8.4.2 公式法&解题方法专题 因式分解的常用方法-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

8.4.2公式法 第1课时直接用公式法分解因式 里点梳理 公式法：如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用，那么就可以将某些多项式分解因式， 这种方法叫公式法，用字母表示为a2±2ab十b2=(a±b)2,a2-b2=(a十b)(a一b). 已课内基础闯关 (2)x2-4.xy+4y2= 1 知识点① 1 运用平方差公式分解因式 (3)x2 2x+16 1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分 (4)x4-18x2+81= 解的是 (5)(x2+4)2-16.x2 A.a2-b2 B.-a2-b2 已课外拓展提高 C.a2+62 D.a2+2ab+b2 7.若(92一1)(112一1)=8×10×12k,则k的值 2.将(a一1)2一1分解因式，结果正确的是( 为 A.a(a-1) B.a(a-2) A.12 B.10 C.8 D.6 C.(a-2)(a-1) D.(a-2)(a+1) 8.简便计算：3.52+7×1.5+1.5= 3.因式分解： (1)x2-9= 9.若a+b=4a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2 (2)x2-25y2= 的值为 (3)25-4x2y2= 10.先阅读材料，再解答下列问题. 因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 4.把下列各式分解因式： 解：将x+y看成整体，令x十y=m,则原 (1)(xy+1)2-(xy-1)2. 式=m2+2m+1=(m+1)2, 再将m还原，得原式=(x十y十1)2 这样的解题方法叫作“换元法”，请你用“换 (2)x4-81. 元法”对下列多项式进行因式分解： (1)1+2(x-y)+(x-y)2. (2)(x+y)(x+y+18)+81. 知识点② 运用完全平方公式分解因式 5.(2025合肥期末)下列多项式中，可以用完全 平方公式进行因式分解的是 ( A.x2-2xy+4y2 B.-x2-25y2 C.4x2-y2 D.x2+16xy+64y2 6.分解因式： (1)x2+2x+1= 下册第8章 47△ 第2课时综合运用提公因式法与公式法分解因式 香/便图税理 提公因式法与公式法的综合运用：先提取公因式，再对余下的多项式利用公式法继续分解即可， 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点提公因式法与公式法的综合运用 6.下列因式分解正确的是 1.分解因式：a3-9a= A.a3-4a=a(a-2)2 A.a(a-3)(a十3) B.a(a2+9) B.4a3-a=4a(a+1)(a-1) C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9) C.4a3+2a2+a=a(2a+1)2 2.把多项式4x2y一4xy2-x3分解因式的结果 D.4a3+4a-8a2=4a(a-1)2 是 7.已知ab=-2,a-3b=5,则a3b-6a2b2+ 3.分解因式： 9ab3的值为 () (1)(2025合肥肥西期未)x3一36.x= A.-10 B.20 C.-50D.40 8.计算：17×512-492×17= (2)a+2ab+ab2= 9.若长与宽分别为a,b的长方形的周长为16， 4.因式分解： 面积为12，则a3b+2a2b2+ab3的值为 (1)-2x2+12x-18. 10.开放题已知多项式①x2一2xy;②x2一 4y2;③x2-4xy+4y2. (1)把这三个多项式因式分解。 (2)请选择下列其中一个等式，求x与y之 (2)a2(x-y)+9b2(y-x). 间的关系， A.①+②=③；B.①十③=②. 5.先分解因式，再计算求值： (1)x4-4x2,其中x=3. (2)2(a-1)2-12(a-1)+18,其中a=2. 48 七年级数学HK版 第3课时运用分组分解法分解因式 香但流理 分组分解法：分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式， (1)一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二 二分法，②三一分法.例如：①ax十ay+bx+by=x(a十b)+y(a+b)=(a十b)(x+y);②2xy-x2+1 y2=-(x2-2xy+y2)+1=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y). (2)对于不能直接因式分解的两项或三项多项式，也可以拆项或补项后再用分组分解法分解因式. 课内基础闯关 (2)m2-4mn-3m+6n+4n2. 知识点①直接运用分组分解法分解因式 1.把多项式4x2一2x一y2一y用分组分解法 分解因式，正确的分组方法应该是( A.（4x2-y)-(2.x+y2) B.(4x2-y2)-(2x+y) C.4x2-(2x+y2+y) D.(4x2-2x)-(y2+y) 知识点② 拆项或补项后再运用分组分解法 2.下列式子中，属于2x3-x2+2x-1的因式 分解因式 的是 5.用指定的方法把下列各式分解因式： A.z2 B.2x C.2x-1D.2x+1 (1)x2+6x+5(拆常数项). 变式题已知多项式求因式→已知多项式 的一个因式求多项式中字母参 数的值 已知x3+2x2一3x十k因式分解后，其中 有一个因式为(x十2)，则k的值为( A.6 B.-6C.10 D.-10 (2)x2-8.x+7(拆一次项). 3.分解因式： (1)x2+xy-x2-y2= (2)x2-y2-2x-2y= (3)a2-2ab+b2-4= 4.把下列各式分解因式： (3)x2十7x一18（逆用乘法法则）. (1)x2-4y2-6.x-4y+8. 下册第8章 49△ 巴课外拓展提高 10.已知m+4|与n2一2n+1互为相反数，把 6.已知a=2026x+2025,b=2026.x+2026, 多项式x2十4y2-mxy-n分解因式。 c=2026x+2027,那么a2+b2+c2-ab bc一ca的值为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 7.一题多解法多项式a2一5a一6因式分解的 结果是 ( A.(a-2)(a+3) B.(a-6)(a+1) C.(a+6)(a-1) D.(a+2)(a-3) 8.(1)已知x-y=1,则x2-y2+x-3y的值 已综合能力提升 为 11.运算能力观察下列式子的因式分解做法： (2)已知x+y+之=0，则ax十ay十a之一bx ①x2-1=(x-1)(x+1): 一by一bx的值为 ②x3-1=x3-x+x-1=x(x2-1)+(x 9.对于题目“分解因式x3一4x2+6x一4”，小 -1)=x(x+1)(x-1)+(x-1)=(x- 梦和小璐有两种不同的解法，如下图： 1)(x2+x+1); 拆项法： 先提公因式再拆项： ③x-1=x4-x+x-1=x(x3-1)+(x x3-4x2+6x-4 x3-4x2+6.x-4 -1)=x(x-1)(x2+x+1)+(x-1)= =(x3-2.x2)-(2.x =x(x2-4x+4+2) (x-1)(x3+x2+x+1): -4x)+(2x-4) -4 … =… (1)仿照以上做法，对x5一1进行因式 请你根据她们的思路完成因式分解。 分解， (2)观察以上结果，猜想：x”一1= (n为 正整数). (3)根据以上结论，求75十7十73+72+7十 1的值. 50 七年级数学HK版 解题方法专题 因式分解的常用方法 题型① 提公因式法 题型③ 提公因式法与公式法的综合运用 1.(1)x(x-y)+y(y-x). 4.把下列各式分解因式： (1)a3b3+2a2b2+ab. (2)x2(x-2)-16(x-2). (2)(x-y)3+4x(x-y)2. 题型④分组分解法 5.分解因式： 2.用简便方法计算：39×37一13×3. (1)a2-2ab+a-2b. 题型②公式法 (2)x2-4.xy+4y2-1. 3.把下列各式分解因式： (1)(m2+5)2-12(m2+5)+36. (3)a2-4ab+4b-16. (2)(x2+9y2)2-36.x2y2. 下册第8章 5△5 4 1 =4X(1+4)2-5 Γ4 =5%-5 41 8.4.2公式法 第1课时直接用公式法分解因式 1.A2.B 3.(1)(.x+3)(x-3)(2)(x+5y)(x-5y)(3)(5+ 2xy)(5-2xy) 4.解：(1)原式=(xy+1十xy-1)(xy+1-xy+1) =4xy. (2)原式=(x2-9)(x2+9) =(x-3)(x+3)(x2+9). 5.D 6.(1)(x+1)2(2(x-2y)2(3)(x-) (4)(x-3)(x+3)2(5)(x+2)(x-2) 7.B【解析】因为(9-1)(112-1)=8×10×12k,所以 (9+1)(9-1)(11+1)(11-1)=8×10×12k,所以80 ×120=8×10×12k,所以k=10. 8.25【解析】原式=3.52+3.5×2×1.5+1.5 =(3.5+1.5)9 =52=25. 9.12【解析】原式=(a+1+b一1)(a+1-b+1)=(a +b)(a-b+2).当a+b=4,a-b=1时，原式=4× (1+2)=12. 10.解：(1)令x一y=m,则原式=m2+2m十1=(m十 1)2,再将m还原，得原式=(x一y十1)2 (2)令m=x+y,则原式=m(m十18)+81=m2+ 18m+81=(m+9)2, 再将m还原，得原式=(x十y十9) 第2课时综合运用提公因式法与公式法分解因式 1.A 2.-x(x-2y)2【解析】4.x2y-4xy2-x3=-x(x2- 4xy+4y2)=-x(x-2y)2. 3.(1)x(x+6)(.x-6)(2)a(b+1) 4.解：(1)原式=一2(x2一6x+9)=-2(x一3)2. (2)原式=(x-y)(a2-9b2)=(x-y)(a十3b)(a- 3b). 5.解：(1)原式=x2(x2-4)=x2(x+2)(x-2). 当x=3时，原式=3×(3+2)X(3-2)=9×5×1 =45. (2)原式=2[(a-1)2-6(a-1)+9] =2(a-1-3)2 =2(a-4)2. 当a=2时，原式=2×(2-4)2=2×4=8. 6.D【解析】a3-4a=a(a2-4)=a(a十2)(a-2),则A 选项不符合题意；4a3-a=a(4a2-1)=a(2a+1)(2a 416 七年级数学HK版 -1),则B选项不符合题意；4a3+2a2十a=a(4a2+ 2a十1)，则C选项不符合题意；4a3+4a-8a=4a(a 十1一2a)=4a(a-1)2,则D选项符合题意. 7.C【解析】原式=ab(a2-6ab十9b2)=ab(a-3b)2. 把ab=-2,a-3b=5代入，得原式=-2×52=一50. 8.3400【解析】原式=17×(512一492)=17×(51+49) ×(51-49)=17×100×2=3400. 9.768【解析】因为长方形的周长为16，面积为12，所以 2(a+b)=16,ab=12,所以a+b=8,所以ab+2a2b +ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=12×82=12 ×64=768. 10.解：(1)①x2-2xy=x(x-2y). ②x2-4y2=(x+2y)(x-2y). ③x2-4xy+4y2=(x-2y)2. (2)示例：选择A. 因为①十②=③， 所以x(x-2y)十(x十2y)(x-2y)=(x-2y)2, 即x(x-2y)+(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2=0. 因式分解，得(x-2y)(x+4y)=0, 所以x-2y=0或x十4y=0, 解得x=2y或x=-4y. 第3课时运用分组分解法分解因式 1.B 2.C【解析】原式=2x(x2十1)一(x2十1)=(x2+1)(2x 一1)，因此原式的因式是x2十1,2x一1. 变式题B【解析】因为x3+2x2-3.x十k=x2(x十2) -3x+k有一个因式为(x十2)， 所以一3x十k是(x十2)的倍数，所以k=一6. 3.(1)(.x+y)(x-z)(2)(x+y)(x-y-2)(3)(a- b+2)(a-b-2) 4.解：(1)x2-4y2-6.x-4y+8 =(x2-6.x+9)-(4y2+4y十1) =(x-3)2-(2y+1)9 =(x-3+2y+1)(x-3-2y-1) =(x+2y-2)(x-2y-4). (2)m2-4mn-3m+6n+4n =(m2-4mn+4n2)-(3m-6n) =(m-2n)2-3(m-2n) =(m-2n)(m-2n-3). 5.解：(1)原式=x2+6x+9-4 =(x十3)2-4 =(x+3+2)(x+3-2) =(x+1)(x+5). (2)原式=x2-7x-x十7 =x(x-7)-(x-7) =(x-1)(x-7). (3)原式=x2+(9-2)x-9×2 =(x十9)(x-2). 6.D【解析】由题意可得，a一b=一1，b一c=一1，c一a =2.所以原式=号(2a+26+2x2-2ab-2k-2a） =2[a-6)+(6-c)+(c-a)门=2[(-1+ (-1)2+22]=3. 7.B【解析1a2-5a-6=a2-5a十（受）°-6-（受） (a-)'-(3)'=(a-号+)(a-8-)=a -6)(a+1). ◆一题多解法、 a2-5a-6=a2+a-6a-6=a(a+1)-6(a+ 1)=(a-6)(a+1). 8.(1)2(2)0【解析】(1)因为x一y=1,所以原式=(x +y)(x-y)+x-3y=x+y+x-3y=2x-2y= 2(x-y)=2.(2)原式=a(x十y+z)-b(x+y+)= (x十y+x)(a一b).当x+y+之=0时，原式=0(a b)=0. 9.解：拆项法：x3-4x2+6.x-4 =(.x3-2.x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x一2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x十2)； 先提公因式再拆项：x8一4x2十6.x一4 =x(x2-4x+4+2)-4 =x[(x-2)2+2]-4 =x(x-2)2+2x-4 =x(x-2)2+2(x-2) =(x-2)[x(x-2)+2] =(x-2)(x2-2x+2). 10.解：根据题意，得m+4+(n2一2n十1)=0，即|m十4 +(n-1)2=0, 所以0十4二0解得=一4， n-1=0, n=1, 所以原式=x2+4y2+4.xy-1=(x+2y)2-1=(x+ 2y+1)(x+2y-1). 11.解：(1)x5-1 =x5-x十x-1 =x(x-1)+(x-1) =x(x-1)(x3+x2+x+1)+(x-1) =(x-1)(.x+x3+x2+x+1). (2)(x-1)(x"-1+x"-2+x"-3+…十x十1) (3)因为75-1=(7-1)(7+7+73+72+7+1)， 7-1 所以73+7+73+72+7+1= 6 解题方法专题因式分解的常用方法 1.解：(1)原式=x(x-y)-y(x-y) =(x-y)(x-y) =(x-y)2. (2)原式=(x-y)2(x-y+4x) =(x-y)2(5x-y). 2.解：原式=39×37一13×3×3 =39×37-39×27 =39×(37-27) =39×10 =390. 3.解：(1)原式=(m2+5-6) =(m2-1)2 =(m+1)2(m-1)2. (2)原式=(x2+9y2)2-(6.xy) =(x2+9y2+6xy)(x2+9y2-6xy) =(.x+3y)2(x-3y)2. 4.解：(1)原式=ab(a2b2+2ab+1) =ab(ab+1)2. (2)原式=(x-2)(x2-16) =(x-2)(x+4)(x-4). 5.解：(1)原式=(a2-2ab)+(a-2b) =a(a-2b)+(a-2b) =(a-2b)(a+1). (2)原式=(.x-2y)-1 =(x-2y+1)(x-2y-1). (3)原式=(a-2b)2-16 =(a-2b+4)(a-2b-4). 章未对点导练 1.B 2.解：(1)原式=2-1+4-9=-4. (2)原式=m6十4m5-4m°=m. 3.解：(1)因为2x-5y+4=0,所以2x-5y=-4, 所以4+1·321-y=(22)r+1。(25)1-y=22+2·25-5y 22-5y+7=24+7=23=8. (2)①当x十2=0，x一1≠0时，x=一2： ②当x-1=1时，x=2; ③当x一1=一1且x+2为偶数时，x=0. 综上所述，所有满足条件的整数x的值为一2或0 或2. 4.B 5.6.4×10- 6.(a-2b)2=a2-4ab+4b 7.解：(1)不可能为负数.理由如下： 因为M=5a+b+3,N=5a+b-3, 所以MN+10=(5a+b+3)(5a+b-3)+10=(5a+ b)2-9+10=(5a+b)2+1. 因为(5a+b)≥0， 所以(5a+b)2+1>0, 所以MN十10的值不可能为负数. (2)M2-N2=(M+N)(M-N)=(5a+b+3+5a+ b-3)(5a+b+3-5a-b+3)=6(10a+2b)=60a +12b. 8.解：(1)设40-x=m,x-10=n, 下册参考答案 17