7.2 一元一次不等式&重难题型专练 常见的一元一次不等式的实际应用-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

7.2一元一次不等式 第1课时简单的一元一次不等式的解法 里点梳理 1.一元一次不等式的概念：含有一个未知数，未知数的次数是1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元 一次不等式 2.解简单的一元一次不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式 3.解不含分母的一元一次不等式的步骤：①去括号；②移项（依据：不等式的基本性质1）；③合并同类项； ④系数化为1（依据：不等式的基本性质2或3）. 已课内基础闯关 知识点③ 解简单的一元一次不等式并在数 知识点① 一元一次不等式的概念 轴上表示解集 1.(2025合肥肥西期中)下列各式中，是一元一 6.不等式6一3.x>0的解集在数轴上表示为 次不等式的是 ( A.x-3 B.x-1=2 -2-1012 -2-101 C.x+y>1 D.x-3>5 B 2.已知3m一2x2+m>1是关于x的一元一次 不等式，那么m= 012 -2-101 2 D 变式题若(m一1)xm一3>0是关于x的 变式题解不等式并在数轴上表示解集→ 一元一次不等式，则m= 根据数轴推出不等式 知识点②解简单的一元一次不等式 若一个不等式的解集在数轴上表示如图， 3.不等式9>一3x的解集为 则这个不等式可以是 4.若关于x的方程x一5=一3a的解为正数， -10123 则实数a的取值范围为 变式题图 5.解下列不等式： A.x-1≤0 B.x-1≥0 (1)6x+2<-3x-4. C.x+1≥0 D.x+1≤0 7.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)5x+1<2(4+x). (2)2(x-2)≤4x-2. 下册第7章 13 (2)2(x2)≥5(x-1)-8. 13.已知关于x,y的二元一次方程组 2x-3y=-2, 的解满足x一y<0, x-2y=k (1)求k的取值范围. (2)在(1)的条件下，若不等式(2k+1)x< 2k十1的解集为x>1,求整数k的值. 已课外拓展提高 8.不等式2(1一x)≥4一3.x的解集在数轴上表 示正确的是 01234 支01234 A B 2站 品023女 C D 9.(2025安庆太湖期末)已知关于x的不等式 2x一3a≤一1的解集在数轴上表示如图所 示，则a的值为 色综合能力提升 14.运算能力若一元一次不等式①的解都是 -3-2-101234 一元一次不等式②的解，则称一元一次不 第9题图 等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等 C.1 D.-1 式”.例如：不等式x>1的解都是不等式x ≥一1的解，则x≥-1是x>1的“覆盖不 10.已知x=4是关于x的方程kx十b=0(k≠ 等式” 0,b>0)的解，则关于x的不等式k(x一3) 根据以上信息，解决下列问题： 十b>0的解集是 (1)x<-1 x<一3的“覆盖不 1山.在实数范围内规定一种新一。士 等式”（填“是”或“不是”） 的运算“☆”，其规则是a☆b第11题图 (2)若关于x的不等式3.x十a<2是1一3.x =3a十b.已知关于x的不等式x☆m>1 >0的“覆盖不等式”，且1一3x>0也是关 的解集在数轴上表示如图所示，则m的值 于x的不等式3x十a<2的“覆盖不等式”， 是 则a的值为 12.若不等式2(x+1)一5<3(x一1)+4的最 (3)若x<一2是关于x的不等式一x+4m 小整数解是关于x的方程3x一mx=5的 >0的“覆盖不等式”，则m的取值范围为 解，则式子m2一2m十2025的值为 七年级数学HK版 第2课时较复杂的一元一次不等式的解法 香 要▣梳理 解含分母的一元一次不等式的步骤：①去分母（依据：不等式的基本性质2或3）：②去括号；③移项（依据： 不等式的基本性质1)：④合并同类项：⑤化系数为1（依据：不等式的基本性质2或3） 已课内基础闯关 已课外拓展提高 -0 知识点 解含分母的一元一次不等式 4.规定max{m,n}(m≠n)表示m,n中较大的 1.解不等式1时，下列去分母正 数.若max 2x-4x- 3 N ,2=2,则x的取 确的是 值范围是 () A.2x+1-3x-1≥1 A.x>17B.x<17C.x>23D.x<23 B.2(x+1)-3(x-1)≥1 C.2x+1-3x-1≥6 5(2025毫州渴阳期中)芳不等式号-2”， D.2(x+1)-3(x-1)≥6 2的任意一个解都比不等式2y+1≤3y一k 2在数轴上表示不等式2≥-3的解纸。 的解小，则k的取值范围是 正确的是 6.已知关于x的方程2x一a一5=0. -505一 (1)若该方程的解满足x≤2，求a的取值 A B 范围。 -505 05 (2)若该方程的解是不等式1一x十6< 2 C D 3.解下列不等式，并把解集在数轴上表示 2x,的负整数解，求a的值。 3 出来。 -1< (2)2x-1≥3x+2-1. 4 2 下册第7章 15△ 第3课时一元一次不等式的实际应用 要固梳理 利用一元一次不等式解决实际问题的步骤：(1)用含未知数的代数式表示量；(2)根据题中的数量关系列出 一元一次不等式：(3)解一元一次不等式：(4)求出解后要考虑实际意义，从不等式的解集中找出符合题意 的答案；(5)作答 课内基础闯关 5.某工程公司承包了一个施工土方量为120 万m3的路基工程，计划先由乙队单独施工 知识点① 购物与销售问题 50天，然后再由甲、乙两队共同施工100天. 1.某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成 已知乙队平均每天的施工土方量比甲队少 本为2600元/个，标价为3640元/个.如果 0.05万m3,为了保证施工工期不超过150 厂商要以利润不低于5%的售价打折出售， 天，乙队平均每天的施工土方量至少为多少 最多可以打 折. 万立方米？ 2.清明节之际，学校组织“缅怀·清明祭英烈”主 题教育活动.七(1)班的同学手工制作了祭扫用 的绢花.制作绢花需要两种彩色缎带，其中A 种缎带16元/卷，B种缎带12元/卷.已知他们 购买两种缎带共20卷，总费用未超过300元. 他们最多购买了多少卷A种缎带？ 知识点④ 方案问题 6.水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的 不可缺少的物质资源之一.为更好地提升水 质，保护环境，市污水处理管理办公室预购 买10台污水处理设备.现有A,B两种型号 的设备，其价格如下表： 型号 A型 B型 知识点②比赛积分问题 价格/（万元/台）】 12 10 3.在某校的班级篮球联赛中，每场比赛都要分 出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分. 市污水处理管理办公室为了节约开支，计划 购买污水处理设备的资金不超过105万元. 如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得 有哪几种购买方案？ 43分，那么这个班最多能负 场 知识点③行程与工程问题 4.小明打算周末与同学一起徒步，计划上午8 点出发，到最远处后休息2h,下午5点以前 必须回到出发点，如果他们去时的平均速度 是3km/h,回来时的平均速度是4km/h,他 们最远能到的距离为 16 七年级数学HK版 已课外拓展提高 综合能力提升 7.某大学20名同学去工厂车间进行暑假实践 10.应用意识某快递企业为提高工作效率，拟 活动，每名同学每天可以加工5个甲种零件 购买A,B两种型号智能机器人进行快递 或4个乙种零件.已知每加工1个甲种零件 分拣.相关信息如下： 可获利16元，每加工1个乙种零件可获利 信息一 24元.若要使车间每天获利不低于 A型智能机 B型智能机 1800元，则加工乙种零件的同学人数至少 总费用/万元 器人台数 器人台数 为 ( 1 3 260 A.11 B.12C.13 D.14 3 2 360 8.斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程 信息二 度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马 A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 路.某人行横道全长26m,小明以1.3m/s B型智能机器人每台每天可分栋快递18万件. 的速度过该人行横道，行至处时，绿灯进入 (1)求A,B两种型号智能机器人的单价 9s倒计时.小明要在红灯亮起前通过马路， 他的速度至少要提高到原来的 倍（结果保留一位小数）. 9.某水果店销售A,B两种规格的水果礼盒，A 水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒 80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价 为每盒60元.若该店购进A,B两种水果礼 盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售 价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润 (2)现该企业准备用不超过700万元购买 率为40%定价，使得总利润至少为3000元， A,B两种型号智能机器人共10台，则该企 且A,B两种水果礼盒全部售完.最多购进 业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递 A水果礼盒多少盒？ 的件数最多？ 下册第7章 重难题型专练 常见的一元一次不等式的实际应用 题型①工程问题 题型③ 利润问题 1.某高速公路施工路段总长90km.若甲、乙两 3.某商场电视机按进价加价40%进行定价销 工程队合作，6个月可以完成.若甲工程队先 售，春节期间开展“大酬宾八折优惠”活动. 做4个月，剩下的部分由乙工程队做9个月 如果每台电视机的利润不低于360元，那么 可以完成.已知甲工程队每月施工费用为12 每台电视机的进价至少是多少元？如果每 万元，乙工程队每月施工费用为9万元. 台电视机的进价是3200元，那么它是否符 (1)甲、乙两工程队每月的施工路段分别是 合要求？ 多少千米？ (2)按要求该工程需要在11个月内竣工.如 果由甲工程队先做a个月，剩下的部分由乙 工程队来完成.为了保证该工程在要求工期 内完成，甲工程队至少做多少个月？ (3)在(2)的条件下，若该工程总费用不超过 126万元，则该工程有哪几种施工方案？ 题型④不等式与方程（组）的综合问题 4.某乡镇着力发展乡村水果网络销售，在水果 收获的季节，该乡镇用17500元从农户处购 进A,B两种水果共1500kg进行销售，其 中A种水果收购价为10元/kg,B种水果收 购价为15元/kg (1)A,B两种水果各购进多少千克？ (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损 失4%.若该乡镇计划A种水果至少要获得 20%的利润，不计其他费用，求A种水果的 最低销售单价. 题型② 行程问题 2.甲步行的速度为5km/h,先走30min后，乙 从甲的出发地沿相同方向追赶甲，乙步行的 速度最快为6km/h.乙至少需要 h才能追上甲. 18 七年级数学HK版12.解：(1)当x取时，代入不等式左边，得元-3.因为元 一3<1，所以原不等式不成立： 当x取π时，代人不等式左边，得2π-3.因为2π-3 >1,所以原不等式成立. 故π是该不等式的解，不是该不等式的解。 (2)当x取0时，代入不等式左边，得0一5=一5，代 入不等式右边，得3十0=3. 因为一5<3，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得12-5=7，代入不 等式右边，得3+6=9. 因为7<9，所以原不等式成立： 当x取5时，代入不等式左边，得20-5=15，代入不 等式右边，得3+10=13. 因为15>13，所以原不等式不成立 故0,3是该不等式的解，5不是该不等式的解。 13.解：1)由题意，得导火线燃烧的时间为0.O2s,可列 不等式为4×0.02>10. (2)由题意，得轮船从A地到B地的速度为(v十 3)km/h,从B地到A地的速度为(v一3)km/h.因为 从B地匀速航行返回A地用了不到12h,所以12() -3)>10(v+3). 14.解：(1)①<②=③<④< (2)≤(3)≤ 第2课时不等式的基本性质 1.B变式题< 2.>变式题≥ 3.(1)>(2)< 4.一1（答案不唯一）【解析】根据不等式的基本性质3， 在不等式α<b的两边都乘以同一个负数，不等号的方 向改变，可得c<0. 5.C6.D 7.D【解析】因为x<y,且(a一3)x≥(a一3)y,所以a 一3≤0，所以a≤3. 8.R【解析】由图①可知S>P,由图②可知R+P>Q 十S.根据不等式的基本性质可得R一Q>S一P>0, R一S>Q一P,所以R>Q.由图③可知R+Q=S十 P,所以R一S=P一Q,所以P-Q>Q一P,所以P Q>0,所以R一S>0,所以R>S,所以R最重. 9.解：(1)①<②=③> (2)比较a,b两数的大小： 如果a与b的差大于0，那么a大于b: 如果a与b的差等于0，那么a等于b; 如果a与b的差小于0，那么a小于b. (3)(3.x2-3x+7)-(4x2-3.x+7)=3.x2-3x+7 4x2十3x-7=-x2≤0， 所以3x2-3x+7≤4.x2-3x+7. Λ4 七年级数学HK版 7.2一元一次不等式 第1课时简单的一元一次不等式的解法 1.D2.-1变式题-13.x>-3 5 4.a<3 【解析】解方程x-5=一3a,得x=5-3a.由 题意可知，5-3a>0,解得a<3 .5 5.解：(1)移项，得6x+3x<-4-2, 合并同类项，得9x<一6， 2 系数化为1，得x<-3 (2)去括号，得2x一4≤4x一2， 移项，得2x一4x≤一2十4， 合并同类项，得一2x≤2， 系数化为1，得x≥-1. 6.A变式题B 7.解：(1)去括号，得5x+1<8+2x, 移项，得5x一2x<8一1， 合并同类项，得3x<7, 7 系数化为1，得r<3 将不等式的解集表示在数轴上如图， 内42034 3 (2)去括号，得2x一4≥5x一5-8， 移项，得2x-5x≥一5一8十4， 合并同类项，得-3x≥-9， 系数化为1，得x≤3. 将不等式的解集表示在数轴上如图. 方43202为4方 8.A【解析】去括号，得2一2x≥4一3x,移项、合并同类 项，得x≥2. 9.B【解标】解不等式2-3a<-1,得<2由图 1 可知.3a。三一1解得a=3 10.x<7【解析】因为x=4是关于x的方程kx十b=0 (k≠0，b>0)的解，所以4k+b=0,即b=一4k>0,所 以k<0.因为k(x一3)十b>0,所以kx一3k一4k>0, 所以kx>7k,所以x<7. 11.一2【解析】因为x☆m=3.x十m>1,所以x> 1三”.由图可知，不等式的解架是x>1,所以” 1一m =1,解得m=-2. 12.2025【解析】解不等式2(x+1)-5<3(x-1)+4, 得x>一4.因为不等式的最小整数解是关于x的方 程3xmx=5的解，所以将x=一3代人方程，得 -1十3m=5,解得m=2,所以m-2m十2025=2 -2×2+2025=2025. 2x-3y=-2,① 13.解：(1) x-2y=k,② ①-②，得x-y=-2-k. 因为x一y<0,所以一2一k<0,解得k>一2. (2)因为不等式(2k+1)x<2k+1的解集为x>1, 1 所以2k十1<0，解得k<一2： 1 又因为k>一2，所以k的取值范围为一2<k<一2， 所以整数k的值为一1. 1 14.(1)是(2)1(3)m≤-2 【解标12)解不等式3x十a<2.得x<2.2.解不等 式1一>0得<分依题意：得22=号 3,解得a =1.(3)解不等式-x十4m>0,得x<4m.因为x< 一2是关于x的不等式一x十4m>0的“覆盖不等 式”，所以4m≤-2，解得m≤-2 1 第2课时较复杂的一元一次不等式的解法 1.D2.C 3.解：(1)去分母，得x一1-6<3x, 移项、合并同类项，得一2x<7, 7 系数化为1，得x>一2 解集在数轴上表示如图」 -2 (2)去分母，得2x-1≥2(3x十2)-4， 去括号，得2x-1≥6.x十4-4， 移项、合并同类项，得-4x≥1， 系数化为1，得x≤-4： 1 解集在数轴上表示如图 上L上上 -5-4-3-2-1012345 4 4B【解析】由题意，得24-)之2，去分母，得 2 2(2x-4)-3(x-1)<12,去括号，得4x-8-3x+3 <12,移项、合并同类项，得x<17. 5.≥一5【解桥)解不等式4一3>2，得y<-4. 解不等式2y+1≤3y-k,得y≥k+1. 因为不等式兰一>2的任意一个解都比不等式 2y+1≤3y-k的解小， 所以k十1≥一4，所以k≥一5. 6.解：解方程2x-a-5=0,得x=a十5 2 ①因为≤2，所以5≤2， 解得a≤-1. (2)解不等式1-°<3，得x>一2， 2 所以该不等式的负整数解为一1. 由题意，得生5。-1 解得a=-7. 第3课时一元一次不等式的实际应用 1.七五【解析】设打x折销售，根据题意，得3640×8 -2600≥2600×5%，解得x≥7.5.故最多可以打七 五折. 2.解：设购买了x卷A种缎带，则购买了(20一x)卷B种 缎带 根据题意，得16.x+12(20-x)≤300， 解得x≤15. 故他们最多购买了15卷A种缎带. 3.20【解析】设这个班负x场，则胜(28一x)场. 由题意，得3(28一x)十x≥43， 解得x≤20.5. 因为x为非负整数，所以x的最大值为20. 故这个班最多能负20场. 4.12km 5.解：设乙队平均每天的施工土方量为x万m3,则甲队 平均每天的施工土方量为(x十0.05)万m. 由题意，得50x+100[x十(x+0.05)]≥120 解得x≥0.46. 故乙队平均每天的施工土方量至少为0.46万m. 6.解：设购买A型设备x台，则购买B型设备(10一x)台。 根据题意，得12x十10(10一x)≤105， 解得x≤2.5. 故有下列3种购买方案： ①购买A型设备0台，购买B型设备10台； ②购买A型设备1台，购买B型设备9台； ③购买A型设备2台，购买B型设备8台. 7.C【解析】设加工乙种零件的同学有x人，则加工甲 种零件的同学有(20一x)人，每天加工4x个乙种零 件、5(20一x)个甲种零件】 由题意，得24×4x+16×5(20-x)≥1800， 解得x≥12.5. 因为x为正整数，所以x的最小值为13， 故加工乙种零件的同学人数至少为13. 8.1.7【解析】设他的速度要提高到原来的x倍.根据题 意，得9×1.3r≥26×(1-），解得>号.因为3≈ .5 5 1.67,所以他的速度至少要提高到原来的1.7倍. 9.解：设购进A水果礼盒m盒，则购进B水果礼盒n盒 下册参考答案 由题意，得60m+45n=9000,整理，得n=200-一3m. 4 由题意，得(80×0.9-60)m十40%×45n≥3000， 整理，得12m+18n≥3000. 4 4 把n=200-3m代人，得12m+18×(200-3m)≥ 3000, 解得m≤50. 因为m,n均为非负整数， 4 所以当m=48时，n=200-3×48=136. 故最多购进A水果礼盒48盒. 10.解：(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智 能机器人的单价为y万元 依题意，得r十3y=260, 解得/=80， 3.x+2y=360, y=60. 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器 人的单价为60万元. (2)设购买A型智能机器人α台，则购买B型智能机 器人(10-a)台. 依题意，得80a十60(10一a)≤700， 解得a≤5. 因为每天分拣快递22a+18(10一a)=(4a+180)》 万件， 所以当a=5时，每天分拣快递的件数最多，最多为 200万件， 所以选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能 机器人5台. 重难题型专练 常见的一元一次不等式的 实际应用 1.解：(1)设甲、乙两工程队每月的施工路段分别是 x km,y km. 由题意，得 6x十6v=90解得区=9， 4.x+9y=90, y=6. 故甲、乙两工程队每月的施工路段分别是9km,6km. (2)由题意，得4+9090≤11. 6 解得a≥8， 故甲工程队至少做8个月. (3)由题意，得12a+9090×9<126. 6 解得a≥6. 因为90一9a≥0，解得a≤10， 所以8≤a≤10. 故该工程一共有3种方案： ①甲工程队先做8个月，乙工程队做90-8×9=3 6 (个)月： ②甲工程队先做9个月，乙工程队做90-9X9-1.5 6 6 七年级数学HK版 (个)月； ③甲工程队单独做10个月」 2.2.5【解析】设乙需要xh才能追上甲. 根据题意，得6x>5(+),解得≥25 故乙至少需要2.5h才能追上甲. 3.解：设每台电视机的进价是x元. 由题意，得0.8×(1+40%)x-x≥360， 解得x≥3000. 故每台电视机的进价至少是3000元. 因为3200>3000， 所以每台电视机的进价是3200元是符合要求的. 4.解：(1)设A种水果购进xkg,B种水果购进ykg. 根据题意，得+y1500,解得100， 10x+15y=17500, y=500. 故A种水果购进1000kg,B种水果购进500kg. (2)设A种水果的销售单价为m元/kg. 根据题意，得1000×(1一4%)m一10×1000≥10× 1000×20%, 解得m≥12.5， 故A种水果的最低销售单价为12.5元/kg. 7.3一元一次不等式组 第1课时简单的一元一次不等式组的解法 1.D 2.A 1 变式题一2<x<0【解析】根据题意，得1<1-2x <2,可化为1-2>1,0 71-2x<2.@解不等式①，得x<0,解不 1 等式②，得x>-2故x的取值范围是-2<x<0. 3.A 4.解：解不等式①，得x≥1， 解不等式②，得x<4, 所以原不等式组的解集为1≤x<4. 原不等式组的解集在数轴上表示如图 320十234 5.A【解析】解不等式3x-m>0,得>智，解不等式 x一1≤5，得x≤6.因为不等式组有4个整数解，所以2 <驾<3，解得6<m<9. 6.A 7.D【解析】由题意，得2x+1≤95， 解得 12(2x+1)+1>95, 工≤47，所以x的取值范围是23<x≤47. x>23. 8.(1)a≤-2(2)6<a≤8【解析】解不等式①，得x≥