专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 13 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ；∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形，∴点到的距离为， ∴点到的最小值为，∴面积最小值为： ．故答案为：． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹） 例1（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，， ∴，∴， ∵，∴，∵轴轴，，∴， ∵，∴，∴即，解得， 同理可得，，∴即，解得， ∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 例2（24-25九年级上·广东广州·月考）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，∵在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上， ∴A、C、B、P四点共圆，，∴， 分别取的中点D，E，连接，，∴ ∵M为的中点，∴，， ∴，∴D、M、C、E四点共圆，即点M的运动轨迹是以为直径的半圆， 取的中点Q，作于点F，∴，， ∴，∴是的中位线，， ∴，∴， 当M为与的离B较近的交点时，取得最小值， 此时，故答案为： 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则，∴， ∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 例4（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】解：如下图所示，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E． ∵正方形的边长为3，的半径为2，． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，．． ∴，即． ∴．．． ∵P是上任意一点，∴点Q在上移动．∴． ∴当点Q与点E重合时，取得最大值为．．故答案为：5． 例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A． 例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为：． 例7（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰中，，，∴， ∵D为边的中点，∴，取的中点O，连接，则， ∵P是的中点，∴， ∴在绕点A旋转的过程中，点P是在以点O为圆心，以长为半径的圆上运动， ∵，∴当点P在上时，取得最小值，为； ∵，∴当点P在延长线上时，取得最大值，为．故答案为：，． 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或(2) 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为，随意转动图，可得． 1.（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】解：连接，  ，，， 点为的中点，是的中位线，，当取最大值时，的长最大， 是半径为2的上一动点，当过圆心时，最大，，，，的半径为4，的最大值为，长的最大值为，故选：． 2．（24-25九年级广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最大值为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：连接，如图，∵点C为弦的中点，，， ∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外）， 以为直径作⊙P，过P点作直线于H，交⊙P于M、N， 当时，，则，当时，，解得，则， ，，，，，， ，，，，即，解得， ，，当C点与M点重合时，面积的最大值为7，故选：D． 3.（25-26湖北九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM， ∵，∴，即 在和中，，∴，∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆， 要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形，∴点M到BC的距离是， ∴点D到BC的最大距离是，∴的面积最大值是．故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故选：C． 5．（24-25九年级上·青海西宁·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，若以点为圆心，长为半径的圆与相切，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】D 【详解】解：∵圆与相切，∴，故A选项正确，不符合题意， 由旋转性质可得，∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，∴，，， ∴是等边三角形，故C选项正确，不符合题意， ∴，故B选项正确，不符合题意， ∵，，∴，， ∴，故D选项不正确，符合题意，故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在上，连接作等腰直角三角形，使，，则的面积的最大值为（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：如图，以为边向下作等腰直角三角形，且，，连接， ∴，， 同理：，，∴，， ∴，∴，而，∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵的面积最大，∴到的距离最大，∴当即，，共线时最大， 最大值为：，∴的面积最大面积为．故选：B． 7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，， ，的值最小为．故答案：． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，取中点T，连接，      ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 9．（24-25·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ． 【答案】 / 【详解】根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图， ∵，∴． ∴在中，；如图，连接AF、BE ∵，，∴． ∵，，∴， ∴，∴． ∵，∴，即AF的长为定值．∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动． ∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为． 在中，，∴．故答案为：， 10.（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】解：如下图所示，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E． ∵正方形的边长为3，的半径为2，． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，． ．∴，即． ∴．．． ∵P是上任意一点，∴点Q在上移动．∴． ∴当点Q与点E重合时，取得最大值为．．故答案为：5． 11.（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵D为线段的中点，∴是的中位线，∴， ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点， ∴线段长度的最大值即是点B与上的点的最大距离， 如图，当点D在线段的延长线上时，即在的直径上，线段的长度取得最大值， 连接，∵，，∴为等边三角形， ∵为的中点，∴，∴， ∴线段长度的最大值为．故答案为：． 12．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，，∴，∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大， 在中，∵，，∴， ∴，∴的最大值为，故答案为：． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，OA是⊙O的半径，延长AO至点B，使得OB=3OA=3，以B为直角顶点，作等腰直角△BMC，且满足点M始终在⊙O上（如图所示），连接OC，则OC的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点B作BN⊥AB，且BN=OB，连接ON，OM，MN， ∴∠NBO=90°=∠MBC，∴∠MBN=∠OBC， 在△NBM和△OBC中，∵MB=BC，∠MBN=∠OBC，BN=OB， ∴△NBM≌△OBC（SAS），∴MN=OC， ∵MN≤OM+ON，∴当点O在线段MN上时，MN有最大值， ∵OB=3OA=3，∴， ∴MN的最大值为，∴OC的最大值为，故答案为： 14．（2025·江苏扬州·校考一模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______． 【答案】 【详解】如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G， ∴ 四边形DFGC是平行四边形，∴GF=CD=4, ∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，∴当A、F、G三点共线时，AF最小， ∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形， ∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四边形ABGC是平行四边形， ∵AB=AC，∴四边形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=， ∴AG=2AH=，∴AF=AG-FG=故答案为：． 15．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程：证明：连结，取的中点，连接． ，当点在直线外时， 当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ； 【拓展提升】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接． ，当点在直线外时，∵，∴ ∴，即∴ 当点在线段上时，∵∴， ∵∴,∴ 当点P在延长线上时，同理可得，， 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．∴点的运动路径长为． （2）如图所示，∵点的坐标为，∴ ∵将线段绕着点逆时针旋转，∴ ∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，连接，取中点Q ∵点N是的中点∴是三角形的中位线∴ ∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，∴ ∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值 ∵，，点Q是的中点∴ ∵∴∴∴的最小值为． 16．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆．(1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：；(2)在（1）的条件下，若，求的长；(3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1)见解析(2)2或(3)135；；45； 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵，∴，即， ∵，∴，∴． （2）解：分两种情况讨论：①如图，若点P在的上方，连接， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，， ∴，∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，，∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接,由①得，， ∵，∴，∴点B，P，D在同一直线上， ∵，∴，， ∴， ∴在中，．综上所述，的长为2或． （3）解：连接，∵，∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上．如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时，∵，∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值，最小值为， 此时．故答案为：135；；45； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 13 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹） 例1（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·广东广州·月考）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 例4（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 例7（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为 ，最大值为 ． 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 1.（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 2．（24-25九年级广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最大值为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 3.（25-26湖北九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·青海西宁·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，若以点为圆心，长为半径的圆与相切，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在上，连接作等腰直角三角形，使，，则的面积的最大值为（ ） A． B． C．4 D．8 7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    9．（24-25·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ． 10.（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 11.（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为 ． 12．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，OA是⊙O的半径，延长AO至点B，使得OB=3OA=3，以B为直角顶点，作等腰直角△BMC，且满足点M始终在⊙O上（如图所示），连接OC，则OC的最大值为 ． 14．（2025·江苏扬州·校考一模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______． 15．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程：证明：连结，取的中点，连接． ，当点在直线外时， 当点在直线上时，易知．综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ； 【拓展提升】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ． 16．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆．(1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：；(2)在（1）的条件下，若，求的长；(3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $