专题08分式与分式方程寒假预习讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题08分式与分式方程寒假预习讲义(2) 1 预习目标 ·摸清分式加减乘除的核心算理，会套运算规则解题； ·掌握分式乘方的简便算法，避开运算常见陷阱： 能快速化繁为简，搞定混合运算的步骤梳理； ·初步会用分式运算解决简单的实际小问题。 预习内容概览 1.分式的乘除运算 2.分式的加减运算 预习必备 3.分式的混合运算 4.分式的化简求值 知识点梳理 5.易错点与核心提醒 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 常考题型 7.最简公分母 8.通分 精讲精炼 9.异分母分式加减法 10.整式与分式的加减运算 11.由恒等式定分子分母 12.分式加减混合运算 13.分式加减的实际应用 14.分式加减乘除混合运算 15.分式化简求值 强化巩固 (解答题7题) 3 知识点梳理 【知识点01.分式的乘除运算】 试卷第1页，共3页 1.分式的乘法法则 文字表述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积 的分母。 字母公式：鲁·号=器(b≠0，d≠0) 关键要点：计算前可先约分（分子、分母的公因式)，再相乘，简化运算；约分 的依据是分式的基本性质。 2.。分式的除法法则 文字表述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母公式：是÷号=号·是=是(b≠0，c≠0，d≠0) 关键要点： 除法转乘法是核心，注意除式整体颠倒，切勿只颠倒分子或分母。 3.分式的乘方运算 文字表述：分式乘方，把分子、分母分别乘方。 字母公式：（得）n=器(b≠0，n为正整数)》 关键要点：乘方时分子、分母的每一项都要分别乘方；注意与幂的运算法则结合 (如am,an=amn,(a)n=an)。 4.乘除、乘方混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除；同级运算从左到右依次进行；有括号先算括号 内的。 注意：运算结果要化为最简分式（分子、分母无公因式）或整式。 【知识点O2.分式的加减运算】 上.同分母分式的加减法则 文字表述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 字母公式：是±名=芒(c≠0) 关键要点：分子相加减时，若分子是多项式，需加括号，再去括号合并同类项： 结果仍需化为最简 2。异分母分式的加减法则 核心步骤：先通分，将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法 则计算。 试卷第1页，共3页 字母公式：号±号=器士=芒(b≠0，d≠0) bd 关键配套知识点：通分 )定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的 同分母的分式，叫做通分。 (②).最简公分母：通分的关键是确定几个分式的最简公分母， 确定方法： (1)取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母； (2)分母是多项式时，先因式分解，再找最简公分母。 3.加减混合运算 运算顺序：同级运算从左到右；有括号先算括号内的；可结合运算律（加法交换 律、结合律)简化计算。 注意：异分母加减混合时，可分步通分，也可一次性找所有分母的最简公分母通 分。 【知识点O3.分式的混合运算】 1. 通用运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号（小括号→中括号）先算括号内的；同级运 算从左到右。 2。核心技巧 ()遇多项式先因式分解（提公因式、公式法），便于约分和通分： (2)灵活运用运算律（乘法交换律、结合律、分配律）简化计算， 如乘法分配律：(+d)晋+9(b≠0)； (3)计算过程中，分式的分子、分母若为多项式，加减时注意括号的使用： (④步步检验：每一步运算后检查是否可约分，最终结果必须化为最简分式或整 式。 【知识点04.分式的化简求值】 上.基本步骤 ()化简：按照分式混合运算的法则测，将原式化为最简分式或整式： (2)求值：代入使原式有意义的字母的值，计算结果。 试卷第1页，共3页 2。关键注意点 代入的数值必须使原式中所有分母都不为0，同时使除式的分子也不为0（避免 除式为0)。 【知识点05.易错点与核心提醒】 1.符号问题：分式的分子、分母或分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的 值不变（君，=马=一）；乘除、加减中注意符号的传递。 2.约分误区：约分只能约去分子、分母的公因式（整式），不能约去部分项，如 鞋不能约去x。 3.通分误区：通分是给分子、分母同乘一个非零整式，不是只乘分母，保证分式 的值不变。 4.零指数幂/负整数指数幂结合： 若分式中含幂的运算，注意a=1(a≠0)，a (a≠0，p为正整数)，需结合幂的运算法则计算。 5.结果要求：所有分式运算的最终结果，必须化为最简分式（分子、分母无公因 式)或整式，这是硬性要求。 常考题型精讲精练 【题型1.分式乘法】 【典例】计算：e.20 a bc 【跟踪专练1】下列计算错误的是() 4. 8y23x2 B. x2-4x+3_x-2 3x2 4y3 xy x2-6x+9x+2x+3 C.2-4x.x+3 3x 2y 6xy =x D. x+3x-4 x-y x-y x2-2xy+y 2a(x-y) 3b 【跟踪专练2】计算： 9b a-(y-x)2 【题型2.分式除法】 【典例】计算a+。1 a 的结果是() a A.+1 1 B. a+1 C. D.a+1 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成(n>m, 那么乙队单独完成的时间是天 【银除专缘2】已知M=子)。3·关于甲、乙的说运，下列奥新正瑰的是() a 甲：M可化为最简分式子3：乙：当a=3时，M A,甲、乙都正确B.甲、乙都不正确C.只有甲正确 D.只有乙正确 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】计算： 2x2y 5m'n 5xym 3mn2 4xy2 3n 【跟踪专练1】下列运算正确的是() A.atb-atb x y B. =1 mm 2m x-y x-v C.4.=a y a2 D.42÷2y2 =2x 【(跟踪专练2】有下列各式：①3xx=x;②8ab'÷ 3a 、4b2 =-6a2b;③ x2 3x 2x2-y 兰，④3÷6-20w)=·其中计算结果正确的是7 (填序号). 【题型4.分式乘方】 31 【典例】化简 的结果是() A. 3y2 B.92 C.6y2 D. 9y2 x2 x2 x2 【限除缘】计第：点( 4x )3 2 n 【跟踪专练2】计算 其结果() a'b2 ab A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.以上都不对 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计第2g+了*2r+2四 4y2-x2 x-2y= 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】下列计算不正确的是() A. xy2+x2y 1 2-2y+÷ x2-y2 x-y C. x2+xx2-1 =x D. y÷-1 x2+2x+1x-1 x2 xy 【跟踪专练2】当a=26=-3时，(((-— 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算a一l+的结果是(） aa A.a B.a-2 C.0 D.1 【跟踪专练1】已知a+6=5,b=3,则上+2的值为一 a b 【跟踪专练2】当0<x<2时，化简日-上-2斗的结果是《) x2-2xx2-4x+4 A.I B.2 C.、2 1 D. -2 x-2 x2-2x 【题型7.最简公分母】 【典例】分式L、一 m-1、m+1 的最简公分母是」 【跟踪专练1】分式一少'？+可 1 1 的最简公分母是() A.x2-y2 B.x2+xy C.(x2-y2）(x2+) D.x(x+y(x-y) 【跟踪专练2】分式。一a-a 1,、2的最简公分母是一，通分为 【题型8.通分】 【奥纳们将分式。与分式。0姐分后。 a+1的分母变为(1+a1-m,则 0的分T变为《) A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a 【跟踪专练1】已知b=2,bc-3,ac=l,则ac a+b b+c a+c ab+bc+ac 试卷第1页，共3页 -12 【跟踪专练2】将3a+6'a+2a+'a+1a+2通分后，各分式的分子之和为（） A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 【题型9.异分母分式加减法】 【典例】计算： 11 x v 【跟踪专练1】物理学中的电路分为串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻的 ,111 阻值分别为R,B,并联电路的总电阻阻值为R,三者之间的关系为反R+元，则用R, R表示R结果正确的是()· A.R=R+R B.R=RR C.R=R+R D.R=- 2 RR R+R2 2 R+R 【跟踪专练2】如果a+b=3,b=1,那么+- b a 【题型10.整式与分式的加减运算】 【典例】计算a+2-1的结果是（) A.0+1 B.2 C.1 D.a+1 a 【跟踪专练1】对于M=x+1,N=4x x+,有以下两个结论：①若x>-1,则M>N,②若 M<N,则x<-1.对于这两个结论，说法正确的是 (填序号) 【跟踪专练2】化简 -x+1的结果是() x-1 1 1 A. -可 B.1× C.12x D. 2x-1 x-1 x-1 【题型11.由分式恒等式定分子分母】 【奥例1已知号，则4一8 3a+1 【跟踪专练1】若(a+30-可a+3a-,则（) A.m=-3,n=1B.m=3,n=-1C.m=3,n=1 D.m=2,n=1 试卷第1页，共3页 x+2+x-2”4恒成立，则a-2b的值是」 【跟踪专练2】若0。+b- 4x 【题型12.分式加减混合运算】 【典例】.计算 -a+1的正确结果是() a-1 2a-1 A. B.2a+1 C. D.- a-1 a-1 a-1 a-1 【跟踪专练1】己知 2=2,则20+3gb46 的值为 b a 4ab-3a+6b 、1,1 【跟踪专练2】若代数式 x2,十2都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为 () A.不相等 B.相等 C.前者较大 D.后者较大 【题型13.分式加减的实际应用】 【典例】甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为α千米/时，水流速度为b千米/ 时，则船一次往返两个码头所需的时间为()小时 A.2 B. 2s C.+ D.s atb a-b a b a+b a-b 【跟踪专练1】王老师驾车出行，在加油站加了Q升汽油，经估算可行驶天，由于行程调 整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油升.（写出化简后 的结果) 【跟踪专练2】定义：如果两个实数m,n满足上+上，则称m,n为一对互助数.已 m n 2 知a,b为实数，且a+b,a-b是一对“互助数”.若a2-b2=p-3,则p的值可以为() 9 B.26 C.2 D.3 【题型14.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算：1a2+a= a+1 【跟踪专练1】化简 2x x 的结果为() x-4x+4 x2-16 A.x-12 B.-x+12 C.x+12 D.-x-12 【跟踪专练2】试卷上一个正确的式子 L+1 、a+b'a-b a+b'被小颖同学不小心滴上 墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为」 试卷第1页，共3页 【题型15.分式化简求值】 【奥例】化简分式x-2x+1*2- +1 -1的结果是() A. 1 x+1 B.、1 x-1 C. x+1 D. 【跟踪专练】已知？=3一4≠0，则之的值为 【跟踪专练2】若}11 ,则2+g-2的值是() a b a-b a b A.月 C.1 D.-1 5 强化巩固通关 1.计算： (1) b2 4a a (2)a-b+2b a+b 2.计算： (①)-b4a 2a5b9 .21 22-2x+1'x-1E 3.计算： : a品 计第：女动（品 5.计算 04x-4y.9y 3x2y x2-y2 试卷第1页，共3页 品)品 5m+3 6.先化简，再求值： 1-,x+1〉 -2x+1x-i,其中x=号 .x-3 7.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分 式为“和谐分式 t如+1-1+2-2=1+2，g-a+3a-+2a-142 x-1x-1x-1x-11x-1’a-1=a-1 +,,则和 x-1 d2-2a+3都是“和谐分式”。 a-1 ①)将“和谐分式+6x-3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式 x-1 ②)应用：求分式2+5的最大值： x2+1 ③)应用：先化简3江+6_=1-1，并求x取什么整数时，该式的值为整数。 x+1 x x2+2x 试卷第1页，共3页 专题08分式与分式方程寒假预习讲义（2） · 摸清分式加减乘除的核心算理，会套运算规则解题； · 掌握分式乘方的简便算法，避开运算常见陷阱； · 能快速化繁为简，搞定混合运算的步骤梳理； · 初步会用分式运算解决简单的实际小问题。 预习必备 知识点梳理 1.分式的乘除运算 2.分式的加减运算 3.分式的混合运算 4.分式的化简求值 5.易错点与核心提醒 常考题型 精讲精炼 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 7.最简公分母 8.通分 9.异分母分式加减法 10.整式与分式的加减运算 11.由恒等式定分子分母 12.分式加减混合运算 13.分式加减的实际应用 14.分式加减乘除混合运算 15.分式化简求值 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.分式的乘除运算】 1. 分式的乘法法则 文字表述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。 字母公式：（b0，d0） 关键要点：计算前可先约分（分子、分母的公因式），再相乘，简化运算；约分的依据是分式的基本性质。 2. 分式的除法法则 文字表述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母公式：（b0，c0，d0） 关键要点：除法转乘法是核心，注意除式整体颠倒，切勿只颠倒分子或分母。 3. 分式的乘方运算 文字表述：分式乘方，把分子、分母分别乘方。 字母公式：()n（b0，n为正整数） 关键要点：乘方时分子、分母的每一项都要分别乘方；注意与幂的运算法则结合（如aman=am+n，(am)n=amn）。 4. 乘除、乘方混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除；同级运算从左到右依次进行；有括号先算括号内的。 注意：运算结果要化为最简分式（分子、分母无公因式）或整式。 【知识点02.分式的加减运算】 1. 同分母分式的加减法则 文字表述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 字母公式：±（c0） 关键要点：分子相加减时，若分子是多项式，需加括号，再去括号合并同类项；结果仍需化为最简。 2. 异分母分式的加减法则 核心步骤：先通分，将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法则计算。 字母公式：±（b0，d0） 关键配套知识点：通分 (1).定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。 (2).最简公分母：通分的关键是确定几个分式的最简公分母， 确定方法： (1)取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母； (2)分母是多项式时，先因式分解，再找最简公分母。 3. 加减混合运算 运算顺序：同级运算从左到右；有括号先算括号内的；可结合运算律（加法交换律、结合律）简化计算。 注意：异分母加减混合时，可分步通分，也可一次性找所有分母的最简公分母通分。 【知识点03.分式的混合运算】 1. 通用运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号（小括号→中括号）先算括号内的；同级运算从左到右。 2. 核心技巧 (1)遇多项式先因式分解（提公因式、公式法），便于约分和通分； (2)灵活运用运算律（乘法交换律、结合律、分配律）简化计算， 如乘法分配律：(c+d)=（b0）； (3)计算过程中，分式的分子、分母若为多项式，加减时注意括号的使用； (4)步步检验：每一步运算后检查是否可约分，最终结果必须化为最简分式或整式。 【知识点04.分式的化简求值】 1. 基本步骤 (1)化简：按照分式混合运算的法则，将原式化为最简分式或整式； (2)求值：代入使原式有意义的字母的值，计算结果。 2. 关键注意点 代入的数值必须使原式中所有分母都不为 0，同时使除式的分子也不为 0（避免除式为 0）。 