第18章 【方法技巧专题】 利用勾股定理求最短路径问题-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦“利用勾股定理求最短路径问题”，通过“展平、定点、连线、计算”四步法导入，衔接立体图形与平面转化知识，以直棱柱、圆柱体等类型例题搭建学习支架，帮助学生逐步掌握核心方法。 其亮点在于分类型整合实例，如正方体蚂蚁爬行、圆柱油罐梯子问题等，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过步骤化推理（数学思维）构建解题模型。教师可直接用于专题教学，学生能提升空间转化与问题解决能力。

HK 数 学 8年级 下册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 利用勾股定理求最短路径问题的思路：一般先将立体图形展开为平面图形进行计算，步骤如下：(1)展平：只需展开包含相关点的面，可能存在多种展开方式；(2)定点：确定相关点的位置；(3)连线：连接相关点，构建直角三角形；(4)计算：利用两点之间线段最短及勾股定理求解. 1 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型1　与直棱柱有关的最短路径问题 1.如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点.若蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )   A. B.4 C. D.5 C 1 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.固定在地面上的一个正方体木块(如图1)，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)去掉一角，得到如图2所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为( ) A.2＋2 B.4＋4 C.4＋2 D.2＋4 图1　　　图2 A 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝50 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且FG＝30 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.蚂蚁爬行的最短路线为 　 　cm.  10 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.如图，长方体的长BE＝30 cm，宽AB＝20 cm，高AD＝40 cm，点M在CH上，且CM＝10 cm.如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点M，那么需要爬行的最短距离是多少? 4 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如图1，在Rt△ADM中，AM＝＝50(cm)； 如图2，在Rt△ABM中，AM＝＝10(cm)； 如图3，在Rt△AMC中，AM＝＝10(cm). ∵50＜10＜10， ∴蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点M， 需要爬行的最短距离是50 cm. 图1　 图2　　　图3 4 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型2　与圆柱体有关的最短路径问题 5.如图，圆柱的高AB＝6，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从点A处沿圆柱表面爬到对角点C处捕食，则它爬行的最短距离是( )  A.3 B.6 C.3 D.12 A 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.如图，有一个圆柱形油罐，已知油罐的底面半径为1 m，高AB为8 m.现要从底部边缘处的A点环绕油罐搭建梯子，正好搭建到A点的正上方B点处，则梯子最短为 　m.(π取3)  10　 6 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.[2025·芜湖无为月考节选]如图，透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离底部5 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm与饭粒相对的点A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少? 7 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如图，将容器沿侧面展开，作点A关于EF的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离. 由题意，得A'D＝6 cm，BD＝12－5＋1＝8(cm)， ∴A'B＝＝10(cm). 答：蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是10 cm. 7 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型3　阶梯表面的最短路径问题 8.如图是一个三级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为55 cm，10 cm，6 cm，A，B是这个台阶的两个相对的端点.如果点A处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是　 　cm.  　73　 8 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型4　平面内的最短路径问题 9.[情境题]如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且A，B两个村庄相距13 km. (1)水泵站应建在什么地方，可使铺设水管的长度最短?请在图中标出水泵站的位置. 解：作点A关于l的对称点A'，再连接A'B，A'B与l交于点P，点P就是水泵站的位置，图略. 9 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)求出铺设水管的最短长度. 解：连接AB，过点B作l的垂线，过点A'作l的平行线，两线交于点C，则∠C＝90°. 过点A作AE⊥BC于点E. 依题意，得BE＝5，AB＝13， ∴AE＝＝12， ∴A'C＝AE＝12，BC＝7＋2＝9， 在Rt△BA'C中，A'B＝＝15. 易知PA＝PA'，∴PA＋PB＝A'B＝15(km). 答：铺设水管的最短长度为15 km. 9 -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 【方法技巧专题】　利用勾股定理求最短路径问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $