9.2.2 分式的加减&解题技巧专题 分式运算中的一些常用技巧-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

9.2.2分式的加减 第1课时分式的通分 便点梳理 1.最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母.注意： (1)如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；(2)当分母是 多项式时，一般应先分解因式 2.通分：化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分 已课内基础闯关 知识点② 通分 知识点① 最简公分母 -6'a+6'a二6通分以后，1 1 11 4.对分式 a+b 1.分式，与分式，2 2x 的最简公分母是 的结果是 () ( A.atb B.a-b A.(x+2)2 B.(x-2)2 a2-b2 a2-b2 C.(x+2)(x-2) D.(x+2)(x2-4) a2-b2 C. (a+b)(a-b) (a+b)(a2+b2) D.(a2-b)2 2.分式x 1 2 ,·的最简公分母是 3a 5.分式。二6的分母经过通分后变成2(a一)(a 十b),那么分子应变为 3.求出下列各组分式的最简公分母. 6.(教材变式)通分： 1 1 (1)5r'2xy 4a 7b (1) 5b2c'10ac (2)1,45 2x3y'3xz2’4xe 13 (2)。-4'4-20 (3) 2a26,62c3'3a2c a (4)2a+1)'a2+a'a2+T 下册第9章 61△ 已课外拓展提高 2a-1a (3)g-3a'a2-9'a2-6a+9 -2'(x-2)(x+3)'(红+3)通分的过 7.在 程中，不正确的是 A.最简公分母是(x一2)(x十3) (.x+3)2 B.2（x-2)G+3 x+3 C.(x-2)(x+3)-(x-2)(x+3) 2 2.x-2 (4) (a-b)(a-c)'(b-c)(b-a) D. x+3)2(x-2)(x+3) -1 a (c-a)(c-b) 8.将3a干6a2+2a十a+1a+2通分 后，各分式的分子之和为 A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 9已知分式与-a,b是常数且6>0) 1 的最简公分母为10xy3,则a= .6 已综合能力提升 10.通分： 11.运算能力小强昨天做了一道分式题“对下 2acx (1) b'ab'2ab x-33 列分式通分：-元'- 一”.他的解答过 程如下.请你指出他的错误，并改正. x-3=x-3 x-3 x3-xx(x2-1)x(x+1)(x-1)=x 一3，第一步 3(x+1) t-ti= x(1-)）=x(x+1)(x-1) (2) 2xy (x+y)2'x2-y2 3(x+1).第二步 462 七年级数学HK版 第2课时分式的加减 要闾梳理 分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的 分式后再加减. 已课内基础闯关 知识点② ，异分母分式的加减 知识点①同分母分式的加减 6.化简。”十己。的结果为 1.化简“二1+1的结果是 ( A.-1 B.0 C.±1 D.1 A.0 B.1 C.a D.a-2 7化简二+一的结果是 ( 2化简0十11 的结果是 A.x+1B.x-1 C.-x D.x a a A.1 B.a c D.、1 8计算一】二的结果是 () a 3.计算3x一 B.x-1C.1 1 一1一的结果是 ( A.-1 +1 D.x-1 A.3 B.x c 9.计算2 1 的结果是 3x 4计算：1)3a+1 2a b a2+62 10.计算6-。ab 一的结果是 a+1a+1 (2)+y+xy-x 11.计算： xy xy (1)12 1 m2-9T3-m 2 (3)1-x1-x 5.计算： (1)2z+xz-2y_z-y 3x2y3x2y3x2y (2)3+12 x+2十2-x4-x2 (2) x-2x-2 2x 2y (3)x-y) (x-y)2 下册第9章 63△ 巴课外拓展提高 17现浆下面的等式日号+日写-+立 12.已知A为整式，若计算A y 的 xy+y2 x2+xy }+ 结果为二y,则A等于 (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论 xy (用含n的等式表示，n为正整数) A.x B.y (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个 C.x+y D.x-y 结论是正确的. 