10.1 二元一次方程组的概念-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（人教版·新教材 江西专版）

第十章 二元 10.1二元一 已知识要点扫描 二元一次方程（组】 知识点 概念 示例 含有两个未知数，且 含有未知数的式子 如：2x十y一5=0， 二元一次都是整式，含有未知 x+5 x y 方程 数的项的次数都是 =y5-2 1的方程，叫作二元 3都是二元一次方程 一次方程 若方程组中有两个 未知数，且含有未知 1x-2y=1, 数的式子都是整式， 如： 3.x+5y=12, 二元一次含有未知数的项的 2x+y=1, 方程组 次数都是1，一共有 都是二 x-3y=5 两个方程，像这样的 元一次方程组 方程组叫作二元 次方程组 使二元一次方程两 x=1,x=3, 如： 都 二元一次边的值相等的两个 y=2,y=0 方程的解未知数的值，叫作二 是二元一次方程x 元一次方程的解 十y=3的解 x=1, 如： 是方程x y=2 一2y=一3的解，也 二元一次方程组的 二元一 是方程3x十y=5 两个方程的公共解， 次方程 的解， 叫作二元一次方程 组的解 x=1, 组的解 因此 是方程组 (y=2 x-2y=-3, 的解 3x+y=5 已经典例题剖析 【例1】下列方程组中，是二元一次方程组 的是 42 七年级数学RJ版 次方程组 次方程组的概念 x+3y=1, x+3y=2, A B. 2x一x=3 义一) + 2x+3y=10, x+y=5, D. 1 xy+y=6 5y=6 x 【答案】B 【点拨】一个方程组要是二元一次方程组， 必须满足：①两个方程中一共含有两个未知 数；②含有未知数的项的次数是1. 【例2】若方程(a2-9)x2十（a-3)x+(2a 一1)y+4=0是关于x,y的二元一次方程，则 a的值为 【解】-3 【点拨】根据题意，得a2一9=0，a一3≠0， 2a一1≠0，然后求解即可. 已基础对点训练 知识点① 二元一次方程 1.下列各方程中，是二元一次方程的是( A.5x-8=0 B.3x+4y=7 C.x2-2x+1=0 D.x-2xy=6 2.若关于x,y的方程2x十3y+(m-1)ym-3 =一1是二元一次方程，则m的值为 3.已知关于x,y的方程(2m-6)x"+1+(n+ 2)ym-2=0是二元一次方程. (1)求m,n的值. (2)若y=一2，求x的值. 知识点②二元一次方程的解 4.(2025上饶广丰区月考)下列是二元一次方 程7x一y=20的解的是 () x=2, x=一2， A. B. y=-6 y=6 C6, x=-6, D. y=-2 y=2 x=1, 5.若 1=-2 是关于x和y的二元一次方程 mx十ny=3的解，则2m一4n= () A.3 B.-1C.6D.-2 6.古代数学文化(2025泸州)《九章算术》是中 国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中 记载了求不定方程（组）解的问题.例如方程 x=1 x十2y=3恰有1个正整数解 类似 y=1. 地，方程2x+3y=21的正整数解的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 知识点③二元一次方程组 7.下列方程组是二元一次方程组的是() 1 4x-y=-1, -1=y, A.3 B.x y=2x+3 3x+y=0 x-y=1, x2-x-2=0, C. D. xy=2 y=x+1 知识点④ 二元一次方程组的解 x=1, 8.解为 的方程组是 y=2 x-y=1, x-y=-1, A. B. 3.x+y=5 3.x+y=5 x一y=-3, C. D. x一y=3, 3x+y=5 3x-y=1 3x-ay=8, 9.若关于x,y的方程组 的解是 x+y=b x=2, 则a一b的值是 () y=1, A.1 B.-5 C.5 D.-1 3x+y=-1, 10.(教材变式)已知方程组 2x-3y=-8. (1)填表，使上下每对x,y的值是对应方程 的解. 3x+y=-1 2.x-3y=-8 0 2 0 2 (2)由(1)中数据可得该方程组的解为 11.世界杯足球赛期间，小李在网上预订了小 组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总 价为5800元，其中小组赛球票每张550 元，淘汰赛球票每张700元.设小李预订的 小组赛和淘汰赛球票分别为x张、y张. (1)请列出相应的方程组. )=2是所列方程组的解吗？请说明 x=8, (2){ 理由. 易错点忽视“未知数的系数不为零”这 条件 12.若2.x12m-1-(m-2)y=8是关于x,y 的二元一次方程，则m的值是( A.1 B.2 C.3 D.2或3 下册第十章 43(2)(x-4,y-2) 1 1 (3)三角形ABC的面积=2×3-2×1×3-2×1×1 2x2x2=6-15-a5-2=2 难点探究专题平面直角坐标系中点的变化规律 1.D【解析】点A,的坐标为(1,2)，点A1的“友好点” 为A2, .点A2的坐标为(2一1，一1一1)，即(1，一2). ,点A2的“友好点”为Aa, 点A3的坐标为(-2-1，一1-1)，即(-3，一2). :点A,的“友好点”为A, ∴.点A1的坐标为（一2一1,3一1），即（一3,2） 点A,的“友好点”为A。, .点A的坐标为(2一1,3-1)，即(1,2)， … 故四个点为一个循环. ,2026=506×4+2, 点A226的坐标为(1，一2)， 点A226的“友好点”是（一3，一2）. 2.D【解析】以时间为点P的下标，观察发现P。(0,0) P(1,1),P2(2,0),P(3,-1),P(4,0),Ps(5,1),…, .Pn(4n,0),P4m+1(4n+1,1),P4m+2(4n+2,0), P4m+3(4n+3,-1). 2026=506×4+2,∴.第2026s时，点P的坐标为 (2026,0). 3.B【解析】由P,P:,P。可知，当下标为3的整数倍 时，横坐标为行，纵坐标为0 2025=3×675, ∴.点P,25的坐标为(675,0) 4.A【解析】观察发现，每6个点形成一个循环，且A。 的横坐标为n..2025÷6=337…3,∴.点A2025位于 第338个循环组的第3个，∴.点A22s的横坐标为 2025,纵坐标为0，即点A225的坐标为(2025,0). 5.C【解析】由所给图形可知， 从下往上看，第一行有1个点， 第二行有3个点， 第三行有5个点， …… 第n行有(2n-1)个点， .前n行点的总个数为1十3十5+…十2n一1=n2(n 为正整数). 当n=45时， n2=2025,2×45-1=89, .前45行一共有2025个点，且第45行有89个点. 又：第n行的纵坐标为n,且为奇数时，点是从右向 左依次排列的， ∴.(89-1)÷2=44， 则第2025个点的坐标为（一44,45）. 6.(2025,1)【解析】观察图形可知，运动后点的横坐标 等于运动的时间，纵坐标按照一2,1，一1,2依次循环. 2025÷4=506……1, ∴.第2025s时，该点所在位置的坐标是(2025,1). 章未对点导练 1.B2.43变式题A3.(3,-1) 4.解：(1)3 (2)点P位于第四象限， ∴.m十2>0，m-3<0. :点P到x轴的距离为2， .m-3=一2，解得m=1, .P(3,-2). 5.A6.C7.D 8.(-2,-1)【解析】，点A(a,3)先向右平移3个单位 长度，再向下平移5个单位长度得到点B, ∴.B(a+3,3-5),即B(a+3,-2). B(2,b), .a十3=2，b=-2, 解得a=一1， .C(-2,-1) 9.B【解析】由图易得长方形BCDE的周长为12.，甲、 乙的速度分别为每秒1个单位长度和2个单位长度， 且同时从点A(2,0)出发，.两个物体每次相遇时间间 12 隔为十2=4(s),心相遇点依次为（一1,1)，（一1， -1),(2,0).2025=3×675,.第2025次相遇地点 的坐标是(2,0). 10.A【解析】设P(x,y). :P,(0,2)关于A的对称点为P2,A(1,一1)， B(-1,-1),C(0,1), 1-”-1= 2， x=2,y=-4, P(2,-4). 同理可得P(-4,2),P(4,0),P(一2，-2)，P。(0,0), P2(0,2),…, 每6个点坐标循环一次。 ,2025÷6=337…3, ∴.点P25的坐标是(-4,2). 11.解：(1)(11,2)(3-1,2) (2).2025÷3=675, .需要小正方形675个，大正方形675个. 12.C13.B14.A15.(4,2)16.四17.(1,2) 第十章二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 1.B2.1或2 3.解：(1)由题意，得n十1=1，m|-2=1,2m一6≠0，n 十2≠0，.m=一3，n=0. 下册参老答案 9个 (2)由(1)知m=一3，n=0,则原方程可化为一12x十 2y=0.当y=-2时，-12x-4=0,解得x=-3 1 4.A5.C6.C7.A8.B 9.B【解析】把 代人原方程组，得6-a二8·解 y=1 2+1=b. 得/a-2, b=3, ∴.a-b=-5. 10,解.1)82=1-73234 (2)/=-1, y=2 1.解：1)由题意，得+y=10, 550x+700y=5800. (2)是.理由：将 口=8，代人所列方程组，每个方程的 y=2 等号两边均相等，.忙=8， 是所列方程组的解. y=2 12.C 10.2消元一解二元一次方程组 10.2.1代入消元法 1A2-?含+ 7 3.D4.C 5.解：(1)代入 (2)代入时出现了错误，应将方程③代入方程②而不 是①. (3)由①，得y=2x-5.③ 把③代入②，得3x一2(2x一5)=8，解得x=2. 把x=2代入③，得y=一1， ·原方程组的解是=2， y=-1. 6.解：(1)由②，得x=1一2y.③ 把③代人①，得3(1-2y)-2y=11, 解得y=一1. 把y=-1代入③，得x=1-2×(-1)=3, ·原方程组的解为下=3， y=-1. (2)由①，得y=3x-5.③ 把③代人②，得x+3x-5=3, 解得x=2. 把x=2代入③，得y=3×2-5=1, x=2, .原方程组的解为 y=1. 7.C8.A 9.B【解析】由题意，得亿十6十5=0，① 2a-b+1=0.② 由②，得b=2a+1.③ 把③代入①，得a+2a+1+5=0,解得a=-2. △10 七年级数学RJ版 把a=-2代入③，得b=2×(-2)+1=-3, .(b-a)2025=(-3十2)225=-1. 0【标打四D人@，得g-, 1,解得y=2 把y=代人①得x=2 “点(2，)在第一象限 11.15【解析】设绳索长x尺，竿子长y尺. x=y+5, 根据题意，得x」 2=y- 5.解得/20， y=15. 故竿子长15尺. 12.解：设共x人合伙买金，金价为y钱. 依题意，得/400x-3400=y, 300x-100=y, 解得33， y=9800. 答：共33人合伙买金，金价为9800钱， 10.2.2加减消元法 1.C2.C3.B 4解：1)y=3,① 1.x+2y=0.② 由①-②，得-3y=3, 解得y=一1. 把y=-1代入①，得x-(-1)=3, 解得x=2. x=2, 故原方程组的解为 y=-1. 2x+3y=40,① (2) 3.x-2y=-5.② ①×2+3×②，得13.x=65, 解得x=5. 把x=5代入①，解得y=10. x=5, 故原方程组的解为 y=10. 5.B【解析】由方程组十y=3a, 中的①十②，得 x-y=9a② 2x=12a,∴x=6a.②-①，得-2y=6a.x-2y= 24,,∴.6a+6a=24,解得a=2. 6.-27.48.23 9.解：设每台大型收割机1h收割小麦xhm,每台小型 收割机1h收割小麦yhm2. 根据题意，得+3=1,4：解得 x=0.5, 2x+5y=2.5, y=0.3. 3×0.5+2×0.3=2.1(hm). 故3台大型收割机和2台小型收割机1h收割小麦 2.1hm2.