专题01 平面向量的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题01 平面向量的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 向量的坐标运算解决几何问题 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． (1)证明：A，B，C三点共线； (2)若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据向量运算得，即可证明三点共线； （2）设点P的坐标为，利用得到方程组，解出即可. 【解答过程】（1）因为，所以． 又因为有公共点点， 所以A，B，C三点共线． （2）设点P的坐标为，则，， 因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以， 即，解得， 所以点P的坐标为． 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积； （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【解答过程】（1） 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以. （2）如图，设，则， 因为，所以，解得或， 故或. 3．（24-25高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，利用，可求点的坐标； （2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标. 【解答过程】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 4．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合图形，由向量的线性运算可得，结合，列方程组求解即得； （2）由题意可得为等边三角形，以为坐标原点建系，设，表示出相关向量，利用向量数量积的坐标公式代入，计算即得. 【解答过程】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 5．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【解答过程】（1）依题意，， ， ； （2）    以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 题型二 用向量证明线段垂直 6．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【解题思路】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得 ，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【解答过程】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 7．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【解答过程】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 8．（24-25高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【解题思路】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【解答过程】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 9．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 10．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【解题思路】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 题型三 用向量解决几何中的夹角问题 11．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解答过程】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 12．（24-25高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 【解题思路】以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，证明的夹角与的夹角相等，从而证得结论。 【解答过程】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系. 设，则，. 设，则. 又因为，，所以， 所以，解得 ，所以. 所以. 又因为， 所以，. 又因为，所以.    13．（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【解答过程】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以 ， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以 ， 所以. 14．（24-25高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      15．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）设，由可得，即可得答案； （2）由图可知，由向量夹角公式可得答案. 【解答过程】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 题型四 用向量解决线段的长度问题 16．（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得. 【解答过程】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令， 而，则，即，由四边形是矩形，得， 因此， 则，， 于是， 所以. 18．（24-25高一下·山东聊城·期中）如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． (1)用向量方法证明：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)-6 【解题思路】（1）存在，使得，利用向量的线性运算可得， 又由点R， A，C三点共线，且，可得，解得值，从而得证. （2）由题设得四边形ABCD是菱形，，数形结合，作于点H，利用投影向量的概念即可得在上的投影向量为，由向量的线性运算即可求解． 【解答过程】（1）证明：因为R在ED上，所以存在，使得，， 故， 又因为点R在AC上，且，， 所以，得， 所以，所以． （2）因为， 和分别是和方向上的单位向量， 设，，则以，为邻边的平行四边形是菱形， 是该菱形的对角线， ，所以 与垂直，所以， 可得，所以平行四边形ABCD是菱形， 所以，， 作于点H，又因为E为AB的中点， 所以在上的投影向量为， 所以． 19．（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【解答过程】（1）； ， ，故， . （2）， . 20．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由，，根据向量数量积的运算即可求解； （2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）解：由题意，，， 又， 所以 ， ，即，            =， ， ，即； （2）解：， ==，   与的夹角即为， . 题型五 向量与几何最值（范围）问题 21．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 22．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【解答过程】（1）当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以，    故，； （2）为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 23．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【解题思路】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【解答过程】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 24．（24-25高一下·江西九江·期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解， （2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值. 【解答过程】（1）当时，则为的中点， 由于,所以, 所以；    （2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且，建立如图所示的直角坐标系， 则, 取中点为，连接,则,， 设， ， ， ， 故当时，取最小值. 25．（24-25高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【解答过程】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以 ， 所以 . （2）因为，所以， 因为 ， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 题型六 向量在物理中的应用 26．（24-25高三上·湖北随州·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 【答案】(1)(1+)N (2) 【解题思路】（1）根据三个力平衡，得到，再由求解； （2）设与的夹角为θ，由求解. 【解答过程】（1）解：因为三个力平衡，所以， 则， ， 故的大小为(1+)N. （2）设与的夹角为θ， 则， 即 ， 解得，因为， 所以. 27．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 【答案】答案见解析 【解题思路】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为，，，根据向量的加法求出，再研究是否为零向量即可得解. 【解答过程】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为， ，，如图所示，    若，则， 且，， 所以只要，， 即丙的力量与甲、乙相同即可使小球静止； 若，则与不在一条直线上，则小球不能静止. 28．（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，利用向量的运算与分解，利用坐标法计算向量的长度，进而求得；（2）货船要垂直到达正对岸B，需使合速度的东向分量为0，进而计算求解. 【解答过程】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 29．（24-25高一·全国·课后作业）如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角， ，沿水平方向，，与的合力的大小为． (1)求. (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的平行四边形法则表示出，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； （2）利用向量的减法法则，得到，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； 【解答过程】（1）由题知，所以， 得到，解得， 所以. （2）因为，所以， 得到，解得， 所以与的夹角的余弦值为. 30．（24-25高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【解答过程】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，    ，则， 在Rt中，，从而 ，因此， 故游船的实际航程为. 题型七 向量新定义问题 31．（24-25高一下·山东聊城·期末）对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用新定义列方程求解； （2）由垂直求得值，由新定义求得，再由向量夹角公式计算. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，， 因为，所以，解得. （2）由题意得 又，且，所以，解得， 此时，， 设与的夹角为， 则， 所以与夹角的余弦值为. 32．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可； （2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 33．（24-25高一下·广西河池·月考）对任意非零向量，，定义． (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值； （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【解答过程】（1）因为向量，，所以， ， 则； （2） ，解得， 所以. 34．（24-25高一下·贵州黔南·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【解答过程】（1）由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； （2）由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； （3）在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 35．（24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解题思路】（1）根据新定义求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，再由同角的平方关系即可得证； （ⅱ）将已知条件代入可求得与的夹角为，再由（ⅰ）的结论即可得答案. 【解答过程】（1）因为， 可得：． （2）（ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 向量的坐标运算解决几何问题 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． (1)证明：A，B，C三点共线； (2)若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形，求点P的坐标． 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 3．（24-25高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 4．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 5．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 题型二 用向量证明线段垂直 6．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 7．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 8．（24-25高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 9．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 10．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 题型三 用向量解决几何中的夹角问题 11．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 12．（24-25高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 13．（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 14．（24-25高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 15．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 题型四 用向量解决线段的长度问题 16．（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 18．（24-25高一下·山东聊城·期中）如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． (1)用向量方法证明：； (2)若，，求的值． 19．（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 20．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 题型五 向量与几何最值（范围）问题 21．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 22．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 23．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 24．（24-25高一下·江西九江·期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 25．（24-25高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 题型六 向量在物理中的应用 26．（24-25高三上·湖北随州·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 27．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 28．（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 29．（24-25高一·全国·课后作业）如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角， ，沿水平方向，，与的合力的大小为． (1)求. (2)求与的夹角的余弦值． 30．（24-25高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 题型七 向量新定义问题 31．（24-25高一下·山东聊城·期末）对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 32．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 33．（24-25高一下·广西河池·月考）对任意非零向量，，定义． (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值． 34．（24-25高一下·贵州黔南·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 35．（24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $