2.3双曲线的标准方程与性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

双曲线的标准方程与性质 【知识梳理】 一、双曲线定义：注意距离差及绝对值的呈现方式 1.定义略 2.讲解定义时应强调距离差的绝对值的意义 3.讲解定义时应强调：焦点位置是填选问题的易错点、或。 二、双曲线方程与基本量 1. 双曲线的标准方程 若焦点、则双曲线的标准方程为： 若焦点、则双曲线的标准方程为： 2. 讲解双曲线方程应强调建立方程、图像、焦点位置一一对应关系，即通过方程快速反应图像、焦点位置；通过图像快速反应方程、焦点位置；通过焦点位置快速反应方程、图像； 3、双曲线的几何性质与焦点三角形（以焦点在x轴上的图形为例） ①范围：或 ②对称性：关于坐标轴或轴对称图形，关于原点或中心对称图形。 ③顶点： 焦点： ④渐近线： 注：渐近线方程。 1）双曲线方程的渐近线方程为：。 2）由渐近线方程为可设双曲线方程为。 3）当双曲线与有公共渐近线时，可将其设为：（当，焦点在x轴上，当，焦点在y轴上）。 4、双曲线的应用：位置关系、弦、距离问题 ①点与双曲线的位置关系 已知点与双曲线（，为双曲线的焦点），则 （1）点在双曲线上； （2）点在双曲线外； （3）点在双曲线内． ②直线与双曲线的位置关系：一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. 将直线方程代入双曲线方程中得. 当，即时，若，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线交于一点.若，直线即为双曲线的渐近线，与双曲线无交点. 当，即时， ； 直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； 直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； 直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. （1）注意联立方程后，二次项系数有为零的情况发生，若二次项系数为零则直线与双曲线也是只有一个公共点（平行于渐近线） （2）注意直线与双曲线有一个交点和相切的区分，指出相切与成充要条件，但相切与一个交点成充分必要条件。 ③直线与双曲线交点位置问题 方法一：判别式结合韦达定理 方法二：判别式结合斜率与渐近线比较（在判别式大于0时） 交点在同一支上，交点在两支上。 ④距离问题： （1）点线距离分析：通常利用设点，利用两点距离分析（后续亦常用参数方程）； （2）线线距离分析： 直线与双曲线的距离常设双曲线上点，利用点到直线的距离公式分析； 直线与双曲线的距离常用方法二是设直线的平行直线，利用平移相切法分析； 部分特殊的圆与双曲线的距离分析，常利用对称性转化为点线问题分析（圆与双曲线同一对称轴） 【例题讲解】 双曲线的定义与几何性质 例1：已知两个定点的坐标为、，动点P到、的距离的差等于6，求P点的轨迹方程。 答案：。 例2：已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程。 答案： 例3：已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则 答案：25 例4；已知双曲线，点是双曲线上除轴之外的点，若，则的面积为_____ 答案： 【课堂练习】 1、若椭圆的左、右两个焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点，则的周长为 . 答案：16 2、椭圆的内接矩形面积的最大值是 . . 答案：12 3、双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则________。 答案： 4、已知为双曲线的两焦点，点在双曲线上，若，则的面积为_________。 答案： 5、已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是___________... 答案： 6、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ． 答案：4 7、已知、分别为双曲线: 的左、右焦点，点，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则 . 答案：6 【例题讲解】 直线与双曲线的位置关系 例1:（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。 （2）直线与双曲线相交于两点，当为何值时，在双曲线的同一支上？当为何值时，分别在双曲线的两支上？ 答案：（1）和. （2）当或时，两点在同一支上；当时，两点在双曲线的两支上. 例2:若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为 答案： 例3:过双曲线的左焦点，作倾斜角为的弦 求⑴；⑵的周长（为双曲线的右焦点）。 答案：（1）3；（2）3+ 例4:双曲线方程为.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 答案：不存在 例5:已知双曲线，双曲线上存在关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 答案： 例6:已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，＝2，点M(，)在双曲线上． （1）求双曲线的方程 （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且，.求＋的值． 答案：(1)－＝1.(2)＋＝. 例7:设P(0, 0)是双曲线上任一点，过P作双曲线两条渐近线的平行线分别交另一条渐近线于Q, R，则平行四边形OQPR的面积为___________ 答案： 【课堂练习】 1.直线与双曲线交于、两点. ①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？ ②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 答案：①； ② 2．已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过圆上任意一点做切线交双曲线于，两个不同的点，中点为，求证：； （3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是，，求的值．. 答案：（1）（3） 3.椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴直线与椭圆相交一个交点为P，则P到的距离为( ) A． B． C． D．4 答案：C 4.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有------( ) A．条 B．条 C．条 D．条 答案：C 【课后作业】 1.若椭圆的左、右两个焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点，则的周长为 . . 答案： 16 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为 。 答案： 3.若，则是方程表示双曲线的 条件。 . 答案：充分不必要 4.椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴直线与椭圆相交一个交点为P，则P到的距离为( ) A． B． C． D．4 . 答案：C 5.为两定点且，动点满足，则点轨迹是( ) A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 . 答案：A 6.某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m建立坐标系并写出该双曲线方程 . 答案：=1 7.若、是双曲线的左、右两个焦点，点是双曲线上一点，且，求的大小. . 答案： . 8．已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. (1)求的方程： (2)已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. （1） （2）ⅠⅡ略 9.