13.跨物理学科凸透镜成像是自然界中的 个基本现象，其中物距记为u,像距记为， 透镜焦距记为了，三者满足关系式：}+】 u v 1 ·已知u和f,则u A. B." uf uf C.uf D.ur 巴综合能力提升 ----0 ∵u+f “u-f 14.一题多解法已知实数a,b满足ab=1,则 18,运算能力已知P=x+1Q= x+1 1 1 a2+1b2+1 (1)当x>0时，判断P一Q与0的大小关 系，并说明理由. 15.若 b=4x恒成立，则a一2b x+2十x-2x2-4 (2)设y=日一是若x是整数，求)的整数 3Q 的值是 值 16.过程补充题下面是一道例题及其解答过 程的一部分，其中M是单项式.请求出单 项式M,并将该例题的解答过程补充完整. 例：先化简，再求值： a+l a2fa -,其中a=100. a 1 解：原式= a(a+1)a(a+1) 464 七年级数学HK版 第3课时分式的混合运算 香圆税理 1.分式的混合运算：(1)先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；(2)最后结果分子、分母要进 行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式：(3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应 先根据题目的特，点，运用乘法的运算律进行灵活运算， 2.分式的化简求值：一般是先把分式化简为最简分式或整式，再代入求值.注意：当未知数的值没有明确给 出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0. 已课内基础闯关 知识点② 分式的化简求值 知识点① 分式的混合运算 4.先化简，再求值： 1,计算(a)·“的结果是 a-b 6 B.1 a十b C.a-bD.a+b 2在计算（引+1）÷千时嘉嘉和瑰琪使 用的方法不同，但计算结果相同，则( (2) a2-b2 a-b 离嘉：原式=（号+1）· )。“6÷a“2a6+6日+6，其中a,b 满足b-2a=0. xx+1 疾：原式-（吊+）型-号 x+1+x+1=x-1+x+1-?=1. x x x 2x A.嘉嘉正确 B.琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 5.(2025合肥蜀山区期末)先化简(1-二） 3.计算： x2-4 ag++. x2-2z十再从-2，-1,0,1,2中选取 一个合适的数作为x的值代入求值. 21-》 下册第9章 65△ 已课外拓展提高 10已知实数,6满足（日+）÷。。=1 6-题多法计京()·号 x2-y 的结果 1)a+6)(是-号)的值为 是 1 1 (2)求证：(1-分)=2。 A B.- "x+y x+y C.x-y D.y-x 7若代数式1- ·。+2的化简结果为 2a-2 2a-4,则整式A为 A.a+1 B.a-1 C.-a-1 D.-a+1 8.已知a2-2a-15=0. 已综合能力提升 1)代数式a-2) a ·a-2-4的值是 11.运算能力定义：若一个分式能化成一个整式 a 与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这 个分式为“和谐分式” 2)代数式(。-如。)·三2的值是 1)给出下列分式：①+1： 22 +7:@+1 ③2+2 9.先化简，再求值： ,其中属于“和谐分式”的 01-与》产，27再队123中 是 (填序号) 选择一个合适的数作为x的值代入求值. ②将和语分式20+化成-个整式 与一个分子为常数的分式的和的形式 份化尚号十2者该式的 值为整数，求x的整数值. (2)a2-6ab+96 a-2b ÷(a+26-56 a-26,其中 a,b满足|a+3|+(b+2)2=0. 466 七年级数学HK版 解题技巧专题 分式运算中的一些常用技巧 题型①直接代入法求值 题型③ 应用公式法求值 1先化商，再求值：1-中).。其中e 4.已知x2-5x+1=0,求x4+的值. 2先化简再求值：号-小 x2-4x+4 题型④ 巧取“倒数”求值 其中=一士 5.已知a十1=5，求 a2 a +a2+7的值. 6.已知3x+1,求 题型②整体代入法求值 x-9x+7的值. 先化简，再求值：m+2 m-3,其中m满足m2+3m-1=0. 3m2-6m 下册第9章 6△8a6÷(-器)=6.(-） = 32ab' ,所以 3 ②错误.因为( ·二4x 2x ，所以 2x2y' 2.x2 y -3m 1 ③正确.