【知识点05.易错点与核心提醒】 1.符号问题：分式的分子、分母或分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变（=，==−）；乘除、加减中注意符号的传递。 2.约分误区：约分只能约去分子、分母的公因式（整式），不能约去部分项，如​不能约去x。 3.通分误区：通分是给分子、分母同乘一个非零整式，不是只乘分母，保证分式的值不变。 4.零指数幂 / 负整数指数幂结合：若分式中含幂的运算，注意a0=1（a0），a−p=（a0，p为正整数），需结合幂的运算法则计算。 5.结果要求：所有分式运算的最终结果，必须化为最简分式（分子、分母无公因式）或整式，这是硬性要求。 【题型1.分式乘法】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算错误，符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【题型2.分式除法】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故选：D． 【跟踪专练1】某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是 天． 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，分式的除法，理解题意正确列出算式是解题的关键． 由题意得，甲乙合作的工作效率是，甲单独做的工作效率是，两者相减得出乙单独做的工作效率，然后用工作量除以工作效率即可得出答案． 【详解】解：， ∴乙队单独完成的时间是天． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题先将除法统一成乘法，然后化为最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是将除法一定要先统一成乘法再进行运算． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟记相关运算法则是解题关键． 【详解】解：选项A：∵，错误； 选项B：∵，正确； 选项C： ，错误； 选项D： ，错误； 故选：B 【跟踪专练2】有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 【题型4.分式乘方】 【典例】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的乘方运算，直接利用分式的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可． 【详解】原式， 故答案为：． 【跟踪专练2】计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算 ． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【跟踪专练1】下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【跟踪专练1】已知，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了异分母分式相加减．根据异分母分式相加减法则化简，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的加减法，先对分式进行约分，再利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， ， 故选：． 【题型7.最简公分母】 【典例】分式、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】解：分式、的最简公分母是， 故答案为：． 【跟踪专练1】分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴分式，的最简公分母是， 故选：D． 【跟踪专练2】分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 【题型8.通分】 【典例】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案． 【详解】． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键． 【跟踪专练1】已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练2】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 【题型9.异分母分式加减法】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】物理学中的电路分为串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻的阻值分别为，，并联电路的总电阻阻值为R，三者之间的关系为，则用，表示R结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把等式的右边通分，再求倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如果，，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式变形，分式的加减等知识，先根据，得到，再把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：7 【题型10.整式与分式的加减运算】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练1】对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故答案为：①②． 【跟踪专练2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 【点睛】 【题型11.由分式恒等式定分子分母】 【典例】已知，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了分式的加减运算；先对等式右边进行通分化简，然后根据题意列方程，进行计算即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【跟踪专练1】若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 【跟踪专练2】若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 【题型12.分式加减混合运算】 【典例】.计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【跟踪专练1】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得出，代入分式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出是解题的关键． 【跟踪专练2】若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 【题型13.分式加减的实际应用】 【典例】甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的运用，列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．船只往返两个码头一次，会有一次顺流、一次逆流，顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度，据此可以列出关系式． 【详解】解：船一次往返两个码头所需的时间为小时， 故选：D． 【跟踪专练1】王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 【跟踪专练2】定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值． 【详解】解：∵和为“互助数”， ∴， 整理得 ∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得或， ∴或 四个选项中只有3和26符合题意， 当时，，此时，，分母无意义，舍去． 当时，，满足，且， 故选：B． 【题型14.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，将分子因式分解后，与分母约分即可简化表达式． 【详解】解：原式 = ． 故答案为：a． 【跟踪专练1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的减法，再利用除法的性质转换为乘法，约分后化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 【跟踪专练2】试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 【答案】 【分析】代数式★为，计算即可． 本题考查了分式的除法，乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 【题型15.分式化简求值】 【典例】化简分式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及分式的运算法则是解题的关键． 分别利用完全平方公式和平方差公式对前两项的分母分解因式，然后将除法运算转化为乘法运算，约分后再与第三项通分并计算加减，即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：． 【跟踪专练1】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的比值计算，根据等式得到，是解题的关键． 由题可得，，再代入求值即可． 【详解】， ，解得； ，解得； ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． . 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先通分，再运算分式的减法，即可作答； （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是关键． （1）先进行分式的乘法，再进行约分即可； （2）先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法来计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除法混合运算，分式的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里的．注意  ①分式的运算与分数的运算一样，一是注意符号；二是结果必须化到最简形式． （1）根据分式乘方和乘法运算法则计算即可； （2）根据分式乘方和乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可． 【详解】解： 5．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先通分，再根据平方差公式计算，最后计算同分母分式减法即可； （3）先将括号里的分式通分，根据平方差公式和完全平方公式化简，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $