8.2 立方根&重难题型专练 平方根中非负数应用的常见题型-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（人教版·新教材 江西专版）

8.2 已知识要点扫描 1.立方根与开立方 名称 概念 表示方法 示例 般地，如果 一个数a的 一个数x的 立方根记为 如（一5）3= 立方等于a, “a”,读作 立 -125,则一5 方 即x3=a,那 “三次根号 根 叫作-125 么这个数x a”,其中a是 的立方根 叫作a的立方 被开方数，3 根或三次方根 是根指数 求一个数的立 a开立方用符 ,43=64, 方根的运算 号“a”表示 964=4 叫作开立方 2.立方根的性质 性质 摘要 ①正数的立方根是正数；②负数的立方根 性质1 是负数：③0的立方根是0 -a-- ā，即一个数的立方根等于它 性质2 的相反数的立方根的相反数 3.立方根与平方根的区别 名称 不同点 平方根 立方根 一个正数有一个 一个正数有两个 正的立方根，一 平方根，负数没 个数不同 个负数有一个负 有平方根，0的 的立方根，0的立 平方根是0 方根是0 表示方 表示为士√a,根 表示为a,根指 法不同 指数2省略了 数3不能省略 平方根士√a中， 立方根a中，被 被开方数的取 被开方数a必 开方数a可以是 值范围不同 须是非负数 任意数 22 七年级数学RJ版 立方根 已经典例题剖析 【例】求下列各式的值： 3 【-得-写- 3 21 (3)(15)3=15. 【点拨】利用“一a=一a”可以把求一个 负数的立方根转化为求一个正数的立方根的 相反数. 已基础对点训练 知识点①立方根的概念及性质 1.下列说法正确的是 A.0没有立方根 B.负数没有立方根 C.一个正数有一个负的立方根 D.一个正数只有一个立方根 2.下列各数中，立方根一定是负数的是() A.-a B.-a2 C.-a2-1 D.-a2+1 3.(教材变式)下列说法不正确的是 ( A.一0.064的立方根是一0.4 B.8的立方根是士2 C.立方根是6的数是216 D动的立方根是号 4.要使(4-m)=4一m成立，则m的取值 范围是 () A.m=4 B.m<4或m=4 C.m>4 D.任意数 5.下列式子不正确的是 ( ) A.9-a=-a B.Va-a C.(a)3=a D.(-a)3=a 知识点②求立方根 6.一64的立方根是 ( A.±4 B.4 C.-4 D.√4 7.(2025无为期中)如果23.7≈2.872，那么 23700约等于 A.28.72B.287.2C.13.33D.133.3 8.(2025遵义红花岗区期中)一个正方体的体 积为7，则它的一条棱长为 () A.97 B.√7 c D.73 9.如图，二阶魔方为2×2×2的 正方体结构，本身只有8个方 块，没有其他结构的方块.已知 二阶魔方的体积约为64cm3 第9题图 (方块之间的缝隙忽略不计)，那么每个方块 的棱长为 cm. 10.(教材变式)求下列各式中x的值： (1)8x3+125=0. (2)(x十3)3十27=0. 知识点③估算立方根的大小 11.下列各数中，在2和3之间的是() A.π B.π-2 C.925 D./28 12.已知3十3的小数部分是m,3一3的小数 部分是n,则m十n的立方根是 知识点④立方根与平方根的综合 13.下列说法正确的是 ( A.一2是一8的立方根 B.9的立方根是3 C.一3是（一3）2的算术平方根 D.16的平方根是4 14.一8的立方根与4的算术平方根的和是 () A.0 B.4 C.-4D.0或-4 15.（2025抚顺东洲区期中)已知a2=36,b3= 一27，则a十b的值是 16.若立方根等于本身的数的个数为a,平方根 等于本身的数的个数为b,算术平方根等于 本身的数的个数为c,则a十b十c的值为 17.运算能力求下列各式的值： a15-5品+. -1+,-125 1 (2)一 V64V(-2)1 18.(2025滁州全椒期中)a+8和2a+7是正 数x的两个不同的平方根. (1)求a的值， (2)求36一x的立方根. 下册第八章 23 重难题型专练 平方根中非负数应用的常见题型 题型①√a中a≥0的应用 8.若|x-1|+(y+3)2+√x+y+之=0，求4x 1.如果a满足|2025-a|+√a-2026=a,那 一2y十3x的平方根. 么a-20252的值为 ( A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2.(教材变式)若式子1 有意义，化简： Vr-1 |1-x|+|x+21. 9.已知a,b满足关系式a-3十|b一4= 0,求： (1)a,b的值. (2)a2+b2的算术平方根. 3.已知x,y都是有理数，且y=√x一3十 √3一x十8，求x十3y的立方根. 题型③算术平方根的双重非负性的应用 10.若a十√a-6=6,求-√9a+10的立方根. 4.已知a为有理数，求式子√a+2一√2一4a十 √一a的值. 题型②√a≥0的应用 11.已知a,b为有理数，且√1十a-(b 5.(2025安庆太湖期中)若x-2+(y+4)2= 1)/1-b=0,求a2026-b2025的值. 0,则xy的值为 A.2 B.-2C.-8 D.8 6.(2025南昌期中)若a,b为实数，且√a-2+ |b一3|=0，则a+b= 7.若5一x十√3x一y=0,则√x+y的整数部 分是 424 七年级数学RJ版.Sm-Semcu(6+5)X2(em) 13.解：(1)证明：DE∥BC, ..∠1=∠2. :∠1=∠3，∠CDF=90°， .∠2=∠3， .DC∥FG, ∴.∠BFG=∠CDF=90°， .FG⊥AB. (2)是真命题 理由：FG⊥AB,∠CDF=90°， .∠BFG=90°=∠CDF, .DC∥FG ∴∠2=∠3. ∠1=∠3， .∠1=∠2， .DE∥BC 14.D15.C16.B 17.B【解析】AB∥CD,∴.∠GFE=∠1=70°.又 :∠EGF=∠2=50°，.∠GEF=180°-∠GFE- ∠EGF=180°-70°-50°=60°. 18.130°19.75 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 1.B2.D3.B4.B5.C6.-27.2(答案不唯一) 8.1【解析】5-2x的平方根是士√5，∴.5-2x=3,解 得x=1. 9.9【解析】，x的两个平方根分别是2a一1和a-5, .2a-1+a-5=0, 解得a=2,则2a一1=3， .x=9. 10.C11.C12.C 13.B【解析】m是25的平方根，∴.m=士5. n=(5)2=5, ∴.m=士n. 14.解：(1)由(x-1)2-4=0得(.x-1)2=4, .x-1=士√4=士2， 解得x1=3,x2=一1 (2)由4(3x+1)2-1=0得(3x+1)= 4 1 3x+1=士 1 =士2 1 1 解得x1=一6x=一2 15.解：，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的 正方形， .剪掉的正方形边长为5cm. 4 七年级数学RJ版 设原正方形铁皮的边长为xcm. 由题意，得5(.x一10)2=180， ∴.(x-10)2=36,.x-10=士6， 解得x=16或x=4(不合题意，舍去)， .原正方形铁皮的边长为16cm. 16.解：(1)-3 (2),正数x的平方根是a和a十b, .(a+b)2=x,a2=x. a2x+(a十b)2x=6,.x2十x2=6,∴.x2=3. x>0,x=5 【解析】(1)，正数x的平方根是a和a十b,.a十a十 b=0,即2a+b=0. .b=6,.2a+6=0,解得a=-3. 第2课时算术平方根 1.A2.C3.B4.C5.C6.27.10 11、 8.解：原式=5-9十7×14 =5-9+22 =18. 9.解：由题意，得2m+2=16,3m+n+1=25, 解得m=7,n=3, ∴.m+3n=7+3×3=16. 10.解：根据题意，得a一2=0,3a+b-1=25,解得a=2, b=20,.∴.√b-a2=/20-22=16=4. 11.B【解析】，|x-5|+√x十2y+1=0,.x-5=0, x十2y十1=0，解得x=5,y=一3，.x十y= √5-3=√2. 12.013.C 14.C【解析】.（√6）2=6，（√7）2=7，（√10）2=10， (√T)2=11,32=9,∴.与3最接近的是√10. 15.解：(1)6 (2)沿此大正方形纸片边的方向，能裁剪出符合要求 的长方形纸片 ,长方形纸片的长、宽之比为4：3， ∴.设长方形纸片的长和宽分别是4xcm,3xcm, ∴.4x·3x=24, ∴.x2=2. x>0, x=√2， .长方形纸片的长是4x=4√2cm. 42<6, 沿此大正方形纸片边的方向，能裁剪出符合要求的 长方形纸片， 8.2立方根 1.D2.C3.B4.D5.D6.C7.A8.A9.2 10.解：1)由8x+125=0,得x=-125. 8 12距=-5 .x=N8 2 (2)由(x十3)3+27=0，得(x+3)3=一27， x+3=-27=-3, x=-6. 11.C 12.1【解析】T<3<8,即1<3<2， .4<3+5<5, ∴3+3的整数部分是4，小数部分是3+3一4=3 1,即m=3-1. .-8<-3<-,即-2<-3<-1， .1<3-3<2, .3-3的整数部分是1，小数部分是3一3-1=2 3,即n=2-3, .m+n=3-1+2-93=1, .m+n==1. 13.A14.A15.3或-9 16.6【解析】立方根等于本身的数的个数为3，即a=3; 平方根等于本身的数的个数为1，即b=1:算术平方 根等于本身的数的个数为2，即c=2.把这些值代入， 得a+b+c=3+1+2=6. 17解，1)原式-0,5子+号 =-1 151 (2)原式=2-44 18.解：(1)由题意，得a十8十2a十7=0， 解得a=-5. (2)a=-5, ,.正数x的两个平方根分别为3和一3， .x=32=9, ∴.36-x=36-9=27. ./27=3 .36一x的立方根为3. 重难题型专练平方根中非负数应用的常见题型 1.C【解析】由题意知，a-2026≥0，∴.a≥2026， ∴.|2025-a|=a-2025, ∴.原式=a-2025+√a-2026=a, .∴.√/a-2026=2025,∴.a-2026=20252, .a-20252=2026. 2.解：1一有意义.x>1, /x-1 .原式=(x-1)+(x+2)=2x+1. 3.解：由题意，得x-3≥0且3-x≥0， x=3,∴y=8, .x+3y的立方根为x十3y=/27=3. 4.解：-a2≥0，∴a=0, 原式=√2-√2十√6=0. 5.B6.5 7.4【解析】：√5-x+√3.x-y=0, .5-x=0,3x-y=0, 解得x=5,y=15, ∴.√x+y=√5+15=20. √16<√20<√25， ∴.4<√/20<5， ∴.√x十y的整数部分是4. 8.解：由题意，得x一1=0，y十3=0，x十y十x=0, 解得x=1,y=一3，之=2， .∴.4x-2y+3x=4×1-2×(-3)+3×2=4+6+6 =16, .4.x一2y十3z的平方根是士4. 9.解：(1)由题意，得a一3=0，b一4=0，解得a=3,b=4. (2)由(1)可知，a=3,b=4, .a2+b2=32+42=25, .a2+b2的算术平方根为5. 10.解：根据题意，得a一6≥0， .a≥6. 由a+√a-6=6,得√a-6=6-a. 根据算术平方根的非负性，得6一a≥0， ∴.a≤6，∴.a=6, ∴.-/9a+10=-/9×6+10=-64=-8. ,-8=-2, ∴.-√9a十10的立方根是-2. 11.解：√1+a-(b一1)1-b=0, .√1+a+(1-b)√1-b=0. √1+a≥0,1-b≥0，∴.1+a=0,1-b=0, 解得a=-1,b=1, .a2026-b2025=(-1)2026-1225=1-1=0. 8.3实数及其简单运算 第1课时实数的概念 1.A变式题D2.B3.C4.π-√55.A 第2课时实数的有关运算 1.B2.A3.C4.B5.96.-1 7.解：(1)原式=2-2十√2=√2. (2)原式=3+3-√2-7=-1-√2. (3)原式=一8+3十2一（π-3） =-8+3+2-π十3 =一元 8.D【解析】由题意，得3+2+5=5+√5,3-(2+√5) =1-√5，则点C表示的实数是5+√5或1一5. 下册参考答案 5