10.3 实际问题与二元一次方程组&10.4 三元一次方程组的解法-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（人教版·新教材 江西专版）

10.解：他的解法不正确.正确解法如下： 方程①去分母，得3(x一1)一2y=6, 即3x一2y=9.③ ②二③，得3y=二4，解得y三一， 19 把y=一{代人@，得-专+3=5解得) 19 =9 故原方程组的解为 4 y=-3 重难题型专练含字母参数的二元一次方程组 1.A 2.解：：关于x,y的二元一次方程组 3x-my=5, 的解 2x+ny=6 是1， y=2, .关于a,b的二元一次方程组 3 3(a十b)-m(a-b)=5, a21 12(a十b)十n(a-b)=6满足ab=2.孵得 b=一2 3.4【解析1由题意，得2x一3=7解得=2： 3x+5y=1, y=-1. 将{2，代入a.x十2y=6,得2a+2×(-1)=6,解 得a=4. 1 .3 5.解：(1)5-3 (2)①+②，得4x+6y=5-3m, 即2(2x+3y)=5-3m, 2x+3y=5-3m 2 :2x+3y=1,:5-3m=1. 2 解得m=1. 6.1-3【解析】将x=1,y=-2代入②，得a十2b= -5.③ 将x=1,y=-1代入①，得a-b=4.④ 联立③④，得 a+2b=-5, a-b=4, 解得1， b=-3. 10.3实际问题与二元一次方程组 第1课时用二元一次方程组解决数字， 和、差、倍、分等问题 1.D 2.25【解析】设这个两位数的十位数字为x,个位数字 为y. 依题意，得十y=7, 2(10x+y)-10(x+2)-(y+2)=3, 解得2 y=5. 故这个两位数是25， 3.解：设这个两位数十位上的数字为x,个位上的数字 为y. 10x+y=5(x+y)+2, 根据题意，得 10y+x=10x+y+9, x=6, 解得 y=7. 故这个两位数是67 4.C 5.23.5【解析】设1辆大货车一次可以运货xt,1辆小 货车一次可以运货yt. 3x+4y=22,① 根据题意，得 5x+2y=25.② ①十②，得8x十6y=47.等式两边同时除以2，得4x十 3y=23.5,即4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 23.5t. 变式题B【解析】设1条大船可满载游客x人，1条 小船可满载游客y人， x+2y=32,① 依题意，得2x十y=46.@ ①+②，得3x十3y=78,则x十y=26,即1条大船与1 条小船一次共可以满载游客的人数为26. 6.解：设A种农作物的种植面积为xhm2,B种农作物的 种植面积为yhm. 由题意，得/x+3=24. .x+9y=60, 解得/=3， y=4. 故A种农作物的种植面积为3hm,B种农作物的种 植面积为4hm2. 7.A8.50,40 9.解：(1)设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底. 12×8x=22y'解得 根据题意，得z十y=190, x=110, y=80. 故用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底，可以正好 用完190张铁皮并制成一批完整的盒子. (2)110×8=880(个). 故这批完整的盒子一共有880个 第2课时用二元一次方程组解决 行程、工程等问题 1.A2.B 3.A【解析】设甲、乙两人的速度分别是xkm/h, y km/h. 5x二5=0解得z二14 由题意，得2x十2y=40, y=6. 下册参考答案 11个 故甲、乙两人的速度分别是14km/h,6km/h. 4.解：(1)25km/h,5km/h (2)设A地与该码头相距akm,则风景区与该码头相 距(270-a)km 依题意得50号解得a=162, 故A地与该码头相距162km. 【解析】(1)设该客轮在静水中的速度是xkm/h,水流 速度是ykm/h.依题意得9Cx十)=20， 1(9+4.5)(x-y)=270, x=25, 解得 y=5. 故该客轮在静水中的速度是25km/h,水流速度是 5 km/h. 5.A6.101100 7.40【解析】设李师傅加工1个甲种零件需xmin,1个 乙种零件需ymin 根据题意，得/3.x十5y=55,① 4x+9y=85.② ①+②，得7x+14y=140. 两边同时除以7，得x十2y=20, ∴.2.x+4y=40,即李师傅加工2个甲种零件和4个乙 种零件共需40min 8.解：设甲队的工作效率为x,乙队的工作效率为y. 1 (8x十8y=1, x=121 由题意，得 解得 6x+12y=1, 1 y=24 故甲、乙两队单独完成装修各需12天和24天. 9.解：(1)180 y 812 甲工程队整治河道的天数乙工程队整治河道的天数 (2)选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道xm,乙工程队整治河道ym. x+y=180, 根据题意，科专+立20 /x=120. 解得 y=60. 故甲工程队整治河道120m,乙工程队整治河道60m. (或选择小华同学的解题思路： 设甲工程队整治河道m天，乙工程队整治河道n天. 根据题意，得m十n=20, 。解得 m=15, 8m+12n=180 n=5, .8m=8×15=120,12n=12×5=60. 故甲工程队整治河道120m,乙工程队整治河道60m.) 10.120【解析】设从甲地到乙地的距离为skm,从甲地 到乙地的规定时间为th. s=1+ 2 50 5 s=120, 根据题意，得 解得 s 2 t=2. 7污=1-5： 答：从甲地到乙地的距离为120km. 412 七年级数学RJ版 第3课时用二元一次方程组解决 增长率、销售等问题 1.200018002.2416 3.解：设小明家去年种植菠萝的收入为x元，投资为 y元. 根据题意，得一y=800, (1+35%)x-(1+10%)y=11800, 解得=12000. y=4000. (1+35%)×12000=16200(元). 故小明家今年种植菠萝的收入为16200元. 4.A5.A6.300200 7.155200【解析】设该工艺品每件的进价为x元，标 价为y元. 根据题意，得80.85y一x)=12(y-35-), 解得/155， y=200 故该工艺品每件的进价为155元，标价为200元. 8.解：设甲商品每件的进价为x元，乙商品每件的进价为 y元. (5%x十4%y=46 由题意，得 4%x+5%y=44, 解得/=600， y=400. 故甲商品每件的进价为600元，乙商品每件的进价为 400元. 9.解：(1)设篮球单价为x元，排球单价为y元. 由题意可得1一25：解得 x=90, 2x+6y=570, y=65. 答：篮球单价为90元，排球单价为65元， (2)若按照活动①购买费用： 2×(5×90+5×65)×0.8+4×90+2×65=1730 (元). 若按照活动②购买费用： 14×90+12×65=2040(元)， 2040>1999, .2040-200=1840(元). .1840>1730, .按照活动①购买更划算 *10.4三元一次方程组的解法 1.B2.B3.-10 4.解：设小明从家到学校的上坡路是xkm,平路是ykm,下 坡路是zkm. x+y+x=2.5, x=0.6, 三=0.6，解得y=0.4: 后++音=0.72 之=1.5. 故小明从家到学校的上坡路是0.6km,平路是 0.4km,下坡路是1.5km.10.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 用二元一次方程组解决数字，和、差、倍、分等问题 知识要点扫描 x=1480, 解得{ 1.用二元一次方程组解决实际问题的 y=1050. 般步骤 故甲、乙两个仓库原有快递的数量分别为 (1)仔细审题，弄清题意和题目中的数量 1480件和1050件 关系，用字母表示题目中的两个未知数； 【点拨】设甲、乙两个仓库原有快递的数量 (2)根据题意，找出两个关于未知数的等 分别为x件和y件，然后根据题意列出方程组 量关系； 即可解决问题. (3)依据两个等量关系，列出二元一次方 已基础对点训练 程组； 知识点① 数字问题 (4)解方程组，求出未知数的值； 1.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大 (5)验证未知数的值是否符合题目的实际 1.若这个两位数减去36恰好等于个位数字 意义 与十位数字对调后所得的两位数，则这个两 (6)对问题作答 位数是 2.数字问题 A.86 B.68 C.94 D.73 设一个两位数的个位数字为a,十位数字 2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为7. 为b,则这个两位数为10b十a. 若将个位数字与十位数字都加上2，新得到 3.和、差、倍、分问题中的常见等量关系 的两位数比原数的2倍少3，则这个两位数 (1)总量=输出量+剩余量； 是 (2)总量=倍数X单量， 3.一个两位数比它个位上的数字与十位上的 4.配套问题中的常见等量关系 数字之和的5倍大2.若将它个位上的数字 各加工总量成比例关系. 与十位上的数字互换位置，则新得到的数比 已经典例题剖析 原来的数大9.求这个两位数 【例】某快递公司有甲、乙两个仓库，各存 有快递若干件.甲仓库发走80件后剩余的快 递件数比乙仓库原有快递件数的2倍少700， 乙仓库发走560件后剩余的快递件数比甲仓 库剩余快递件数的5多210.求甲、乙两个仓库 原有快递的数量， 【解】设甲、乙两个仓库原有快递的数量分 别为x件和y件， 知识点②和、差、倍、分问题 x-80=2y-700, 4.(2025赣州兴国期末)兴国县竹编工艺历史 由题意，得 1 悠久，是中华优秀传统文化的一部分.某竹 y-560=5(x-80)+210, 编合作社为支援乡村振兴，计划生产一批竹 下册第十章 篮捐赠给当地学校，要求总产量为100个竹 A,B这两种农作物的种植面积各多少公顷. 篮，总预算为420元.竹篮分为两种型号：大 型竹篮每个5元（用于盛放书籍，尺寸约 40cm×30cm),小型竹篮每个3元（用于盛 放手工艺品，尺寸约15cm×10cm).设大型 竹篮生产x个，小型竹篮生产y个，则可列 方程组为 x+y=100, x+y=420, 知识点③ 配套问题 A. B. 3.x+5y=420 3x+5y=100 7.某木材加工厂有22个工人，1个工人每天可 x+y=100, x+y=420, 加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把 C. D. 5.x+3y=420 5.x+3y=100 椅子配套.现要求工人每天加工的桌子和椅 5.有大、小两种货车，3辆大货车与4辆小货车 子正好配套.若安排x个工人加工桌子，y 一次可以运货22t,5辆大货车与2辆小货 个工人加工椅子，则可列方程组为( 车一次可以运货25t,则4辆大货车与3辆 x+y=22, x+y=22, A. B. 小货车一次可以运货 . 12x-10y=0 6x-10y=0 变式题实际问题不同，但本质都是运用整 x+y=22, x+y=22, C. D. 24x-10y=0 体思想 12x-20y=0 8.某车间有90名工人，每人每天平均能生产 五一劳动节假期期间，小华和家人到公园 15个螺栓或24个螺帽，已知1个螺栓配2 游玩，湖边有大、小两种游船.小华发现1 个螺帽.若要使每天生产的螺栓和螺帽刚好 条大船与2条小船一次共可以满载游客 32人，2条大船与1条小船一次共可以满 配套，则生产螺帽和螺栓的人数分别为 载游客46人，则1条大船与1条小船一次 共可以满载游客的人数为 9.(教材变式)现有190张铁皮，每张铁皮可做 A.30 B.26 C.24 D.22 8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底 配成1个完整的盒子. 6.乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡 (1)用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒 创业.某村有部分返乡青年承包了一些田 底，可以正好用完190张铁皮并制成一批完 地，采用新技术种植A,B两种农作物.种植 整的盒子？ 这两种农作物每公顷所需人数和投入资金 (2)这批完整的盒子一共有多少个？ 如下表： 每公顷所需投入 农作物品种 每公顷所需人数 资金/万元 6 B 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参 与一种农作物种植，投入资金共60万元.问 50 七年级数学RJ版 第2课时 用二元一次方程组解决行程、工程等问题 知识要点扫描 为xkm/h,水的流速为ykm/h.根据题意， 1.行程问题 列方程组正确的是 等量关系：路程=速度×时间。 x+y=20, A. B+x=20. 分类：①相遇问题；②追及问题；③航行 x-y=16 y-x=16 问题. x+y=16, y+x=16, C. D. 2.工程问题 x-y=20 y-x=20 等量关系：工作总量=工作时间×工作 2.小刚去距县城28km远的旅游景点游玩，先 效率 乘汽车，后步行，全程共用了1h.已知汽车 已经典例题剖析 的速度为36km/h,步行的速度为4km/h, 则小刚乘车的路程和步行的路程分别为 【例】将一项200km长的引水工程交给 甲、乙两个施工队，计划工期为50天.甲、乙两 A.26 km,2 km B.27 km,1 km 队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离 C.25 km,3 km D.24 km,4 km 开10天，于是甲队加快速度，每天多修 3.甲、乙两人分别从相距40km的两地同时出 0.6km;10天后乙队回来，为了保证工期，甲队 发.若同向而行，则5h后甲追上乙；若相向 保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修 而行，则2h后两人相遇.甲、乙两人的速度 0.4km,最终如期完工.甲、乙两队原计划每天 (单位：km/h)分别是 () 各修多少千米？ A.14 km/h,6 km/h B.24 km/h,16 km/h 【解】设甲队原计划每天修xkm,乙队原 C.28 km/h,12 km/h D.30 km/h,10 km/h 计划每天修ykm. 4.今年五一劳动节假期期间，长江三峡沿途旅 由题意，得 游再一次风靡全国，其中某风景区更是人山 200 x+y=50' 人海.某豪华旅游客轮在相距约270km的 30(x+y)+20(x+0.6)+10(y+0.4)=200, A地、风景区之间匀速航行，从A地到风景 区顺流航行需9h,从风景区到A地逆流航 x=2.4, 解得 y=1.6. 行比顺流航行多用4.5h 故甲队原计划每天修2.4km,乙队原计划 (1)该客轮在静水中的速度和水流速度分别 每天修1.6km. 为 【点拨】本题是一道工程问题，等量关系有 (2)若在A地、风景区之间需建新码头便于 两个：①两施工队原来的效率和=总工作量÷ 游客休息观光，使该客轮从A地到该码头和 总时间；②两施工队的总工作量为200km. 从风景区到该码头所用的航行时间相同，则 A地与该码头相距多少千米？ 基础对点训练 知识点①行程问题 1.一艘轮船顺流航行，每小时行20km;逆流航 行，每小时行16km.设轮船在静水中的速度 下册第十章 知识点②工程问题 9.有一段长为180m的河道整治任务由甲、乙 5.某公司有新员工和老员工若干名.已知1名 两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整 新员工每天制造的零件个数比1名老员工 治8m,乙工程队每天整治12m,共用20天 少30,1名新员工与2名老员工每天共可制 甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 造180个零件，则1名新员工与1名老员工 (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 每天各能制造多少个零件？设1名新员工 小明同学：设甲工程队整治河道xm,乙工程 每天能制造x个零件，1名老员工每天能制 队整治河道ym. 造y个零件.根据题意可列方程组为( x十y 根据题意，得 y一x=30, x-y=30, =20. A. B. x+2y=180 x-2y=180 小华同学：设m表示 C.p-x=30. x-y=30, D. ,n表示 2x+y=180 2.x+y=180 m+n=20, 6.某玩具厂必须在规定时间内加工完一批玩 根据题意，得 8m+12n=180. 具.若每天只加工100个玩具，在规定时间 请你补全小明、小华两位同学的解题思路。 内还差100个玩具才能完成任务；若每天加 (2)请从(1)中任选一个解题思路写出完整 工120个玩具，在规定时间内可比任务要求 的解答过程. 多加工100个玩具.该玩具厂加工这批玩具 的规定时间为 天，加工任务为 个玩具 7.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的 时间是固定的.现知道李师傅加工3个甲种 零件和5个乙种零件共需55min,加工4个 甲种零件和9个乙种零件共需85min,则李 师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 min. 8.一家商店进行装修.若请甲、乙两个装修队 同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单 独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成 易错点等量关系中的单位不一致就列式 装修.甲、乙两队单独完成装修各需多少天？ 而出错 10.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙 地，如果他以50km/h的速度行驶，就 会迟到24min;如果他以75km/h的 速度行驶，则可提前24min到达乙地， 甲、乙两地间的距离为 km. 52 七年级数学RJ版 第3课时用二元一次方程组解决增长率、销售等问题 知识要点扫描 列方程组，解方程组即可；(2)根据等量关系 1.直接设未知数解决实际问题 “篮球的个数=每个排球的利润X6÷每个篮 题目要求的未知量是什么，就把它设为方 球的利润”即可求解。 程的未知数，并且求几个设几个. 基础对点训练 2.间接设未知数解决实际问题 知识点① 增长率问题 当直接设未知数列方程较复杂时，则可设 1.某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200 与要求的量有直接关系的量为未知数，列出方 万元，今年总产值比去年增加了20%，总支 程求解 出比去年减少了10%.今年的利润为780万 3.增长率问题 元，则去年的总产值为 万元， 增长量=原来的量×增长率. 总支出为 万元 现在的量=原来的量×(1十增长率). 2.甲、乙两厂计划五月份共生产零件360个， 4.利率问题 结果甲厂完成了计划的112%，乙厂完成了 本息和=本金十利息. 计划的110%，两厂共生产零件400个，则五 利息=本金×利率×期数. 月份甲、乙两厂超额生产的零件分别为 5.销售总额、利润问题 个和 个 销售总额=总成本十总利润. 3.在当地农业技术部门的指导下，小明家增加 利润=成本×利润率 了种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收， 已经典例题剖析 下图是小明、爸爸和妈妈的一段对话， 【例】某体育文化用品商店购进篮球和排 爸爸妈妈，我们家 今年种植菠萝的 球共20个，全部销售完后共获得利润260元. 阿菊，我算了一 收入为多少钱呢？ 老李 没关 下，今年我们家种 进价和售价如下表： 你看我们家去 植菠萝的收入比 年只净赚8000 去年增加了35% 元，今年却净赚 不过投资也增加 篮球 排球 了11800元 ,增 小明 了10%. 加投资值得！ 进价/（元/个）】 80 50 阿菊（妈妈） 老李（爸爸） 售价/（元/个）】 95 60 请你用所学知识帮助小明算出他们家今年 种植菠萝的收入（收入一投资=净赚）. (1)该商店购进篮球 个，购进排 球 个 (2)销售6个排球的利润与销售几个篮球 的利润相同？ 【解】(1)128 (2)6×(60-50)÷(95-80)=4(个). 故销售6个排球的利润与销售4个篮球的 利润相同. 【点拨】(1)根据等量关系“篮球和排球共 20个”和“全部销售完后共获得利润260元”可 下册第十章 53△ 知识点②利率问题 甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为 4.某工厂向银行申请了甲、乙两种贷款共计35 5%,价格调整后这两种商品各售出1件共 万元，每年需付利息2.25万元，其中甲种贷 可获利44元.求两种商品每件的进价. 款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率 是6%.若设甲、乙两种贷款的金额分别为x 万元和y万元，则 A.x=15,y=20 B.x=20,y=15 C.x=12,y=23 D.x=23,y=12 知识点③销售总额、利润问题 5.春节期间商场优惠促销，将甲、乙两种服装 9.(2025阜阳月考)某中学七年级(1)班去体育 分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买 用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进 甲、乙两种服装各1件，共付182元，两种服 行体育锻炼时使用.共买了2个篮球和6个 装的标价之和为210元，则甲、乙两种服装 排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜 的标价分别为 ) 25元. A.70元、140元 (1)求篮球和排球的单价. B.50元、100元 (2)商店里搞活动，有两种活动，①5个篮球 C.56元、126元 和5个排球为一套餐，套餐打八折；②满999 D.140元、70元 减100，满1999减200，两种活动不重复参 6.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板 与.学校打算购买14个篮球，12个排球，如 决定将甲服装按50%的利润率定价，乙服装 何购买更划算？ 按40%的利润率定价.在实际出售时，为吸 引顾客，两件服装均按九折出售，这样商店 共获得157元的利润.在这个情境中，甲、乙 两件服装的成本分别是 元和 元 7.某商场在按标价销售某种工艺品时，每件可 获利45元.若按标价的八五折销售该工艺 品8件与将标价降低35元销售该工艺品12 件所获得的利润相等，则该工艺品每件的进 价为 元，标价为 元 8.有甲、乙两种商品，甲商品的利润率为5%， 乙商品的利润率为4%，这两种商品各售出1 件共可获利46元.现对价格进行调整后，使 54 七年级数学RJ版 *10.4」 三元一次方程组的解法 知识要点扫描 巴基础对点训练 1.三元一次方程组 知识点① 三元一次方程组及其解法 定义 2x-y+3z=1, 含有三个未知数，且含有未知数的式子都 1.解方程组3x十y一7x=2,如果要使运算简 三元一次是整式，含未知数的项的次数都是1，一共 5x-y+3x=3, 方程组 有三个方程，像这样的方程组叫作三元一 便，那么消元时最好 次方程组 A.先消去x B.先消去y 2.三元一次方程组的解法 C.先消去之 D.先消去常数项 x+y=2, 基本思路 具体步骤 2.已知方程组y+之=一1，则x+y十之的值 (1)消元：把三元一次方程组 通过“代入”或 化为二元一次方程组； x十x=3, “加减”进行消 (2)求解：解二元一次方程组； 是 ( 元，把“三元” (3)回代：将求得的未知数的 三元 A.1 B.2 C.3 D.4 化为“二元”， 值代入原方程组的一个适当 次 3.新定义题若对于实数x和y,定义一种运算 使解三元一次 的方程中，得到一个一元一次 方程 方程组转化为 方程； “△”：x△y=ax十by+c,其中a,b,c为常 组的 解二元一次方 (4)求解：解一元一次方程，求 解法 数.例如：3△2=3a+2b+c.已知1△1=0,4 程组，进而再 出第三个未知数的值； △2=3,9△(-3)=28，则5△7的值为 转化为解一元 (5)写解：用“(”将所求的三个 一次方程 未知数的值联立起来，即为原 方程组的解 知识点② 三元一次方程组的简单应用 经典例题剖析 4.(教材变式)小明从家到学校的路程是 3x-y+2之=3，① 2.5km,其中有一段上坡路、一段平路和一 【例】解方程组：2x+y一3x=11,② 段下坡路.如果保持上坡路每小时行3km, x+y+之=12.③ 平路每小时行4km,下坡路每小时行5km, 【解】①十②，得5x-之=14.④ 那么小明从家到学校要用0.6h,从学校到 ①+③，得4x+3z=15.⑤ 家要用0.72h.小明从家到学校的上坡路、 把④与⑤组成二元一次方程组 平路、下坡路分别是多少千米？ 51一=14，解得 =3,, ，把 =3, 代入③，得 4x+3x=15,z=1.之=1 3+y+1=12,解得y=8. x=3, 因此，原方程组的解是{y=8, 2=1. 【点拨】解三元一次方程组时，要根据三个 方程中各未知数的系数的特点灵活消元 下册第十章 55△