第21章 【模型构建专题】 正方形中常见的几何图形结构-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦正方形中常见几何图形结构，通过“十字架”“半角”“a＝2b”“a=√2b”四类模型的结构展示、结论总结与例题证明，搭建从直观结构到逻辑推理的学习支架，帮助学生衔接图形认知与几何证明。 其亮点在于以模型构建为主线，通过图形结构分析培养几何直观（数学眼光），例题证明过程强化推理能力（数学思维），符号与图形语言结合提升表达能力（数学语言）。如半角结构中旋转操作的应用，既体现学科特色的模型教学法，又帮助学生形成结构化知识，助力教师高效开展几何教学。

RJ 数 学 8年级 下册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 类型1　正方形中的“十字架”结构 图1　 图2 　图3 结论：若EF⊥HG，则EF＝HG； 若EF＝HG，则EF⊥HG． 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 1．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥DE交DE于点F，交CD于点G，连接BF．求证： (1)△ADG≌△DCE； (2)AB＝FB． 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：(1)四边形ABCD是正方形， ∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC． ∵AG⊥DE， ∴∠AFD＝90°，即∠DAG＋∠ADE＝90°． ∵∠ADG＝∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠DAG， ∴△ADG≌△DCE(ASA)． 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)延长DE交AB延长线于点H． ∵E是BC的中点，∴BE＝CE． 又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB， ∴△DCE≌△HBE(ASA)， ∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点． 又∵∠AFH＝90°，∴FB＝AH＝AB． 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 2．如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG，垂足为点O． (1)求证：AE＝FG； (2)如图2，平移线段FG，使DG＝BE，连接OD，求证：OD＝AD． 图1　 　图2 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 解：(1)过点F作FH∥AD交CD于点H． ∵四边形ABCD为正方形，FH∥AD， ∴FH＝AD＝AB，∠AFH＝∠FHG＝∠ABE＝90°． ∵AE⊥FG，∴∠AOF＝90°， ∴∠BAE＋∠AFO＝∠HFG＋∠AFO＝90°， ∴∠BAE＝∠HFG， ∴△ABE≌△FHG(ASA)，∴AE＝FG． 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)如图，过点F作FH∥AD交CD于点H，延长FG，AD交于点P． 由(1)知HG＝BE， ∵DG＝BE，∴HG＝DG， 易证△PDG≌△FHG， ∴DP＝FH＝AD，即D为AP的中点， ∵∠AOP＝90°，∴OD＝AP＝AD． 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 类型2　正方形中的半角结构 (将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG) 结论：①△AEF≌△AEG；②EF＝BE＋DF；③△CEF的周长为2AB． 3 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 解：将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图． 由旋转的性质知∠GBF＝∠ABC＝90°，∠GAB＝∠FCB＝45°， BG＝BF，AG＝CF＝4， ∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAC＝45°＋45°＝90°． ∵∠GBF＝90°，∠FBE＝45°， ∴∠GBE＝∠GBF－∠FBE＝45°， 易证△GBE≌△FBE，∴GE＝EF． 设EF＝GE＝x，则AE＝8－x， 在Rt△AGE中，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， ∴EF＝5． 3．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12．若∠FBE＝45°，CF＝4，求EF的长． 3 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 图1 4．【问题探究】 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．求证：EF＝BE＋DF． 请你完成下列解答过程： 证明：作AG⊥AF交CB延长线于点G， ∴∠FAG＝　 　°．  ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠ADC＝90°， ∴∠DAF＝∠　 　，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF，  易得∠EAF＝∠　 　，∴△AEF≌△AEG，  ∴EF＝EG，∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF． 　EAG　 　BAG　 　90　 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 【类比联想】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE＋DF． 图2 解：(2)延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM． ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°， ∴∠ABM＝∠ADC． ∵AB＝AD，BM＝DF， ∴△ABM≌△ADF(SAS)， ∴∠DAF＝∠BAM，AM＝AF． 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE＋∠DAF＝∠EAF． ∵∠DAF＝∠BAM，∴∠MAE＝∠EAF． ∵AM＝AF，AE＝AE， ∴△MAE≌△FAE(SAS)，∴ME＝EF． ∵ME＝BE＋MB，MB＝DF，∴EF＝BE＋DF． 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 类型3　正方形中的“a＝2b”结构 在正方形中存在直角三角形，利用斜边上的中线得“a＝2b”；或在正方形中存在三角形，利用其中位线得“a＝2b”． 5 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：易证△ABE≌△BCF， ∴∠BAE＝∠CBF． ∵∠ABO＋∠CBF＝90°， ∴∠ABO＋∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°． 在Rt△ABO中，∵M是斜边AB的中点， ∴OM＝AB，即AB＝2OM． 5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，M为AB的中点，连接OM．求证：AB＝2OM． 5 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 解：取AE的中点M，连接OM． 易知OA＝OC，MA＝ME，∠OFM＝67.5°， ∴OM＝CE，OM∥CE， ∴∠MOA＝∠BCA＝45°， ∴∠OMF＝∠EAC＋∠MOA＝67.5°， ∴∠OFM＝∠OMF，∴OF＝OM＝CE， ∴CE＝2OF． 6．如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F．求证：CE＝2OF． 6 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 类型4　正方形中的“a＝b”结构 　在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”． 7 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 7．如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BE＝BA，连接AE． (1)求证：AE平分∠DAC； (2)求证：DE＝OE． 证明：(1)易得∠DAE＝∠OAE＝22.5°， ∴AE平分∠DAC． (2)过点E作EM⊥AD于点M． ∵AE平分∠DAC，EO⊥AO，EM⊥AD， ∴OE＝EM，∴DE＝EM＝OE． 7 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 8．如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，且ED＝EF．求证：BF＝ED． 证明：连接BE．易证△CBE≌△CDE， ∴EB＝ED＝EF，∠EBC＝∠EDC＝∠EFD． ∵∠EFD＋∠EFC＝180°， ∴∠EBC＋∠EFC＝180°， ∴∠BEF＋∠BCD＝180°． ∵∠BCD＝90°，∴∠BEF＝90°， ∴BF＝EF＝ED． 8 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 $