8.1 平方根-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（人教版·新教材 江西专版）

第八章 实数 8.1 第1课时 知识要点扫描 平方根的概念及性质 概念 表示方法 举例 性质 一般地，如 果一个数 正数a的 如4和一4正数有两 x的平方 平方根记为 的平方都等个平方根， 等于a,即 于16，那么它们互为 平 x2=a,那 “士√a”,读 4和一4都相反数：0 么这个数 作“正、负根 是16的平的平方根 x叫作a 号a”,其中 方根，4和是0；负数 a叫作被开 的平方根 一4可简记没有平 方数 或二次 为士4 方根 方根 求一个数 :(±9)2 开平方是 a(a≥0)开 种运 的平方根 =81. 平方用符号 算，它和 方 的运算，叫 “士√a”表示 ±√8I 平方运算 作开平方 =9 是互逆的 经典例题剖析 【例1】已知2a+1的平方根是土3,2a一b +2的平方根是士4，求a2+b的值. 【解】2a十1的平方根是士3， ∴.2a+1=9,解得a=4. ,2a一b+2的平方根是士4， ∴.2a-b+2=16,即8-b+2=16, 解得b=-6, .a2+b=16+(-6)=10. 【点拨】根据2a+1的平方根是士3,2a-b +2的平方根是士4，求出a和b的值即可解答. 【例2】求下列各式中x的值， (1)x2=361.(2)81x2-49=0. (3)49(x2+1)=50. (4)(3x-1)2=(-5)2. 七年级数学RJ版 平方根 平方根 【解】(1)x2=361,.x=土√361=士19. (2)由81x2-49=0,得x2=49 81 x=±8i (3)由49(x2+1)=50,得x2=1 49? 1,1 x=士 一士7 49 (4).(3.x-1)2=(-5)2,.3x-1=±5. 当3x一1=5时，解得x=2;当3x-1= 4 4 一5时，解得x=一3综上所述，x=2或-3 【点拨】利用平方根求式子a(x十b)2-c= 0(ac>0)中x的值时，一般先把式子变形为(x 十b)=后的形式，再将x十6看成一个整体， 利用平方根的概念转化为一元一次方程，从而 求出x的值. 已基础对点训练 知识点① 平方根的概念 1“会的平方根是士号”，用数学式子可以表示 为 () 4 A.\25 4 B.士2 = 2 -5 42 4 C.√25=5 D.一25 2 5 2.(教材变式)下列说法错误的是 A.4是16的一个平方根 B.81的平方根是士9 C.一7是49的一个平方根 D.49的平方根是7 知识点② 平方根的性质 3.下列各数：48，)0，-1-41 -(-3.14),-3,一(-5)2.其中有平方根 的数共有 ( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4.下列式子中，无意义的是 A.-√5 B.±√-5 C.土√(-5)3 D.√-5 5.下列关于“0”的说法中，正确的是 ( A.0是最小的正整数B.0没有相反数 C.0没有倒数 D.0没有平方根 6.已知正数a的一个平方根是2，则它的另一 个平方根是 7.若2x一5没有平方根，则x的值可能为 8.若5一2x的平方根是士√3，则x的值为 9.已知x的两个平方根分别是2a一1和a 5,则x的值为 知识点③求平方根 10.(2025南昌期中)4的平方根是 A.2 B.-2 C.士2 D.土√2 11.下列等式正确的是 ( A.士√9=3 B.-√T-4T=2 C.√(-3)=3 D.√/(-1)2=-1 12.若x2=16,则5-x的平方根是 ( A.士1 B.±3 C.士1或士3 D.1或3 13.若m是25的平方根，n=(√5)2，则m,n的 关系是 () A.m=n B.m=士n C.m=-n D.m|≠n 14.解方程：(1)(2025瑞金期中)(x-1)2-4 =0. (2)(2025安庆太湖期中)4(3.x+1)2-1 =0. 15.如下图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处 分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后， 所剩部分正好围成一个无盖的长方体容 器.量得该容器的体积是180cm3,求原正 方形铁皮的边长 16.已知正数x的两个平方根分别是a和a +6. (1)当b=6时，a的值为 (2)若a2x十(a+b)2x=6,求x的值. 下册第/八章 19△ 第2课时 已知识要点扫描 = 1.算术平方根的概念及表示方法 概念 表示方法 正数a有两个平方根，其中 正数a的算术 正的平方根Va叫作a的算 平方根记为√a, 术平方根.规定：0的算术平 读作“根号a” 方根是0.如：0.12= 如：0.2的算术 根 0.01,0.1是0.01的算术 平方根记 平方根 为√0.2 2.算术平方根与平方根的区别与联系 正数a有两个平方根，其中正的平方 根√a叫作a的算术平方根；如果一个 概念不同 数x的平方等于a,即x2=a,那么这 个数x叫作a的平方根 正数的算术平方根只有1个，平方根 别 个数不同 有2个 表示方 正数a的算术平方根表示为√a,平方 法不同 根表示为士√a 正数的算术平方根一定是正数，平方 结果不同 根为一正一负，互为相反数 具有包 平方根包含算术平方根，算术平方根 含关系 是平方根中的正的平方根 联 系 存在的 只有非负数才有平方根和算术平 条件相同 方根 特殊值00的平方根与算术平方根均为0 3.估算算术平方根 方法 依据 举例 求一个正数（非完全 平方数)的算术平方 如估算√0的 根的近似值，一般采 大小，可以取与 被开方数 算 用夹逼法.所谓“夹” 10最近的两个 越大，对 就是从两边确定取 完全平方数9 应的算术 平 值范围，而“逼”就是 和16..9<10 平方根就 根 一点一点加强限制， <16,∴w9< 越大 使取值范围越来越 √10<√16，即 小，从而达到理想的 3<√10<4 精确度 20 七年级数学RJ版 算术平方根 4.用计算器求一个正有理数的算术平 方根 意义 方法 大多数计算器都有 在计算一个正有 理数的算术平方 √■键，用它可以求 用计算 根时，有的数据 出任意一个正有理数的 器求一 很大或很小或不 算术平方根（或近似 个正有 容易求出算术平 理数的 值).一般先按√☐ 方根，可利用计 算术平 键，然后输入数据，再按 算器直接、快速 方根 三键，计算器显示的结 地求出这个数的 算术平方根 果就是该数的算术平方 根（或近似值） 经典例题剖析 【例】求下列各数的算术平方根： (3)9 25 (1)144.(2)0.0036. 【解】(1)，12=144，.144的算术平方根 是12，即144=12 (2).0.062=0.0036,∴.0.0036的算术 平方根是0.06，即0.0036=0.06. 2 小的算术平方根是 25 5 即 49=7 【点拨】求一个正数的算术平方根的方法 是先找出哪一个正数的平方等于这个数，然后 用数学式子表示即可， 已基础对点训练 知识点①算术平方根 1.(2025赣州章贡区期中)9的算术平方根是 ( A.3 B.√3 C.±3 D.±√3 2.(教材变式)用计算器计算√3一√2，结果精确 到0.01是 () A.0.30 B.0.31 C.0.32 D.0.33 3.下列各式中，正确的是 A.√(-3)2=-3 B.-√32=-3 C.√（士3）=士3 D.√32=士3 4.√16的算术平方根是 A.4 B.4或-4 C.2 D.2或-2 5.下列说法不正确的是 A.4是16的算术平方根 B号是写的一个平方根 C.(一6)2的平方根是-6 D.(一3)2的平方根是士3 6.已知5x一1的算术平方根是3，则x的值是 7.跨物理学科物体自由下落的高度h(单位： m)与下落时间t(单位：s)的关系是h= 4.9t2.在一次实验中，一个物体从490m高 处自由落下，到达地面（周围空旷，无行人） 需要的时间为 S. 8.计算V25-T+,×196. V49 9.已知2m+2的平方根是士4,3m十n十1的 算术平方根是5，求m+3n的值. 10.已知a一2的算术平方根是0,3a+b一1的 算术平方根是5，求b一a2的算术平方根. 知识点②算术平方根的非负性 11.若x,y满足x-5+√x+2y+1=0,则 √x+y所表示的数是 () A.1 B.√2 C.3 D.√5 12.(2025赣州南康区期中)若(2x一4)2十 √4y十4=0，则x+2y= 知识点③估算算术平方根的大小 13.（2025天津)估计1+√6的值在 ( A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 14.下列各数中，与3最接近的是 A.6 B.√7 C.√10 D.√1 15.(2025遵义红花岗区期中)【综合与实践】如 下图，把两个面积均为18cm2的小正方形 纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大正方 形纸片. (1)大正方形纸片的边长为 cm. (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出 一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形 纸片的长、宽之比为4：3，且面积为 24cm2?若能，求裁剪出的长方形纸片的长 和宽；若不能，试说明理由 下册第八章 21△.Sm-Semcu(6+5)X2(em) 13.解：(1)证明：DE∥BC, ..∠1=∠2. :∠1=∠3，∠CDF=90°， .∠2=∠3， .DC∥FG, ∴.∠BFG=∠CDF=90°， .FG⊥AB. (2)是真命题 理由：FG⊥AB,∠CDF=90°， .∠BFG=90°=∠CDF, .DC∥FG ∴∠2=∠3. ∠1=∠3， .∠1=∠2， .DE∥BC 14.D15.C16.B 17.B【解析】AB∥CD,∴.∠GFE=∠1=70°.又 :∠EGF=∠2=50°，.∠GEF=180°-∠GFE- ∠EGF=180°-70°-50°=60°. 18.130°19.75 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 1.B2.D3.B4.B5.C6.-27.2(答案不唯一) 8.1【解析】5-2x的平方根是士√5，∴.5-2x=3,解 得x=1. 9.9【解析】，x的两个平方根分别是2a一1和a-5, .2a-1+a-5=0, 解得a=2,则2a一1=3， .x=9. 10.C11.C12.C 13.B【解析】m是25的平方根，∴.m=士5. n=(5)2=5, ∴.m=士n. 14.解：(1)由(x-1)2-4=0得(.x-1)2=4, .x-1=士√4=士2， 解得x1=3,x2=一1 (2)由4(3x+1)2-1=0得(3x+1)= 4 1 3x+1=士 1 =士2 1 1 解得x1=一6x=一2 15.解：，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的 正方形， .剪掉的正方形边长为5cm. 4 七年级数学RJ版 设原正方形铁皮的边长为xcm. 由题意，得5(.x一10)2=180， ∴.(x-10)2=36,.x-10=士6， 解得x=16或x=4(不合题意，舍去)， .原正方形铁皮的边长为16cm. 16.解：(1)-3 (2),正数x的平方根是a和a十b, .(a+b)2=x,a2=x. a2x+(a十b)2x=6,.x2十x2=6,∴.x2=3. x>0,x=5 【解析】(1)，正数x的平方根是a和a十b,.a十a十 b=0,即2a+b=0. .b=6,.2a+6=0,解得a=-3. 第2课时算术平方根 1.A2.C3.B4.C5.C6.27.10 11、 8.解：原式=5-9十7×14 =5-9+22 =18. 9.解：由题意，得2m+2=16,3m+n+1=25, 解得m=7,n=3, ∴.m+3n=7+3×3=16. 10.解：根据题意，得a一2=0,3a+b-1=25,解得a=2, b=20,.∴.√b-a2=/20-22=16=4. 11.B【解析】，|x-5|+√x十2y+1=0,.x-5=0, x十2y十1=0，解得x=5,y=一3，.x十y= √5-3=√2. 12.013.C 14.C【解析】.（√6）2=6，（√7）2=7，（√10）2=10， (√T)2=11,32=9,∴.与3最接近的是√10. 15.解：(1)6 (2)沿此大正方形纸片边的方向，能裁剪出符合要求 的长方形纸片 ,长方形纸片的长、宽之比为4：3， ∴.设长方形纸片的长和宽分别是4xcm,3xcm, ∴.4x·3x=24, ∴.x2=2. x>0, x=√2， .长方形纸片的长是4x=4√2cm. 42<6, 沿此大正方形纸片边的方向，能裁剪出符合要求的 长方形纸片， 8.2立方根 1.D2.C3.B4.D5.D6.C7.A8.A9.2 10.解：1)由8x+125=0,得x=-125. 8