专题01 等腰三角形中的分类讨论模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题01.等腰三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 6 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 7 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 （2025·江苏扬州·二模）如图，矩形纸片中，，，对角线、将矩形纸片分割成4个等腰三角形，除了这种方法外，还有 种不同的方法也能将这张矩形纸片完全分割成4个等腰三角形． 1）等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 （1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 （2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 2）等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 例1（24-25八年级上·江苏·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（   ） A． B．或 C． D．或 例2（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为 ． 例3（24-25八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 例4（24-25八年级上·重庆·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 例5（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 例1（2025·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有(    ) A．0个 B．2个 C．4个 D．8个 例2（24-25八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 例3（24-25·重庆·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ． 例4（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      例5（24-25·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．    (1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值： (3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 例6（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 1．（24-25·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·吉林四平·期中）一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）在等边三角形所在的平面上找一点，使、，都是等腰三角形．那么满足条件的点有（   ）个 A． B． C． D． 5．（25-26·河北衡水·九年级统考期中）“如图，是等腰三角形，，平分．是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整 6．（2026·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.（24-25·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰为“倍角三角形”，则的顶角度数为 ． 8．（2025·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，当点在边上，当 时，是等腰三角形．    9．（24-25湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ． 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）一个等腰三角形的周长为11，其中一边为3，则其他两边长分别为 ． 11．（24-25八年级上·成都市·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ． 12．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点N的坐标为 ． 13.（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为 秒时，为等腰三角形． 14．（25-26·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________． (3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 16．（24-25八年级下·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式；(2)求的面积；(3)过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上（点在点的左侧），点，的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，点是射线上一动点．(1)点的坐标是___________；(2)连接，若的面积为，求点的坐标； (3)当点在线段上运动时，在轴负半轴上是否存在点使与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)当点在射线上运动时，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 18．（24-25·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为． (1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01.等腰三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 6 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 7 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部， 由题意可得，则顶角； 如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得， 则顶角．故顶角的度数为或．故选C． （2025·江苏扬州·二模）如图，矩形纸片中，，，对角线、将矩形纸片分割成4个等腰三角形，除了这种方法外，还有 种不同的方法也能将这张矩形纸片完全分割成4个等腰三角形． 【答案】5 【详解】解：如图1所示，分别是的中点，， ∴都是等腰三角形； 如图2所示，，则， ∴都是等腰三角形； 如图3所示，为中点， ∴都是等腰三角形； 如图4所示，， ∴都是等腰三角形； 如图5所示，分别是的中点，， ∴都是等腰三角形； 综上所述，一共有5种不同的裁剪方法，故答案为：5． 1）等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 （1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 （2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 2）等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 例1（24-25八年级上·江苏·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是； 当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是．故选：D． 例2（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意； ∴周长为，故答案为：． 例3（24-25八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 【答案】B 【详解】解：①当为底边长时，腰长为，， ∵三角形为等腰三角形，，解得，∴，，∵，∴构不成三角形； ②当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为； ③当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为． 综上，等腰三角形的周长为7或10，故选：B． 例4（24-25八年级上·重庆·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：若，如图所示：    ，，，， ，； 若，如图所示： 同可得：，， ，； 综上所述：等腰三角形底角的度数为或．故答案为或． 例5（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则，由题意，分以下两种情况： ①当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为．故答案为：． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 例1（2025·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有(    ) A．0个 B．2个 C．4个 D．8个 【答案】C 【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1， ∴满足条件的格点C有4个，故选C． 例2（24-25八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：如图所示： 当时，符合条件的点有,3个；当时，符合条件的点有，3个； 当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有，1个．故符合条件的点C共有7个．故选：C． 例3（24-25·重庆·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：①如图，，       ∴，∴； ②如图，，∴， ∵，，∴， ∴；综述：等腰三角形的顶角的度数为或. 例4（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即，此情况不存在； 当时，，，          由三角形的外角性质得，解得； 当时，，∴， 由三角形的外角性质得，解得； 当时，，∴， ∴； 综上，的度数为或或．故答案为：或或． 例5（24-25·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．    (1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值： (3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)(2)或(3)或或或3 【详解】（1）解：如图，设，则，    ，，，， 在中，由勾股定理得， ，解得，，； （2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，    平分，，，， 在与中，， ，，设，则， 在中，由勾股定理得， ，解得，，， 当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或． （3）解：分四种情况：①如图，当在上且时，∴，          ∵，，，， 是的中点，即，． ②如图，当在上且时，∴． ③如图，当在上且时，过作于， ∵，∴， 在中，由勾股定理得， ，． ④如图，当在上且时，则，． 综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形． 例6（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)．的解析式为；(2)点坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：将点坐标代入一次函数解析式得，，解得．则点坐标为． 令的解析式为，将点坐标代入得，，解得，所以的解析式为； （2）解：将代入得，，所以点坐标为． 又，故．又，所以． 又，则，所以，又点坐标为，所以点坐标为或； （3）解：过点作轴的垂线，垂足为，在中，． 当点为等腰三角形的顶点时，，所以点的坐标为或． 当点为等腰三角形的顶点时，，又，所以，故点坐标为． 当为等腰三角形的顶点时，，则点在的垂直平分线上， 连接，在中，，即，解得， 所以点坐标为．综上所述，点的坐标为或或或． 1．（24-25·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：①，，，    ，； ②，，， ．故选：C． 2．（24-25八年级上·吉林四平·期中）一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：当腰长为：时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，这个三角形的周长是；故选B． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：当时，， ∵，∵，∴， ∴，∴， 当时，，则，∴． 当时，点与重合，不符合题意，综上所述，或，故选：B． 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）在等边三角形所在的平面上找一点，使、，都是等腰三角形．那么满足条件的点有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点两点； 以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点，这样在的垂直平分线上有三点， 同样在的垂直平分线上也分别有点； 还有一点就是三条边的垂直平分线的交点；∴共（个）故选：． 5．（25-26·河北衡水·九年级统考期中）“如图，是等腰三角形，，平分．是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整 【答案】D 【详解】解：∵是等腰三角形，，∴， ∵平分，∴， 可分三种情况讨论：①当时，如下图，则；          ②当时，如下图，则； ③当时，如下图，则，∴． 综合所述，的度数为或或．故选：D． 6．（2026·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：分二种情况进行讨论： 当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点； 当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点． ∴符合条件的点一共4个．故选D． 7.（24-25·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰为“倍角三角形”，则的顶角度数为 ． 【答案】或 【详解】解：当顶角度数是底角度数2倍，顶角：； 当底角度数是顶角度数2倍，顶角：． 故的顶角度数为或．故答案为：或． 8．（2025·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，当点在边上，当 时，是等腰三角形．    【答案】或或 【详解】∵，，，∴由勾股定理得：()， 当在上时， 当时，如图，∴；              当时，过于点，如图，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，∴， 当，如图，，∴ 综上可知：的值为：或或．，故答案为：或或． 9．（24-25湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ． 【答案】40°或100° 【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：， ①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°； ②当40°角为底角时， 该等腰三角形顶角度数 。故答案为：40°或100°． 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）一个等腰三角形的周长为11，其中一边为3，则其他两边长分别为 ． 【答案】，或3，5； 【详解】解：当等腰三角形的底边为3时，腰为：， ∵，∴满足三角形三边关系，∴另外两边的长为：，； 当等腰三角形的腰为3时，底边为：， ∵，满足三角形三边关系，∴另外两边的长为：3，5； 综上，另两边长分别为，或3，5；故答案为：，或3，5． 11．（24-25八年级上·成都市·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ． 【答案】或或 【详解】，， 是的中点，，分以下三种情况讨论： ①当时， 在中，， ，∴点的坐标是； ②当时，若为锐角，如图①， 过点作于点，则， ，，∴点的坐标是； 若为钝角，如图②，过点作于点，同理可得， ，∴点的坐标是． ③当时，则， 是等边三角形，如图③，过点作于点，则， 在中，，∴该种情况不成立； 综上所述，点的坐标是或或． 12．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点N的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：根据题意可得， （1）点在下方时，过点作轴交轴于点，交于点，， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ，，， 设，， 又，，，； （2）点在上方时，过点作轴交轴于点，交直线于点， 同理得，， 设，， 又，，，；故答案为：或． 13.（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为 秒时，为等腰三角形． 【答案】或3或 【详解】解：①当时，； ②当时，∵，，，∴， 则，∴； ③当时，设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：，∴， 综上：t为秒或3秒或秒，故答案为：或3或． 14．（25-26·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___． 【答案】7.5°或75°或97.5°或120° 【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q， ∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角， ①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1， ∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°， ∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°， ∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°； 如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°， ∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°， ∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°； ②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3， ∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°； ③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°， ∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°， ∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°． 故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________． (3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 【答案】(1)见解析(2)或或(3)见解析 【详解】（1）解：如图2，取的中点，则， ∴和是等腰三角形； 如图3，取，则， ∵，∴，∴， ∴，∴和是等腰三角形； 如图4，作的垂直平分线，交于，交于，连接， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴和是等腰三角形； （2）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5， 当，时，设，则， ∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6， 当，时，设，则， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7， 当，时，为的垂直平分线，设，则，， ∴，∴，∴，∴，故答案为：或或； （3）解：∵要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”， ∴不能使等于具体的数值， ∴只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可， 第一种画法：如图8，∵，设，， 当、将分成，，的三个等腰三角形时， 则有，， ∵，∴，∴， ∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为， 即可使得对取值范围内的任意值都成立，第二种画法： ∵，设，， 当、将分成，，的三个等腰三角形时， 则，，∵，∴， 因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立，综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对取值范围内的任意值都成立． 16．（24-25八年级下·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式；(2)求的面积；(3)过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：，∴直线的解析式为； （2）∵直线：经过点，∴，解得：， ∴直线的解析式为，当时，得：，∴，∴， ∵，∴，∴， 联立，解得：，∴， 设为点的横坐标，∴，∴的面积为； （3）设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：，∴直线的解析式为， ∵直线向上平移个单位后交于点，设直线向上平移个单位后交轴于， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，∴，∴，设， ∴，， ∵为等腰三角形， ①当时，则，∴，∴或，此时点的坐标为或； ②当时，则，∴，解得：，此时点的坐标为； ③当时，则，∴，解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上（点在点的左侧），点，的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，点是射线上一动点．(1)点的坐标是___________；(2)连接，若的面积为，求点的坐标； (3)当点在线段上运动时，在轴负半轴上是否存在点使与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)当点在射线上运动时，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)点的坐标为；(3)点的坐标为或； (4)是等腰三角形时点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴点的坐标是，故答案为：； （2）解：如图，∵..的面积为，∴，即， ∴，∴点的坐标为； （3）解：存在，∵，，∴，， 如图，当时，∴，∴，∴点的坐标为； 如图，当，∴时， ∴，∴点的坐标为，综上可知：点的坐标为或； （4）解：∵，，∴，，∴， ∵是等腰三角形，∴如图，当时，∴，∴点的坐标； 如图，当时，∴点的坐标或； 如图，当时，设，则，∴， ∴，解得：，∴点的坐标； 综上可知：是等腰三角形时点的坐标为或或或． 18．（24-25·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为． (1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，；(2)；(3)，，，． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，的坐标为， ∴，，∴，，∴， 如图，取的中点,连接,而， ∴，∴为等边三角形，∴. （2）解：∵折叠，，∴，， ∴，,∴,∴， 设为，∴，解得：， ∴为，过作交x轴于Q， 设，代入，∴，解得：， 得.令，则∴ （3）解：∵为，设，而， ∴， 当时，，解得：，∴， 当时，∴，解得：，（舍去），∴， 当时，∴，解得：，∴或， 综上：，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $