8.3 实数及其简单运算-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（人教版·新教材 江西专版）

8.3实数及其简单运算 第1课时 实数的概念 已知识要点扫描 4.实数与数轴的关系 1.无理数 摘要 释义 概念 常见形式 示例 ①每一个实数都可以用 实数与 实数与数轴上 数轴上的一个点来表 开方开不尽的数 √2,4 数轴的 的点是一一对 示；②数轴上的每一个 11 关系 应的 无限不循 关于π的一类数 点都表示一个实数 2T,3π 无 环小数叫 0.2121121112… 以无限不循环小 基础对点训练 数 作无理数 (相邻两个2之间 数形式出现的特 知识点① 无理数 1 的个数依次增 定结构的数 加1) 1.(2025合肥期末)下列各数中，是无理数的是 ( 2.实数的概念及分类 A.5 B.0 实数的 C.-1.1 D. 有理数和无理数统称实数 概念 变式题无理数→正、负无理数 正有理数)有限小数 下列各数中，是负无理数的是 有理数0 或无限循 22 按概 A.-3.14 B. C.5 D.-√2 实数 负有理数环小数 念分 实数的 正无理数 无限不循 无理数 知识点② 实数的概念及分类 分类 负无理数环小数 正实数 按正 2实数身足 实数0 负分 A.分数 B.无理数 负实数 C.有理数 D.整数 3.与实数有关的概念和性质 知识点③ 实数与数轴 性质 举例 3.(2025扬州)如图，数轴上点A表示的数可 若a与b互为相反数，则 相反数 能是 () √3的相反数是一√5 a+b=0 若a与b互为倒数，则ab 倒数 =1 2的倒数是 1 第3题图 A.√2 B.3 C.√7 D.10 a(a>0) 任何实数的绝对值都是 知识点④ 实数的性质 a 0(a=0) 非负数，即|a≥0 a(a0) 4.√5一π的相反数是 绝对值 互为相反数的两个数的 知识点⑤ 实数的大小比较 绝对值相等，即|a|= √2|=|√21-2 5.(2025福建)下列实数中，最小的数是( -a A.-1 B.0 C.2 D.2 下册第八章 25 第2课时 实数的有关运算 知识要点扫描 数等于 实数的运算 A./1I B.-/11 运算律 运算顺序 C.1 D.-1 加法交换律：a十b=b 实数的混合运算 3.下列各式是有理数的是 十a 顺序是先算乘方、 A.√2×5 B.(2)3 加法结合律：(a+b)+ 开方，再算乘除， C.(2+1)-(√2-1)D.(3)2 实数的c=a十(b+c) 最后算加减，同级 运算 乘法结合律：(ab)·c 运算按照从左到 4.计算√(-4)2+3一4|一√的结果是() =a·(bc) 右的顺序进行，有 A.-2 B.2 C.3 D.4 乘法分配律：a(b十c) 括号的，先算括号 5.计算：√25-一64 =ab+ac 里面的 6.计算：√25--27-|-91= 拓展 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及 延伸 运算性质等同样适用 7.计算： (1)（20251 赣州南康区期中)√4一8+ 经典例题剖析 -21. 【例】(2025遵义红花岗区期中)计算： (1)-27+√49-√2+|1-√2|. (2)3(3- +- 64 (2)(2025赣州余江区期中)27十|√2-3 【解】(1)原式=一3+7-√2+√2-1 -√/49. =3. (2)原式=(3)-×1+ √3V64 =8-1+}2 1 (3)-23+27+√(-2)2-3-π. 【点拨】(1)根据立方根、算术平方根的定 义，绝对值的性质分别化简，再合并即可； (2)根据算术平方根的性质，立方根的定义计 算即可 名基础对点训练 知识点② 实数运算的应用 知识点①实数的运算 8.在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心， 1.下列等式成立的是 2+√5为半径画弧，交数轴于点C,则点C表 A.√9-√4=5 B.11-31=√3-1 示的实数是 C.27=±3 D.-√(-9)2=9 A.5+5 B.1-√5 2.一1I的绝对值的3倍与4√11的差的相反 C.√5-11或5+√5D.1-5或5+5 426 七年级数学RJ版 9.如图所示的是一个数值转换机的 16.（2025赣州信丰期中)如下图，数轴上有A, 示意图.当输入的值x=√3时，输 B,C三点，表示1和2的对应点分别为A, 出的结果为 B,点B到点A的距离与点C到原点O的 -1 A.3 B.5 距离相等.设A,B,C三点表示的三个数之 输出 C.-5 D.-2 第9题图 和为p. 10.如果m,n互为相反数，那么|m一√/5+n C O A B ?0 1V2 的值为 (1)求AB的长. 11.新定义题若规定一种运算为a★b=√2(b (2)求p. a),如3★5=√2×(5-3)=22，则√2★ (3)点D在点O的左侧，且DO=10.若以 8的值为 点D为原点，直接写出点C表示的数. 12.用“※”定义新运算：对于任意实数a,b,都 有a※b=2a2+b.例如，3※4=2×32+4= 22,那么(-5)※2的值为 13.点A在数轴上和原点相距3个单位长度，点 B在数轴上和原点相距5个单位长度，则A, B两点之间的距离是 变式题已知实数求距离→已知距离求 实数 点A,B在数轴上相距√3个单位长度，且 线段AB的中点在数轴上表示的数是2， 17.【阅读理解】，√4<√5<，即2<√5<3， 则点A表示的数是 .1<√5-1<2，∴√5-1的整数部分是1， 小数部分是√5一2. 14.已知a的倒数是 后6的相反数的绝对 【解决问题】已知a是√I7一3的整数部分， b是√17一3的小数部分，求： 值是0，c是-1的立方根，则a2+b2+c (1)a,b的值 的平方根是 (2)(一a)3+(b+4)2的平方根. 15.实数a,b在数轴上对应点的位置如下图所 示.化简：2-a|+|-2-b|+b-a. 2与101234 下册第八章 27△12距=-5 .x=N8 2 (2)由(x十3)3+27=0，得(x+3)3=一27， x+3=-27=-3, x=-6. 11.C 12.1【解析】T<3<8,即1<3<2， .4<3+5<5, ∴3+3的整数部分是4，小数部分是3+3一4=3 1,即m=3-1. .-8<-3<-,即-2<-3<-1， .1<3-3<2, .3-3的整数部分是1，小数部分是3一3-1=2 3,即n=2-3, .m+n=3-1+2-93=1, .m+n==1. 13.A14.A15.3或-9 16.6【解析】立方根等于本身的数的个数为3，即a=3; 平方根等于本身的数的个数为1，即b=1:算术平方 根等于本身的数的个数为2，即c=2.把这些值代入， 得a+b+c=3+1+2=6. 17解，1)原式-0,5子+号 =-1 151 (2)原式=2-44 18.解：(1)由题意，得a十8十2a十7=0， 解得a=-5. (2)a=-5, ,.正数x的两个平方根分别为3和一3， .x=32=9, ∴.36-x=36-9=27. ./27=3 .36一x的立方根为3. 重难题型专练平方根中非负数应用的常见题型 1.C【解析】由题意知，a-2026≥0，∴.a≥2026， ∴.|2025-a|=a-2025, ∴.原式=a-2025+√a-2026=a, .∴.√/a-2026=2025,∴.a-2026=20252, .a-20252=2026. 2.解：1一有意义.x>1, /x-1 .原式=(x-1)+(x+2)=2x+1. 3.解：由题意，得x-3≥0且3-x≥0， x=3,∴y=8, .x+3y的立方根为x十3y=/27=3. 4.解：-a2≥0，∴a=0, 原式=√2-√2十√6=0. 5.B6.5 7.4【解析】：√5-x+√3.x-y=0, .5-x=0,3x-y=0, 解得x=5,y=15, ∴.√x+y=√5+15=20. √16<√20<√25， ∴.4<√/20<5， ∴.√x十y的整数部分是4. 8.解：由题意，得x一1=0，y十3=0，x十y十x=0, 解得x=1,y=一3，之=2， .∴.4x-2y+3x=4×1-2×(-3)+3×2=4+6+6 =16, .4.x一2y十3z的平方根是士4. 9.解：(1)由题意，得a一3=0，b一4=0，解得a=3,b=4. (2)由(1)可知，a=3,b=4, .a2+b2=32+42=25, .a2+b2的算术平方根为5. 10.解：根据题意，得a一6≥0， .a≥6. 由a+√a-6=6,得√a-6=6-a. 根据算术平方根的非负性，得6一a≥0， ∴.a≤6，∴.a=6, ∴.-/9a+10=-/9×6+10=-64=-8. ,-8=-2, ∴.-√9a十10的立方根是-2. 11.解：√1+a-(b一1)1-b=0, .√1+a+(1-b)√1-b=0. √1+a≥0,1-b≥0，∴.1+a=0,1-b=0, 解得a=-1,b=1, .a2026-b2025=(-1)2026-1225=1-1=0. 8.3实数及其简单运算 第1课时实数的概念 1.A变式题D2.B3.C4.π-√55.A 第2课时实数的有关运算 1.B2.A3.C4.B5.96.-1 7.解：(1)原式=2-2十√2=√2. (2)原式=3+3-√2-7=-1-√2. (3)原式=一8+3十2一（π-3） =-8+3+2-π十3 =一元 8.D【解析】由题意，得3+2+5=5+√5,3-(2+√5) =1-√5，则点C表示的实数是5+√5或1一5. 下册参考答案 5 9.B【解析】由题意可知，输出的结果为（√3）×2一1 =5. 10.5 11.2√2-2【解析】由题意，得√2★8=√2×(8-√2) =√2X(2-2)=2√2-2. 12.52【解析】由题意，得（一5）※2=2×(-5)2+2=50 +2=52. 13.3+J5或3一√5【解析】设点A表示的数为a,点B 表示的数为b.由题意，得a=士3，b=士√5. 可分以下四种情况讨论： ①当a=3,b=√5时，AB=3-√5； ②当a=3,b=-√5时，AB=3-(-√5)=3+√5； ③当a=-3,b=√5时，AB=√5-(-3)=3+√5； ④当a=-3,b=-5时，AB=-√5-(-3)=3 -5. 综上所述，A,B两点之间的距离是3十√5或3一√5. 支式题2一停或2+ 【解析】设点A表示的数 是x. ①当点B在点A的右侧时，点B表示的数是x十√3. 由题意，得十十5=2，解得x=2- 2 2； ②当点B在点A的左侧时，点B表示的数是x一√3. 由题意，得十一5=2，解得x=2+5 2 2 2或2+3 综上所述，点A表示的数是2- 2 14士2【解折】a的倒数是一后万的相反数的绝对 值是0，c是一1的立方根， .a=-√3，b=0,c=-1, .a2+b2+c2=(-√3)2+02+(-1)2=4， ,∴.a2十b2十c2的平方根是士2. 15.解：由数轴，得一2<b<一1,2<a<3, .2-a<0,-2-b<0,b-a<0, .|2-a+|-2-bl+|b-a| =a-2+2+b+a-b =2a. 16.解：(1)，表示1和√2的对应点分别为A,B, .AB=√2-1. (2),点B到点A的距离与点C到原点O的距离 相等， .OC=AB=√2-1. ,点C在原点的左侧， ∴.点C所表示的数为0-(W2-1)=1-√2， ∴.p=1-√2+1+√2=2. (3)点C表示的数为11一√2 46 七年级数学RJ版 【解析】(3)点D在点O的左侧，且DO=10, .点D表示的数为一10， 以点D为原点，点C表示的数为1一√2-(-10) =1-√2+10=11-√2. 17.解：(1)√6<√17<√25， 即4<√17<5， ∴.1<17-3<2， ∴.a=1,b=√/17-4. (2)由(1)可知，a=1,b=√17-4， .(-a)3+(b十4)2=(-1)3+（√17-4+4）=-1 +17=16, ∴.（一a)3+(b+4)2的平方根是士16=士4. 解题方法专题实数大小比较的常用方法 1.A2.B 3.解：如图所示。 4$0方4方 由数轴，得-2<-<8<5。 4.C 5.解：(1)（√T)2=11,3.22=10.24,而11>10.24， .T>3.2,∴.-I<-3.2. (2)23=8,33=27,(20)3=20, 而8<20<27，∴.2</20<3. 6.解：(1)(3√2-1)-(1+2√2)=3√2-1-1-22 =√2-2. 1<√2<2， ∴√2-2<0，即(3√2-1)-(1+2√2)<0， .3√2-1<1+2√2. (2)19-2-2=19-2-29-4 33 3 3 :42=16<19,.√19-4>0， :-40,即-2-名 3 3 3>0, :19-22 3>3 7.B【解析】：8</26<27，√<√T<6,∴2 </26<3,3<√T<4,∴./26<√/Π，即a<b. 8.B【解析】-8>-9>-27,1<5<8,16>15>9， .-8>-9>-27,-ī>-5>--8， -√16<-√15<-√9，.-2>-9>-3，-1> -5>-2,-4<-√15<-3，∴.b<a<c. 9.解：(1).35<36， √35<6.