10.2 消元解二元一次方程组&重难题型专练 含字母参数的二元一次方程组-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（人教版·新教材 江西专版）

10.2消元—解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 已知识要点扫描 【解】设订购了A种粽子xkg,B种粽子 用代入法解二元一次方程组 y kg. y=2.x-20, x=40, 定义 步骤 由题意，得 解得 28.x+24y=2560, (1)变形：从方程组中 y=60. 将未知数的个数 选定一个系数比较简 故订购了A种粽子40kg,B种粽子60kg. 消元 由多化少逐一解 单的方程变形为y= 思想 决的思想，叫作消 【点拨】题中有如下两个等量关系：“B种 a.x+b(或x=cy十d) 元思想 粽子的质量=A种粽子的质量X2一20kg”和 ①的形式；(2)代入：把 ①代入另一个方程中， “A种粽子的费用+B种粽子的费用=2560 把二元一次方程 组中一个方程的 消去y(或x),得到一 元”.根据上述关系，列出方程组并求解即可 个一元一次方程； 二个未知数用含 名基础对点训练 (3)求解：解这个一元 另一个未知数的 一次方程，求出x(或 知识点① 用一个未知数表示另一个未知数 式子表示出来，再 代入 代入另一个方程， y)的值；(4)回代：把求 1.已知方程4x一7y=25,用含x的式子表示y 消元法 得的x(或y)的值代回 实现消元，进而求 方程①中，求出y(或 为 得这个二元一次 方程组的解.这种 x)的值；(5)写解：把求 4 25 4 A.y=- B.y= 方法叫作代入消 得的未知数的值用“{” 7 +9 7 5 725 元法，简称代入法 联立起来，即为原方程 组的解 C.x=4y+4 D.=4y- 4 经典例题剖析 2.(教材变式)把3x一4y=7改写：用含x的式 4x+y=15,① 子表示y,得y= ;用含y 【例1】解方程组： 3.x-2y=3.② 的式子表示x,得x= 【解】由①，得y=15-4x.③ 把③代入②，得3x-2(15-4x)=3,解得 知识点② 用代入法解二元一次方程组 x=3.把x=3代入③，得y=15-4×3=3, 3x+4y=2,① 3.用代入法解方程组 下列最合 x=3, 2x-y=5,② ∴原方程组的解是 y=3. 适的变形是 【点拨】先由①用含x的代数式表示y后 24 代入②得出x的值，再求出y的值即可. A由①，得x=号含 【例2】在端午节来临之际，某商店订购了 13 B.由①，得y=2一4 A种粽子和B种粽子，其中A种粽子每千克 28元，B种粽子每千克24元.若订购的B种 C由②，得x,大 2 粽子的质量比A种粽子的2倍少20kg,订购 D.由②，得y=2x-5 两种粽子共用了2560元，则两种粽子各订购 y=x-1,① 4.对于二元一次方程组 将①代 了多少千克？ x-2y=7,② 44 七年级数学RJ版 入②，可以得到 ( 知识点③ 代入消元法的简单应用 A.x-2x-1=7 B.x-2x-2=7 x=2y, C.x-2x+2=7 D.x+2x+2=7 7.如果x,y满足方程组 那么x十 2x+y=5, 2x-y=5,① 5.佳佳解方程组 的步骤如下： y的值是 () 3x-2y=8② A.-4 B.0 C.3 D.5 解：由①，得y=2x一5.③ 把③代入①，得2.x-(2x-5)=5, 8.若单项式2x2y+b与- 32y是同类项， 1 解得0=0， 则a,b的值分别是 ( ∴.原方程组有无数个解。 A.3,1 B.-3,1 (1)这种解方程组的方法被称为 C.3,-1 D.-3,-1 消元法。 (2)老师说佳佳解方程组的过程不正确，请 9.若√a+b+5+12a-b+11=0,则(b一 你说明佳佳错误的原因. a)2025的值为 () (3)写出该方程组的正确解法. A.1 B.-1 C.52025 D.-52025 x=2-y, 10.以方程组 的解为坐标的点(x, y=x-1 y)在平面直角坐标系中的第 象限。 11.中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载 的“绳索量竿”问题，大意是现有一根竿子 和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子 6.