 七年级数学RJ版