因为10.xy宁6m ·(-20xy2)= 一3m.6m 10x2y ·(-20xy2) 36my,所以④错误. 18.解：1原式=a).a+2》a-2.(a+1a-1) a-2 (a+1)2 =(a+2)(a-1) =a2+a-2. 因为a2十a=0,所以原式=a2十a-2=-2. (2)原式=（a+b)÷(a+b)2(a-b) 1 8a3b9 ab6 4(a-b) =(a+b) a'bs 8ab (a+b)2(a-b)2·4(a-b) =a+b 2a 12 当a=- 2b=了时，原式 2 -2+3 3 2x(-2) 6 19.解：(1) ②因为()广-=（告）=()》广=票所以 ()=() (3)= ④原式=()×()‘-()×()广×名 (停×名)×号-8×号-19 =5 9.2.2分式的加减 第1课时分式的通分 1.C2.12x2y 3.解：(1)最简公分母为10x3y2 (2)最简公分母为12x3yz2. (3)最简公分母为(1-a)3. (4)最简公分母为2a(a十1)(a2+1). 111 4.B【解析】分式。-6。十b'。-D的最简公分母是 1 a-b (a十b)(a-b),所以通分以后，a十6的结果是。-6 5.6a(a-b） 6.解：(1)最简公分母是10abc, 4a8a27b7b3 5b2c 10ab2c'10ac 10ab2c" (2)最简公分母是2(a十2)(a-2), 1 3 3(a+2) a2-42(a+2)(a-2)'4-2a 2(a+2)(a-2) (3)最简公分母是6abc3, 20 七年级数学HK版 C 3c1 6a'b2 2a'b=6a2bc,6c=-6a'6c, b 26 3a'c6a'b'c 7.D【解析】A.最简公分母是(x-2)(x十3)2，故该选项 不符合题意； 1 (x+3)2 B,-2(x一2)十3，通分正确，故该选项不符合 题意； 1 x+3 C.(x-2)(x+3)=(x-2)+3),通分正确，故该 选项不符合题意； 2 2(x-2) Dx十3x-2)x3·分子应为2x-2)=21 一4，通分不正确，故该选项符合题意. 8.A【解析】因为它们的最简公分母为3(a+1)2(a十 2),所以三个分式通分后的分子分别为一(a十1)2,6(a +2),3a(a+1),分子之和为2a2+7a十11. 9.35或10 10.解：(1)最简公分母为2ab, 2a_4a2c_2c b 2ab'ab 2ab'2ab' (2)最简公分母为(x十y)(x一y), 2xy 2xy(x-y) (x+y)2(x十y)(x-y)1 x x(x+y) x2-y2(x+y)2(x-y) (3)最简公分母为3(a十3)(a-3)2, 2 2 、 2(a+3)(a-3) 9-3a3(3-a) 3(a+3)(a-3)7, a-1 a-1 3(a-1)(a-3) a2-9(a十3)(a-3)3(a+3)(a-3)2 a 3a(a+3) a2-6a+9(a-3)2-3(a+3)(a-3) (4)最简公分母为(a-b)(b一c)(a-c), 1 b-c (a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(a-c)' 1 a-c (b-c)(b-a)=-(a-b)(b-c)(a-c) 1 a-b (c-a)(c-b)(a-b)(b-c)(a-c) 11.解：错误：第一步的最后结果不能进行去分母，第二步 的通分过程中符号出现问题，并且不能进行去分母. x-3_x-3 x-3 改正：-xx(x-1)x(x+1D(x-D 3 3 3(x+1) x-x2x(1-x)x(x+1)(x-1) 第2课时分式的加减 1.B2.A3.A 4.(1)1(2)2(3)2 5.解：1)原式=2x+y+x-2y-x十y=2z2 3xy 3xy 3xy' (2)原式=2二x (3)原式= 2x-2y_2(x-y)_2 (x-y)2(x-y)2x-y 6.D7.D 8【解】原式一号一号 x-1 1 (x+1)(.x-1)x+1 1 9.6x 10、26 12 1 11.解：1)原式=(m+3)(m-3)m-3 12 m+3 (m+3)(m-3)(m+3)(m-3) 9-m (m+3)(m-3) =9-m m2-91 3(x-2) (2）原式=(x+2)(x-2) x十2 一(x+2)(x-2) 2x 十(x+2)(x-2 3x-6-x-2+2x (x十2)(x-2) 4(x-2) =(x+2)(x-2） 4 x+2 12.A 十。=，所以1=11 13.D【解析】因为1+上=1 v f u 、·所以三 u-f' ab ab 14.1【解析】因为ab=1,所以原式= a2+ab b2+ab b aa+b a+6+a+6-a+6-1. ◆一题多解法◆ 1 由ab=1,得a= ，所以原式= +16+7 1b2+1 6+16+1-6+i=1. 15.-2【解标】因为千2十名2 b_a(.x-2)+b(x十2) x2-4 T下)x二2(a一b）三4x恒成立，所以a+b x2-4 4,a一b=0,所以a=2,b=2,所以a-2b=2一2×2 =-2. 16.解：由题意可 a a+1a(a+Da十，所以M=a, a 1 a2 1 所以原式-a十i一+a-a(a+)a(a+) a2-1_(a+1)(a-1D_a-1 a(a+1) a(a+1) a 当a=100时，原式-=00-器 17.解：1)1=1 1 nn+1n(n+1) 1 n (2)因为 为+1+mm+1D=n(n+1)Tn(m+1) n+11 11 1 n(m十一n,所以元n中市十nm十D这个结论是 正确的. 18.解：(1)P-Q≥0.理由如下： P-Q=1克-智名 =2+2x+1-4x x十1 （x-1)2 x+1· 因为x>0,所以x+1>0,(x-1)≥0， 所以P一Q≥0. (2)由题意可得，y= 32x=3-2x= +1一x+7=x+ =2x+1)+5=-2+5 x+1 +1 因为x,y是整数， 所以x+1=土1或x十1=士5. 当x+1=1时，y=3;当x+1=-1时，y=-7: 当x十1=5时，y=-1:当x十1=-5时，y=-3. 综上，y的整数值是3或-7或-1或一3. 第3课时分式的混合运算 1.D 2.D【解析】嘉嘉第二步出错，琪琪第四步出错，两人计 算都不正确 3.解：(1)原式= a+1+a-1.a-1=2a = a-1 2aa-1· (a+1)(a-1) =a+1. 2a (2)原式=号千-+-D x ,x+1 x 1 x-1 4氟，0原式-2-9开2+是-号+ =+1 x 当x=3时，原式=3+1-4 33· (2)原式=a (a-b)2 a-b a Fa-b'(a+b)(a-b)-a+b-a+b 下册参考答案 21△ a-b b a+b a+b 因为6-2a=0,所以b=2a,所以原式=，士22=号. 5.解：原式=-2：（x-2)(x+2) x-1 (x-1)2 x-2(x-1)2 x-1‘(x-2)(x+2) =x-1 x+21 因为x一1≠0，x-2≠0，x+2≠0，所以x≠1，x≠2，x ≠一2， 所以x的值可以为0或一1. 当=0时，原式=子 (当x=-1时，原式=-2) 6B【解折1（日-）· =y-x. xy x-y ry x'-y x一y xy (x+y)(x-y)x+y 一题多解法 xy 1 ty 1 x y ）·2-y x r2-y y xy y x x-y x-yx-y r-y (x+y)(x-y) 1 x+y 7.A【解析】A=(2a-4)÷2a-2+3 a+2十a-7=2(a-2)· 品+高-+品+1 a+2 8.(1)11(2)15【解析】(1)原式=a(a-2)-4=a2- 2a-4. 因为a2-2a-15=0,所以a2-2a=15,所以原式=15 -4=11. (2)原式=a-4a+4.a2(a-2)2 a2 a a-2= a-2a2 2a,所以原式=15. 9.解：1)原式=-1-1÷x-2=x-2,(x-1D x-1 ÷(x-1)=x-i· x-2 =x一1.因为x一1≠0，x一2≠0，所以x≠1，x≠2，所 以x=3.当x=3时，原式=2. (2)原式=(a-3b) ÷a-46-562_(a-36) a-2b a-2b a-2b a-2b =a-3b (a+3b)(a-3b)-a+36因为a+31+(6+2)2=0. 所以a+3=0,b十2=0，所以a=一3，b=一2，所以原 式x二3十6=-1 -3-6 3 10.解：(1)-2 2证明：1-6）'=(。）-6-2a6+a b 422 七年级数学HK版 a-b ab 2 b2=2ab. 所以5-2ab+a_6-a2-b)+a26 =2. 11.解：(1)①③④ (2)原武=a1)十2=a1←+a三=a1 a-1 2 +。 3.x+6x-1x(x+2)3x+6 (3)原式=+1-x·(x+1)(x-Dx+ x+2_2x+4-2x+)+2=2+,2 x+1x+1x+1 x+1 因为该式的值为整数， 所以x+1=士1或x十1=士2，解得x=0或-2或1 或-3. 又因为x十1≠0，x一1≠0，x2十2x≠0，所以x≠0，x ≠1，x≠-1，x≠-2，所以x=-3. 解题技巧专题分式运算中的一些常用技巧 1.解：原式=4·a+1a-1》=a-1. a+· a 当a=2时原式=号-1=号 3 1 2.解：原式=x-2-x(-2).(x-2) x-2 x-1 =x-2-x2+2x.