用代入法解下列方程组： 长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比 3x-2y=11,① (1)(2025山西) 竿子短5尺.问绳索、竿子各有多长.该问 x+2y=1.② 题中的竿子长为 尺 12.古代数学文化（2025阜阳月考)《九章算 术》中记载：“今有共买金，人出四百，盈三 千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各 几何.”意思是今有人合伙买金，每人出400 钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出 3x-y=5,① 100钱.人数、金价各是多少？ (2)(2025新疆) x+y=3.② 下册第十章 45△ 10.2.2 加减消元法 知识要点扫描 经典例题剖析 1.用加减法解二元一次方程组 2x-3y=-2,① 【例】解方程组： 定义 步骤 2x+y=2.② 【解】②-①，得y+3y=2+2,解得y=1. 当二元一次方 (1)变形：方程组的两个方程 将y=1代人②，解得x=7 程组的两个方 中，如果某个未知数的系数既 程中某个未知 不互为相反数又不相等，那么 1 数的系数互为 就用适当的数乘方程的两边， 则原方程组的解为 x2' 相反数或相等 使这个未知数的系数互为相 y=1. 时，把这两个 反数或相等；(2)加减：将变形 方程的两边分 【点拨】根据同一未知数的系数相同，利用 加 后的两个方程相加或相减，消 别相加或相 加减消元法求解即可」 去一个未知数，得到一个一元 消 减，就能消去 一次方程；(3)求解：解这个 已基础对点训练 这个未知数， 元一次方程，求出一个未知数 得到一个一元 的值；(4)回代：把求得的未知 知识点① 用加减法解二元一次方程组 一次方程，进 数的值代回原方程组中的任 1.（2025安庆太湖期中)解方程组 而求得二元一 次方程组的解， 意一个方程中，求出另一个未 2x+3y=8, 知数的值；(5)写解：把求得的 的思路可用下面的框图表 这种方法叫作 未知数的值用“{”联立起来， 3x-2y=-1 加减消元法，简 即为原方程组的解 示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为 称加减法 ( 2x+3y=8① 2.灵活选择解二元一次方程组的方法 6x+9y-(6x-4y)=24-(-2) 知识点 摘要 示例 (1)在方程组中，若其中 组 一个方程比较容易变形 3x-2y=-1② y=2 为用一个未知数表示另 x=1 第1题图 一个未知数的形式，优 先考虑代入法，尤其是 ① 5x-2y=3, A.①×2+②×3 B.①×2-②×3 未知数的集数是1或 5x+3y=4: y=3-2x, C.①×3-②×2 D.①X3+②×2 选择代一1，用代入法更简便： 入法或(2)在方程组中，若某个 x-2y=-1: 2x-y=1, 2.以方程组 的解为坐标的点 加减法未知数的系数成整数 2x+3y=1, 3x+y=-11 的一般倍，优先考虑加减法，尤 5x-6y= 21 (x,y)在平面直角坐标系中的 () 原则 其是某个未知数的集数 ①③用加减消元法 A.第一象限 B.第二象限 相同或互为相反数，用 更简便，②用代入消 加减法更简便：(3)在方 C.第三象限 D.第四象限 元法更简便 程组中，若未知数的系 3.在等式y=kx十b中，当x=1时，y=一2； 数同时符合以上两种情 当x=-1时，y=-4,则2k+b=() 况，则这两种方法都可 A.1 B.-1 以选用 C.-2 D.-3 46 七年级数学RJ版 4.(2025抚顺东洲区期中)用加减法解下列方9.（教材变式）江南农场收割小麦，已知1台大 程组： 型收割机和3台小型收割机1h收割小麦 、x-y=3, 1.4hm2,2台大型收割机和5台小型收割机 (1) x+2y=0. 1h收割小麦2.5hm2.3台大型收割机和2 台小型收割机1h收割小麦多少公顷？ 2x+3y=40, (2) 易错点方程去分母时，因漏乘常数项而 3.x-2y=-5. 致错 x-1 y 2 3 =1,0 10.纠错题解方程组： y+3x=5.② 下面是小虎的解答，你认为他的解法正 确吗？若不正确，请给出正确解法。 解：方程①去分母，得3(x一1)一2y 1,即3x-2y=4.③ 知识点② 加减消元法的简单应用 x+y=3a, ®-@，得3y=1,解得y=专 5.若二元一次方程组 的解是二元 x-y=9a 一次方程x一2y=24的一个解，则a的值是 把y= 3代人②，得3十3x=5,解得x 14 x= 心 9 A.1 B.2 C.-1 D.-2 9·故原方程组的解为 6若r-1=2, 1 是关于x,y的方程 y3 y=a,y=2a-1 y十3x=b的两个解，则ab x+2y=-1, 7.已知x,y满足方程组 则x 2x+y=3, y的值为 8.有A,B两种型号医用外科口罩，2包A型 口罩与3包B型口罩合计27元，7包A型 口罩与8包B型口罩合计77元.3包A型 口罩与2包B型口罩合计 元 下册第十章 47△ 重难题型专练 含字母参数的二元一次方程组 题型① 已知方程组的解求字母的值或解 5.(2025赣州于都期末)数学活动课上，小云和 新的方程组 小辉在讨论老师出示的一个二元一次方程 x=2, 组的问题： 1.已知 是二元一次方程组 y=1 已知关于x,y的二元一次方程组 mx+ny=8, 3x+4y=3,① 的解，则m+31等于( 的解满足2x+3y=1,③ nx-my=1 x+2y=2-3m② B.6 C.5 D.12 求m的值， A.9 2.已知关于x,y的二元一次方程组 小云：将①③联立可得一个新的不含m的二元一 次方程组. 3x-my=5, x=1, 的解是 求关于a,b的 小辉：直接①十②可以更简便地求出m的值. 2x+ny=6 y=2, 请结合他们的对话，解答下列问题： 3(a+b)-m(a-b)=5, 二元一次方程组 (1)按照小云的方法，x的值为 2(a+b)+n(a-b)=6 .y 的解. 的值为 (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思 想，请按照小辉的思路求出m的值. 题型②已知二元一次方程组与二元一次方 程同解求字母的值 3.已知关于x,y的二元一次方程组 题型④ 已知二元一次方程组的误解求字 ax+2y=6, 的解与3x十5y=1的其中一 母的值 2x-3y=7 6.已知关于 x,y的方程组 个解相同，则a的值是 a.x+by=4,① 题型③已知二元一次方程组的解满足某一 现甲看错了①中的a,得 a.x-by=-5.② 关系求字母的值 x=1, 4.(2025上饶广丰区月考)已知关于x,y的方 到方程组的解为 乙看错了②中的 y=-2; 3x+2y=m+1, 程组 的解满足3x+3y x=1 b,得到方程组的解为 则a= 2x+3y=4m+4 y=-1. 4,则m的值为 448 七年级数学RJ版(2)由(1)知m=一3，n=0,则原方程可化为一12x十 2y=0.当y=-2时，-12x-4=0,解得x=一3 1 4.A5.C6.C7.A8.B 9.B【解析】把 代人原方程组，得-=8解 y=1 2+1=b. 得/a=一2， b=3, .a-b=-5. 10.解：182-1-7号24 (2)/=-1, y=2 1.解：(1)由题意，得十y=10, 550x+700y=5800. (2)是.理由：将 口=8·代入所列方程组，每个方程的 y=2 等号两边均相等，下=8 是所列方程组的解. y=2 12.C 10.2消元一解二元一次方程组 10.2.1代入消元法 1A2-子+号 3.D4.C 5.解：(1)代入 (2)代入时出现了错误，应将方程③代入方程②而不 是①. (3)由①，得y=2x-5.③ 把③代人②，得3x-2(2x-5)=8,解得x=2. 把x=2代入③，得y=-1, 心原方程组的解是下=2， ly=-1. 6.解：(1)由②，得x=1一2y.③ 把③代入①，得3(1-2y)-2y=11, 解得y=-1. 把y=-1代入③，得x=1-2×(-1)=3, 二原方程组的解为口=3， y=-1. (2)由①，得y=3.x-5.③ 把③代入②，得x十3x-5=3, 解得x=2. 把x=2代入③，得y=3×2-5=1, x=2, .原方程组的解为 y=1. 7.C8.A 9.B【解祈】由题意，得口十b十5=0，① 2a-b+1=0.② 由②，得b=2a+1.③ 把③代入①，得a+2a+1+5=0,解得a=-2. 410 七年级数学RJ版 把a=一2代入③，得b=2X(一2)十1=一3， .(b-a)2025=(-3十2)225=-1. 0-标】图把0优人②得y=g-, 1,解得y=2 把y=号代人0得x=2 点()在第-象限 11.15【解析】设绳索长x尺，竿子长y尺， x=y+5, 根据题意，得 2=y-5, 解得/20， y=15. 故竿子长15尺. 12.解：设共x人合伙买金，金价为y钱. 依题意，得/400x-3400=y, 300x-100=y, 解得/=33， y=9800. 答：共33人合伙买金，金价为9800钱： 10.2.2加减消元法 1.C2.C3.B 4解：1)/y=3,0 x+2y=0.② 由①-②，得-3y=3, 解得y=一1. 把y=-1代入①，得x-(-1)=3, 解得x=2. 故原方程组的解为 x=2, y=-1. 2x+3y=40,① (2) 3.x-2y=-5.② ①×2+3×②，得13x=65, 解得x=5. 把x=5代入①，解得y=10. x=5, 故原方程组的解为 y=10. 5.B【解析】由方程组十y=3a,① 中的①+②，得 x-y=9a② 2x=12a,.x=6a.②-①，得-2y=6a.x-2y= 24,∴.6a十6a=24,解得a=2. 6.-27.48.23 9.解：设每台大型收割机1h收割小麦xhm2,每台小型 收割机1h收割小麦yhm2. x=0.5, 根据题意，得 x+3y=1.4:解得 2x+5y=2.5, y=0.3. 3×0.5+2×0.3=2.1(hm2). 故3台大型收割机和2台小型收割机1h收割小麦 2.1hm2. 10.解：他的解法不正确.正确解法如下： 方程①去分母，得3(x一1)一2y=6, 即3x一2y=9.③ ②二③，得3y=二4，解得y三一， 19 把y=一{代人@，得-专+3=5解得) 19 =9 故原方程组的解为 4 y=-3 重难题型专练含字母参数的二元一次方程组 1.A 2.解：：关于x,y的二元一次方程组 3x-my=5, 的解 2x+ny=6 是1， y=2, .关于a,b的二元一次方程组 3 3(a十b)-m(a-b)=5, a21 12(a十b)十n(a-b)=6满足ab=2.孵得 b=一2 3.4【解析1由题意，得2x一3=7解得=2： 3x+5y=1, y=-1. 将{2，代入a.x十2y=6,得2a+2×(-1)=6,解 得a=4. 1 .3 5.解：(1)5-3 (2)①+②，得4x+6y=5-3m, 即2(2x+3y)=5-3m, 2x+3y=5-3m 2 :2x+3y=1,:5-3m=1. 2 解得m=1. 6.1-3【解析】将x=1,y=-2代入②，得a十2b= -5.③ 将x=1,y=-1代入①，得a-b=4.④ 联立③④，得 a+2b=-5, a-b=4, 解得1， b=-3. 10.3实际问题与二元一次方程组 第1课时用二元一次方程组解决数字， 和、差、倍、分等问题 1.D 2.25【解析】设这个两位数的十位数字为x,个位数字 为y. 依题意，得十y=7, 2(10x+y)-10(x+2)-(y+2)=3, 解得2 y=5. 故这个两位数是25， 3.解：设这个两位数十位上的数字为x,个位上的数字 为y. 10x+y=5(x+y)+2, 根据题意，得 10y+x=10x+y+9, x=6, 解得 y=7. 故这个两位数是67 4.C 5.23.5【解析】设1辆大货车一次可以运货xt,1辆小 货车一次可以运货yt. 3x+4y=22,① 根据题意，得 5x+2y=25.② ①十②，得8x十6y=47.等式两边同时除以2，得4x十 3y=23.5,即4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 23.5t. 变式题B【解析】设1条大船可满载游客x人，1条 小船可满载游客y人， x+2y=32,① 依题意，得2x十y=46.@ ①+②，得3x十3y=78,则x十y=26,即1条大船与1 条小船一次共可以满载游客的人数为26. 6.解：设A种农作物的种植面积为xhm2,B种农作物的 种植面积为yhm. 由题意，得/x+3=24. .x+9y=60, 解得/=3， y=4. 故A种农作物的种植面积为3hm,B种农作物的种 植面积为4hm2. 7.A8.50,40 9.解：(1)设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底. 12×8x=22y'解得 根据题意，得z十y=190, x=110, y=80. 故用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底，可以正好 用完190张铁皮并制成一批完整的盒子. (2)110×8=880(个). 故这批完整的盒子一共有880个 第2课时用二元一次方程组解决 行程、工程等问题 1.A2.B 3.A【解析】设甲、乙两人的速度分别是xkm/h, y km/h. 5x二5=0解得z二14 由题意，得2x十2y=40, y=6. 下册参考答案 11个