直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （1） （2）或 （3） 双曲线的标准方程与性质1 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线的标准方程与性质 【知识梳理】 一、双曲线定义：注意距离差及绝对值的呈现方式 1.定义略 2.讲解定义时应强调距离差的绝对值的意义 3.讲解定义时应强调：焦点位置是填选问题的易错点、或。 二、双曲线方程与基本量 1. 双曲线的标准方程 若焦点、则双曲线的标准方程为： 若焦点、则双曲线的标准方程为： 2. 讲解双曲线方程应强调建立方程、图像、焦点位置一一对应关系，即通过方程快速反应图像、焦点位置；通过图像快速反应方程、焦点位置；通过焦点位置快速反应方程、图像； 3、双曲线的几何性质与焦点三角形（以焦点在x轴上的图形为例） ①范围：或 ②对称性：关于坐标轴或轴对称图形，关于原点或中心对称图形。 ③顶点： 焦点： ④渐近线： 注：渐近线方程。 1）双曲线方程的渐近线方程为：。 2）由渐近线方程为可设双曲线方程为。 3）当双曲线与有公共渐近线时，可将其设为： （当，焦点在x轴上，当，焦点在y轴上）。 4、双曲线的应用：位置关系、弦、距离问题 ①点与双曲线的位置关系 已知点与双曲线（，为双曲线的焦点），则 （1）点在双曲线上； （2）点在双曲线外； （3）点在双曲线内． ②直线与双曲线的位置关系：一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. 将直线方程代入双曲线方程中得. 当，即时，若，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线交于一点.若，直线即为双曲线的渐近线，与双曲线无交点. 当，即时， ； 直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； 直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； 直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. （1）注意联立方程后，二次项系数有为零的情况发生，若二次项系数为零则直线与双曲线也是只有一个公共点（平行于渐近线） （2）注意直线与双曲线有一个交点和相切的区分，指出相切与成充要条件，但相切与一个交点成充分必要条件。 ③直线与双曲线交点位置问题 方法一：判别式结合韦达定理 方法二：判别式结合斜率与渐近线比较（在判别式大于0时） 交点在同一支上，交点在两支上。 ④距离问题： （1）点线距离分析：通常利用设点，利用两点距离分析（后续亦常用参数方程）； （2）线线距离分析： 直线与双曲线的距离常设双曲线上点，利用点到直线的距离公式分析； 直线与双曲线的距离常用方法二是设直线的平行直线，利用平移相切法分析； 部分特殊的圆与双曲线的距离分析，常利用对称性转化为点线问题分析（圆与双曲线同一对称轴） 【例题讲解】 双曲线的定义与几何性质 例1：已知两个定点的坐标为、，动点P到、的距离的差等于6，求P点的轨迹方程。 例2：已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程。 例3：已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则 例4；已知双曲线，点是双曲线上除轴之外的点，若，则的面积为_____ 【课堂练习】 1、若椭圆的左、右两个焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点，则的周长为 . 2、椭圆的内接矩形面积的最大值是 . . 3、双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则________。 4、已知为双曲线的两焦点，点在双曲线上，若，则的面积为_________。 5、已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是___________... 6、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ． 7、已知、分别为双曲线: 的左、右焦点，点，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则 . 【例题讲解】 直线与双曲线的位置关系 例1:（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。 （2）直线与双曲线相交于两点，当为何值时，在双曲线的同一支上？当为何值时，分别在双曲线的两支上？ 例2:若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为 例3:过双曲线的左焦点，作倾斜角为的弦 求⑴；⑵的周长（为双曲线的右焦点）。 例4:双曲线方程为.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 例5:已知双曲线，双曲线上存在关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 例6已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，＝2，点M(，)在双曲线上． （1）求双曲线的方程 （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且，.求＋的值． 例7:设P(0, 0)是双曲线上任一点，过P作双曲线两条渐近线的平行线分别交另一条渐近线于Q, R，则平行四边形OQPR的面积为___________ 【课堂练习】 1.直线与双曲线交于、两点. ①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？ ②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 2．已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过圆上任意一点做切线交双曲线于，两个不同的点，中点为，求证：； （3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是，，求的值．. 3.椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴直线与椭圆相交一个交点为P，则P到的距离为( ) A． B． C． D．4 4.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有------( ) A．条 B．条 C．条 D．条 【课后作业】 1.若椭圆的左、右两个焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点，则的周长为 . 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为 。 3.若，则是方程表示双曲线的 条件。 4.椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴直线与椭圆相交一个交点为P，则P到的距离为( ) A． B． C． D．4 5.为两定点且，动点满足，则点轨迹是( ) A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 6.某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m建立坐标系并写出该双曲线方程 . 7.若、是双曲线的左、右两个焦点，点是双曲线上一点，且，求的大小. . 8．已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. (1)求的方程： (2)已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 9.直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 双曲线的标准方程与性质1 学科网（北京）股份有限公司 $