8.4.1 提公因式法-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

8.4因式分解 8.4.1提公因式法 里点梳理 1.因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解 因式 2.公因式的概念：如果一个多项式的每一项都含有一个相同因式，m就叫作各项的公因式 3.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成两 个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法.一般用字母表示为ma十mb十mc=m(a十b +c: 巴课内基础闯关 A.1-m B.1+m 知识点①因式分解的概念 C.m D.-m 8.因式分解： 1.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的 (1)a2-ab= 是 (2)x2y+2xy= A.x2-x-1=x(x-1)-1 9.把下列各式分解因式： B.x2-1=(x-1) (1)-5a2b3+20ab2-5ab. C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x 2.若多项式x2一mx一21可以分解为(x十3)(x 一7)，则m的值为 (2)(x+y)(x-y)-(x+y)2. 知识点②公因式的概念 3.多项式a2-2a的公因式是 A.a B.a2 C.2a D.-2a 4.单项式6a3b与9a2b3的公因式是( (3)8a(x-y)2-4(y-x)3 A.a2b B.3ab3 C.3a2b D.18a363 5.把多项式x2y一xy”x因式分解时，提取的 公因式是xy,则n的值可能为 ( 10.已知a+b=2,ab=2,求2a2b+2ab2的值. A.6 B.4 C.3 D.2 知识点③运用提公因式法分解因式 6.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的 是 A.x2-y B.x2-2x 变式题本质相同：逆向思维 C.x2+y2 D.x2-xy+y2 若实数a,b满足a十b=5,a2b十ab2= 7.把(a-b)+m(b-a)提公因式(a-b)后，另 -10,则ab的值为 一个因式是 下册第8章 45△ 已课外拓展提高 16.先分解因式，再代入求值：(2x+1)2(3.x一 1山.下列因式分解正确的是 2)-(2x+1)(3x-2)2-x(2x+1)(2 A.a2b-2ab=a(ab-2b) 3x),其中号 B.-a26+2ab=-ab(a+2) C.ab-ab2=ab(1-b2) D.-a2b+ab2=-ab(a-b) 12.整式a2(a2-1)-a2十1的值 A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.符号不确定 13.应用意识农场里有一个长方形鸡舍，如 图.长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别 为a,b,周长为10，且a2b+ab2=30,则鸡 舍的面积为 ( 综合能力提升 17.运算能力阅读下列因式分解的过程，再回 第13题图 答所提出的问题：1十x十x(x+1)十x(x+ A.6 B.10 C.3 D.8 1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+ 14.简便计算： x)2(1+x)=(1+x)3. (1)21×3.14+62×3.14+1.7×31.4. (1)上述分解因式的方法是 (2)分解因式1+x十x(x+1)+x(x+1)2 十…十x(x十1)2025的结果是 (2)20251-20252-2024 20253+20252-2026 (3)利用(2)中结论计算：5十52+53+… +52025 15.1012一9×1010能被91整除吗？请说明 理由. 446 七年级数学HK版(3)原式=(1-2)(1+2)(1-3)(1+3)(1 0)(1+)(1-60)(1+0〉 1、32、4. .×98×100×99×101 =2×2×3×3×…×99×9×10×100 -名×8删 瑞 6.解：(1)原式=2+2a-a-a2十a2-9=a-7.当a= 2时原式=-7宁 (2)原式=a2-9b2+a2-6ab+9b2=2a2-6ab.当a= -3,b=3时，原式=2×(-3)°-6×(-3)×3=24. (3)原式=x2+4xy+4y2-x2+9-4y2=4xy+9.因 为5≥0.(y+是)≥0-5+(+) 0,所以x-5=0,y+4 十子=0，解得x=5y=-子所以 原式=4X5×(-子)+9=-6. 7.解：(1)原式=x5-3x‘+4x3+m.x3-3m.x2+4mx+ n.x2一3.x+4n=x5-3.x‘+(4+m)x3+(一3m+n) x2+(4m-3n)x+4n. 因为展开的结果不含x3和x2项， 所以 4+m=0, -3m十n=0, 解得/m二一4， n=-12. (2)(m+n)(m2-mn+n)=m*-m'n+mn+m'n- mn2十n3=m3十n3.当m=一4，n=一12时，原式=m +n3=(-4)3+(-12)3=-64-1728=-1792. 8.解：(1)去括号，得9x2一5x一9x2十1=51， 移项、合并同类项，得-5.x=50, 系数化成1，得x=-10. (2)将原方程化为(x一2)2+(x-4)(x+4)=(2x一 3)(x+1), 去括号，得x2一4x+4十x2-16=2x2-x-3, 移项、合并同类项，得一3x=9, 系数化成1，得x=-3. 9.解：(1)(82+3×8+1)289 (2)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3m+1)2.理由 如下： 等式左边=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n2+ 3n)(n2+3n+2)+1=n+3n3+2n2+3n3+9n2+6n +1=n+6n3+11n2+6m+1, 等式右边=(n2+3n+1)2=(n2+1)2+2×3n(n2+1) +9n2=n'+2n2+1+6n3+6n+9n2=n+6n3+11n +6n+1, 所以等式左边=等式右边. 8.4因式分解 8.4.1提公因式法 1.C2.43.A4.C 5.A【解析】把多项式x2y一xy”之因式分解时，提取的 公因式是xy,则n≥5. 6.B7.A 8.(1)a(a-b)(2)xy(x+2) 9.解：(1)原式=-5ab(ab2-4b+1). (2)原式=(x+y)[x-y-(x+y)] =-2y(x十y). (3)原式=8a(x-y)2+4(x-y)3 =4(x-y)(2a+x-y). 10.解：原式=2ab(a+b). 把a+b=2,ab=2代入，得原式=2×2×2=8. 变式题一2 11.D 12.A【解析】原式=a(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)(a -1)=(a2-1)2≥0. 13.A【解析】因为鸡舍的周长为10，所以2(a十b)= 10,所以a+b=5.因为a2b+ab2=ab(a+b)=30,所 以ab=30÷5=6.故鸡舍的面积为ab=6. 14.解：(1)原式=3.14×(21+62十17) =3.14×100=314. 20252×(2025-1)-2024 (2)原式-2025×(2025+1)-2026 2024×(20252-1) 2026×(20252-1) 1012 =1013 15.解：能.理由如下： 因为1012-9×101°=101°×(102-9)=10×91， 所以102-9×101°能被91整除。 16.解：原式=(2x+1)2(3.x-2)-(2x+1)(3x-2)2+ x(2x+1)(3x-2) =(2x+1)(3.x-2)[(2x+1)-(3.x-2)+x] =(2x+1)(3x-2)(2x+1-3x+2+x) =3(2x+1)(3x-2). 当x=号时，原式=3×(2×号+1)×(3×号-2) 5 3×3X(-1)=-5. 17.解：(1)提公因式法 (2)(1+x)2026 原武。X4×(5+5+52+…+5 卡1×(4X5+4X52+4X53+…+4X5325) =×(1+4+4X5+4X52+4X53+…+4X533 下册参考答案 15个 5 4 1 =4X(1+4)2-5 Γ4 =5%-5 41 8.4.2公式法 第1课时直接用公式法分解因式 1.A2.B 3.(1)(.x+3)(x-3)(2)(x+5y)(x-5y)(3)(5+ 2xy)(5-2xy) 4.解：(1)原式=(xy+1十xy-1)(xy+1-xy+1) =4xy. (2)原式=(x2-9)(x2+9) =(x-3)(x+3)(x2+9). 5.D 6.(1)(x+1)2(2(x-2y)2(3)(x-) (4)(x-3)(x+3)2(5)(x+2)(x-2) 7.B【解析】因为(9-1)(112-1)=8×10×12k,所以 (9+1)(9-1)(11+1)(11-1)=8×10×12k,所以80 ×120=8×10×12k,所以k=10. 8.25【解析】原式=3.52+3.5×2×1.5+1.5 =(3.5+1.5)9 =52=25. 9.12【解析】原式=(a+1+b一1)(a+1-b+1)=(a +b)(a-b+2).当a+b=4,a-b=1时，原式=4× (1+2)=12. 10.解：(1)令x一y=m,则原式=m2+2m十1=(m十 1)2,再将m还原，得原式=(x一y十1)2 (2)令m=x+y,则原式=m(m十18)+81=m2+ 18m+81=(m+9)2, 再将m还原，得原式=(x十y十9) 第2课时综合运用提公因式法与公式法分解因式 1.A 2.-x(x-2y)2【解析】4.x2y-4xy2-x3=-x(x2- 4xy+4y2)=-x(x-2y)2. 3.(1)x(x+6)(.x-6)(2)a(b+1) 4.解：(1)原式=一2(x2一6x+9)=-2(x一3)2. (2)原式=(x-y)(a2-9b2)=(x-y)(a十3b)(a- 3b). 5.解：(1)原式=x2(x2-4)=x2(x+2)(x-2). 当x=3时，原式=3×(3+2)X(3-2)=9×5×1 =45. (2)原式=2[(a-1)2-6(a-1)+9] =2(a-1-3)2 =2(a-4)2. 当a=2时，原式=2×(2-4)2=2×4=8. 6.D【解析】a3-4a=a(a2-4)=a(a十2)(a-2),则A 选项不符合题意；4a3-a=a(4a2-1)=a(2a+1)(2a 416 七年级数学HK版 -1),则B选项不符合题意；4a3+2a2十a=a(4a2+ 2a十1)，则C选项不符合题意；4a3+4a-8a=4a(a 十1一2a)=4a(a-1)2,则D选项符合题意. 7.C【解析】原式=ab(a2-6ab十9b2)=ab(a-3b)2. 把ab=-2,a-3b=5代入，得原式=-2×52=一50. 8.3400【解析】原式=17×(512一492)=17×(51+49) ×(51-49)=17×100×2=3400. 9.768【解析】因为长方形的周长为16，面积为12，所以 2(a+b)=16,ab=12,所以a+b=8,所以ab+2a2b +ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=12×82=12 ×64=768. 10.解：(1)①x2-2xy=x(x-2y). ②x2-4y2=(x+2y)(x-2y). ③x2-4xy+4y2=(x-2y)2. (2)示例：选择A. 因为①十②=③， 所以x(x-2y)十(x十2y)(x-2y)=(x-2y)2, 即x(x-2y)+(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2=0. 因式分解，得(x-2y)(x+4y)=0, 所以x-2y=0或x十4y=0, 解得x=2y或x=-4y. 第3课时运用分组分解法分解因式 1.B 2.C【解析】原式=2x(x2十1)一(x2十1)=(x2+1)(2x 一1)，因此原式的因式是x2十1,2x一1. 变式题B【解析】因为x3+2x2-3.x十k=x2(x十2) -3x+k有一个因式为(x十2)， 所以一3x十k是(x十2)的倍数，所以k=一6. 3.(1)(.x+y)(x-z)(2)(x+y)(x-y-2)(3)(a- b+2)(a-b-2) 4.解：(1)x2-4y2-6.x-4y+8 =(x2-6.x+9)-(4y2+4y十1) =(x-3)2-(2y+1)9 =(x-3+2y+1)(x-3-2y-1) =(x+2y-2)(x-2y-4). (2)m2-4mn-3m+6n+4n =(m2-4mn+4n2)-(3m-6n) =(m-2n)2-3(m-2n) =(m-2n)(m-2n-3). 5.解：(1)原式=x2+6x+9-4 =(x十3)2-4 =(x+3+2)(x+3-2) =(x+1)(x+5). (2)原式=x2-7x-x十7 =x(x-7)-(x-7) =(x-1)(x-7). (3)原式=x2+(9-2)x-9×2 =(x十9)(x-2). 6.D【解析】由题意可得，a一b=一1，b一c=一1，c一a