柳州市第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

柳州市第二中学2024级高二上期末考试数学试题详解答案 1．C 【详解】交集，说明B包含2，且不包含A中的0、1；并集，A已包含0、1、2，因此3、4必须来自B，且元素属于；综上，集合.故选：C 2．D 【详解】，则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，选：D 3．C 【详解】由已知得，则.故选：C 4．B 【详解】圆的标准方程为，故圆心为，半径， 圆心到直线的距离：，由弦长公式，弦长为.故选：B 5．A 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：．故选：A． 6．B 【详解】由，则.故选：B 7．A 【详解】双曲线的渐近线方程为，即.又与圆相切，所以.又，所以.故选：A 8．D 【详解】如图，由题可知该圆锥的母线长为，底面半径为，高为，不妨设该内切圆与母线切于点，令，则由，可得，即，得，此时，故选D. 9．ACD【详解】【详解】因为，所以当时，； 当时，； 当时，也适合上式；所以当时，；故A正确； 因为，所以当时，，当时，，所以为中的最小项；故B错误； 因为，所以，所以（常数），所以数列是等差数列；故C正确； 因为当时，，当时，；且，， 所以 ，故D正确；故选：ACD. 10．AB【详解】A，直线即，纵截距为，A正确； B，∵，∴，得，B正确； C，直线恒过点，又，即点在椭圆的内部， ∴直线与椭圆一定相交，C错误； D，设点，的中点的坐标为，，由中点坐标公式可得，可得， 又点在圆，则，即.因此，线段的中点的轨迹方程为. ，D错误.故选：AB 11．BCD【详解】对于A，令，则， 所以 ，所以，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C，因为， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因为，所以， 取的中点，连接，因为， 所以，则即为所求二面角的平面角， 又因为， 所以，故D正确．故选：BCD. 12．【详解】因为，所以，所以 13．【详解】将2位男教师记为，3位女教师记为，则样本空间，共10个样本点.设事件表示“选出的2名教师中有1名男教师”，则，所以=. 14．【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得， 所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得， 所以，所以，所以直线的方程为， 由，消去整理得，解得、， 即，所以. 15．【详解】（1）由余弦定理得：， ，又由，因为，所以； （2）由，， 可得，所以的面积为. 16．【详解】（1）在梯形中，，故，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面． （2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为，则． 17．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，. （2）由（1），所以①. ②. ①②得 . （3）因为， 所以数列的前项和. 18．【详解】（1）设焦距为，则，所以，即， 其渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为； （2）（i）设，联立，化简得，代入m=1，得 则=6，= ， 所以． （ii）由（i）知． 所以，即为定值. 19．【详解】（1）当时，，所以由，得，． （2）由，得，则， 又因为．所以． 又，所以4．所以是以为首项，2为公比的等比数列． （3）由（2）可知．又因为，所以．所以．因为为“等差等比混合数列”，又因为，所以． 从而只有，此时．所以，所以可拆分成一个等差数列，一个等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市第二中学 2024 级高二上学期期末考试数学试题 满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A 0,1, 2 ， A  B 0,1, 2, 3, 4 ， A  B 2，则集合 B （ ） ( 试卷第 2 页，共 4 页 ) ( 高二数 学 第 1 页，共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 A．2 B．0,1, 2 C．2, 3, 4 D．0,1, 2, 3, 4 2. 已知 i 为虚数单位，则复数 z 1 1 i 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知直线 y 3x 2026 的倾斜角为，则sin 2cos（ ） 2sin cos A. 2 B. 1 7 C. 1 7 D．7 4. 直线l : 3x 4 y 1 0 被圆C : x 12 y 22 5 截得的弦长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5. 