(x-2)2 x-2 x-1 _2(x-1),(x-2)2 x-2 x-1 =2x-4. 当x=一7时，原式=2×（←号）-4=-5 3.解：原式=m-9.3m(m-2) m-2 m-3 =m+3)(m-3).3m(m-2) m-2 m-3 =3m(m+3)=3m2+9m. 由m2+3m-1=0,得到m2+3m=1, 则原式=3(m2+3m)=3×1=3. 4解：由x-5x+1=0,得x≠0，则x+-5, 所以x+-(+）》- =[(x+)-2]-2 =(52-2)2-2=527. 5.解：因为a+日-5，所以(a+)厂广=25，即a+ 23,所以十+中=。2+1+号=23+1=24，所以 a21 a+a2+124 6.解：由2-3x十=-1，得x≠0， 则-3x+1=-1, x 所以x-3+1=-1,即x十1=2. 1 所以x-9x+1一7 9.3分式方程 第1课时分式方程及其解法 1.D 2.6【解析】将x=4代入分式方程，可得“，-1，解得 4 a=6. 3.D4.A5.x=-1 6.解：(1)去分母，得2x-x(x十1)=(1-x)(x十1)， 去括号，得2x-x2-x=1-x2, 移项，得2x-x2一x十x2=1, 合并同类项，得x=1. 检验：当x=1时，x(x十1)≠0. 故x=1是原分式方程的解。 (2)方程两边同乘以(x十3)(x一3)，得(x十1)(x一3) -12=(x+3)(x-3), 去括号、移项，得2x=一6， 解得x=一3. 检验：当x=-3时，(x十3)(x一3)=0. 故x=一3是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解. 7.x=4 变式题D【解析】方程去分母，得5-(x-3)=m.因 为分式方程有增根，所以x一3=0，所以m=5. 8.C【解析】去分母，得x(x+2)一(x一1)(x十2)=3， 去括号，得x2十2x一x2一2x十x十2=3，合并同类项 得x十2=3，解得x=1.检验：当x=1时，（x一1)(x十 2)=0.故x=1是原分式方程的增根，所以原分式方程 无解 9.A【解析】由题意，得x十1≠0，即x≠一1.方程去分 母，得x十1一m.x=0,移项，得x-mx=-1,合并同类 项，得1-a=-1,系数化为1：得因为 原分式方程的解是负数，所以m一1<0且m-1≠ 一1，解得m<1且m≠0. 10.D【解析】方程两边同乘以x(x一2)，得3x一a十x =2(x一2)，所以a=2x十4.由题意可知，分式方程的 增根为x=0或x=2.当x=0时，a=4;当x=2时， a=8.综上所述，实数a的值为4或8. 2 1 11.x=一1【解析】根据题意，得，十3x十2去分母， 得2(x十2)=x十3，去括号，得2x十4=x十3，解得x =一1.检验：当x=一1时，(x十3)(x十2)≠0.故x =一1是原分式方程的解. 12.m≤1且m≠一1【解析】方程去分母，得一m-1=x -2,解得x=-m十1. 因为方程的解是非负数， 所以x>≥0且x≠2， 所以-m+1≥0且-m十1≠2， 解得m≤1且m≠-1. 变式题2或一1【解析】方程去分母，得3一(kx一1) =x-2,整理，得(k十1)x=6.①当x=2时，分母为 0,方程无解，即2(k十1)=6，解得k=2:②当k十1= 0,即k=一1时，方程无解.综上，k的值为2或一1. 13.解：方程两边同乘以(x十2)(x一1)，得2(x十2)十mx =x-1,整理，得(m+1)x=-5. (1)将x=1代入，得m=-6. (2)由题意，得x=1或x=-2,分别代入，得m=-6 3 或m=2 (3)当m十1=0时，该方程无解，此时m=一1； 当m十1≠0时，原分式方程有增根，由(2)得m=一6 3 或m=2 综上所述，m的值为-1或-6或 14.解：(1)6-5 (2因为3x+m+2)n-5》=2m-4,所以3z十1十 3.x+1 (m+2)(n-5)=2m-3. 3x+1 令3x+1=,则有1+n+2)n-5)=2m-3=(m十 2)+(n-5) 设该方程的两个根分别为t1,t2,且11<12，所以t1= n一5，t2=n+2,即3x1+1=n一5,3.x2+1=n+2,所 以x,=”-6 3,3x2+2=n+3, n-6 3+31 所以3x,+2n十3》 第2课时分式方程的实际应用 1.A 2.3(x-1)=6210 x 3.解：设第一批足球的单价为x元，则第二批足球的单价 为(x一2)元. 由题意相 1560 -X2= r-2,解得x=80. 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意， 则x一2=78. 23N 下册参考答案