已知 F1 ， F2 是椭圆C 的两个焦点， M 是C 上的一点，若 MF1 MF2 ，且tan MF1 F2 3 ，则C 的离心 率为（ ） A. 10 4 B. 10 10 C. 3 10 10 D. 2 10 5 6. 已知等差数列an 满足 a3 a6 a8 a11 12 ，则 2a8 a9 （ ） A. 3 B．3 C． 6 D．6 7. 已知双曲线 x2 y2 1b 0 的渐近线与圆 x 32 y 2 3 相切，则b 的值是（ ） ( 3 ) ( 2 )b2 A． 2 2 B．1 C． D． 8. 已知圆维的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（ ） A． B． 3 C． D． 2 二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. ( n n )已知数列a 的前n 项和 S n2 4n ，则（ ） A. an 2n 5 B. S2 为Sn 中的最大项 C. 数列 Sn 是等差数列 D． a a  a 68 ( 2 n ) 1 2 10 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线2x y 1 0 在 y 轴上的截距为1 B. 若直线l1 : x (a 1) y 3 0 与直线l2 : x 2 y 3 0 相互垂直，则a 1 2 C. ( 1 )存在k ，使得直线 y k (x 1) 与椭圆 x2 y2 相离 9 4 D．当点在圆2 + 2 = 1 上运动时，它与定点 3,0 的连线的中点的轨迹方程是 2 + 3 2 + 42 = 1 11. 在平行六面体 ABCD A B C D 中，A AB A AD BAD 60, AB 1, AD AA 2 ，则下列说法 1 1 1 1 1 1 1 正确的有（ ） ( 15 )A． AC B．直线 BD 与CC 所成角的余弦值为 5 1 1 1 6 C． A1B DB 1 D．二面角 A A1D B 的余弦值为 6 3 三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填写在答题卡的相应位置上.    12. 已知a 1, 2,1，b 1, 3, 1，则 a b ． 13．2023 年 11 月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行．10 月 31 日，学青会火炬传递在桂林举行，广西某大学有 5 名教师参与了此次传递，其中男教师 2 名，女教师 3 名.现需要从这 5 名教师中任选 2 名教 师去参加活动，选出的 2 名教师中有 1 名男教师的概率为 ． 14．过抛物线：2 = 2 的焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为 −1, − 1 ，则 = ． 四､解答题：本题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为a ， b ， c ，且cosC 2b c . 2a （1） 求角 A 的大小； （2） ( 3 )若b c 2a 2 ，求△ABC 的面积. 16.(本小题满分 15 分) 如图，在梯形 PBCD 中，BA PD ，AD 2 ，PA AB BC 1 ，将PAB 沿 AB 折起至△PAB ，使 PA AD ． （1） 求证：平面 ABCD 平面 PAB ； （2） 若点T 是CD 的中点，点 M 是 PT 的中点，求直线 PA 与平面 ABM 所成角的正弦值． 17.(本小题满分 15 分) 已知等差数列an 的前n 项和为 Sn ， a2 3 ， S5 25 . （1） 求数列an 的通项公式； （2） 设b 3n a ，求数列b 的前n 项和T ； n n n n （3） ( n ) ( n ) ( n )设c 1 求数列c 的前n 项和 M . anan1 18.(本小题满分 17 分) ( 2 ) ( 2 )已知双曲线C : x 2 ( 3 ) ( y )2 1a 0,b 0 的焦距为 4，焦点到渐近线的距离为 ． a b （1） 求双曲线C 的方程； （2） 直线l : x my 2 m2 1 与C 相交于 A ， B 两点． 3 （i） O 是坐标原点，若m =1 时，求△AOB 的面积； （ii） ( AF 1 BF 1 AB )设C 的左焦点为 F1 ，则 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 19.(本小题满分 17 分) 若定义数列an满足an bn cn ，其中bn 是等差数列，cn 是等比数列，则称数列an为“等差等比混 合数列”．已知“等差等比混合数列”a 满足 a 4, a 2a k 3n ，其中常数k 4 ． n （1） 当k 1时，写出 a2 , a3 的值； （2） 证明： an1 3an 是等比数列； 1 n1 n 3 （3） 设an 的前n 项和为 Sn ，若Sn 是“等差等比混合数列”，求k 的值，并求Sn 拆分出来的等差数列与等比数列表达式． $