4.3 探索三角形全等的条件-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

3探索三角形全等的条件 第1课时 边边边 已课内基础闯关 4.如下图，已知DE=BC,AD=AB,点C在 知识点① 三角形全等的条件—“边边边 AD上，AE十CD=AD.试说明：△EAD ≌△CAB. (SSS)” 1.下列三角形中，与如图所示的△ABC全等 的是 ) 6 知识点② 根据“SSS”用尺规作三角形 5.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a, 10 AC=b,AB=c.有下列步骤：①以点B为圆 心，c为半径画弧；②连接AB,AC;③作BC B6 C D 第1题图 第2题图 =a;④以点C为圆心，b为半径画弧，两弧 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BE=CE.直 交于点A.合理的作图顺序是 接利用“SSS”可以判定 (填序号). A.△ABD≌△ACEB.△ABE≌△DCE 知识点® 三角形的稳定性 C.△ABE≌△ACED.△BED≌△CED 6.如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”， 3.(教材变式)如图，已知AB=DC.若用定理 这样做的道理是 “SSS”判定△ABC≌△DCB,则需要添加的 A.三角形具有稳定性 条件是 ( B.同位角相等，两直线平行 A.OA=OD B.AC=DB C.两点之间，线段最短 C.OB=OC D.BC=CB D.两直线平行，同位角相等 第3题图 变式题图 第6题图 第7题图 变式题如图，AB=AD,只要添加一个条 7.如图，胶州湾大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大 件： ,就可以通过“SSS” 桥多采用三角形结构，使其不易变形.这种做法 判定△ABC≌△ADC. 的依据是 下册第四章 已课外拓展提高 (2)一题多解法若∠CDE=20°，求∠A的 8.如图，已知AB=AC,AE=AD,点B,D,E, 度数. C在同一条直线上.要利用“SSS”推理得出 △ABE≌△ACD,还需要添加的一个条件 可以是 () A.BD=DE B.BD=CE C.DE=CE D.以上都不对 B D 第8题图 第9题图 色综合能力提升 9.如图，在△ABC和△DEB中，点C在边BD 12.如下图，已知AB=AC,AD=AE,BD= 上，AC与EB交于点F.若AB=DE,BC= CE,B,D,E三点共线.试说明：∠3=∠1 EB,AC=DB,则∠ACB等于 +∠2. A.∠D B.∠E C.2∠ABF D.2∠AFB 10.如图，△ABC是不等边三角形， DE=BC.以D,E为两个顶点 B 作位置不同的三角形，使所作的 D 第10题图 △DEF与△ABC全等，这样的 三角形最多可以作出 个 11.如右图，在△ABC中，∠ABC =90°，点D,E分别为边AC, BC上一点，连接BD,DE.已 知识要点归纳 知AB=BE,AD=DE. (1)试说明：BD平分∠ABC. 1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边 边边”或“SSS” 2.只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的 形状和大小就完全确定了，这个性质叫作三角形 的稳定性 3.已知三角形的三边，求作三角形：先作出一条 边（即确定了三角形的两个顶点），再分别以该边 的两个端点为圆心，剩下两条边的长度为半径作 孤，两条孤的交点即为所作的边对应的顶点（理 论依据是“SSS”). 458 七年级数学BS版 第2课时 角边角、角角边 课内基础闯关 5.开放题如图，在Rt△ABC 知识点① )三角形全等的条件一“角边角 和Rt△EDF中，BC∥ DF.在不添加任何辅助 (ASA)” 线的情况下，请你添加 第5题图 1.如图，∠CAD=∠BAD.若要依据“ASA”确 一个条件，使Rt△ABC与Rt△EDF全等， 定△ACD≌△ABD,则需添加的一个条件 条件可以是 (写出一种情 是 ( ) 况即可). A.∠B=∠C B.∠ADC=∠ADB 6.如右图，C,D,A,F四点在同 C.AB=AC D.BD=CD 一条直线上，CD=AF,CB EF,∠B=∠E,BC=5.求EF C D/A 之 的长 第1题图 第2题图 2.如图，已知CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为 E,F,AC∥DB,且AE=BF,那么△AEC≌ △BFD的依据是 A.SSS B.AAA C.SAS D.ASA 3.(2025上饶一模)如下图，在△ABC中，D为 BC的中点，AB∥CE.试说明：△ADB 知识点③ 根据“ASA”尺规作三角形 ≌△EDC. 7.如下图，已知线段a和∠1. (1)请仅用无刻度直尺与圆规作△ABC,使 AB=a,∠ABC=∠CAB=∠1（保留作图 痕迹，不写作法). (2)比较AC,BC的长短，判断△ABC的形状. 知识点② 三角形全等的条件—“角角边 (AAS)” 4.如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙 两个三角形中，与△ABC全等的是 ( c/ 70°0 709 709 60°50° 甲 50°> 50> a 第4题图 A.甲 B.乙 C.甲和乙D.都不是 下册第四章 59△ 已课外拓展提高 巴综合能力提升 8.如图，已知AB=AD,∠C=∠E,CD,BE 11.(1)【探究】如图①，在△ABC中，∠BAC= 相交于点O.有下列结论：①BC=DE;②CD 90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m =BE;③△BOC≌△DOE.其中正确的有 于点D,CE⊥m于点E.试说明：△ABD ≌△CAE. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (2)【应用】如图②，在△ABC中，AB=AC, D,A,E三点都在直线m上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC.试说明：DE= BD+CE. 第8题图 第9题图 9.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE,FC∥AB.若AB=4,CF=3,则 图① 图② BD的长是 10.如下图，在△ABC中，AC=BC,延长AC到 点E,过点E作EF⊥AB交AB的延长线 于点F,延长CB到点G,过点G作GH⊥ AB交AB的延长线于点H,且EF=GH. (1)试说明：△AEF≌△BGH. (2)连接EG,与FH交于点D.若AB=4, 求DH的长. 知识要点归纳 1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简 写为“角边角”或“ASA” 2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS” 3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形：该 作图的方法有两种，一种是先作一角，再作边，最 后再作另一个角；另一种是先作已知边，再作两 个角（理论依据是“ASA”). 60 七年级数学BS版 第3课时 边角边 课内基础闯关 知识点② 根据“SAS”尺规作三角形 知识点① 三角形全等的条件一“边角边 5.用圆规、无刻度直尺作图，不写作法，但要保 (SAS)” 留作图痕迹.如下图，已知线段a,c,∠B.求 1.图中的全等三角形是 作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC =∠B. 8 cm 309 8 cm 8 cm 30 8 cm 30° 309 cm 9 cm 5 cm ⑦ ③ 3 第1题图 A.①和② B.②和③ 知识点③三角形全等的条件的综合运用 C.②和④ D.①和③ 6.如图，已知BE=DF,AE⊥BD于点E,CF 2.如图，点B,F,C,E在同一直线上，BF= ⊥BD于点F,AE=CF,则图中的全等三角 CE,AB∥DE.若利用“SAS”判定△ABC≌ 形有 () △DEF,则应添加的条件是 A.1对 B.2对 C.3对D.4对 0 第6题图 第7题图 第2题图 第3题图 7.如图，已知∠1=∠4，再添加以下条件，其中 3.如图，这是一个测量工件内槽宽的工具，点 不能判定△ABC≌△CDA的是 () O既是AA'的中点，也是BB'的中点，若测 A.∠2=∠3 B.∠B=∠D 得AB=3.5cm,则内槽A'B'的宽为 C.BC=DA D.AB=DC cm. 8.(教材变式)如下图，在四边形ACBD中，点 4.(2025新疆)如下图，AD=BC,∠DAB= P在对角线AB上，连接PC,PD,∠1= ∠CBA.试说明：AC=BD ∠2，∠3=∠4.试说明： (1)△BDP≌△BCP. (2)AD=AC. 下册第四章 61△ 已课外拓展提高 综合能力提升 9.如图，在4×4的正方形网格中，与△ABC有 12.如右图，在△ABC中， 一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格 AB=AC,D是BC上一 点三角形（顶点在网格线交点上的三角形） 点（不与点B,C重合）. B 共有 ( 以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE (1)①试说明：△ABD≌△ACE; ②若∠BAC=90°，求∠BCE的度数， (2)设∠BAC=a,∠BCE=3,则a,3之间有 B 怎样的数量关系？请直接写出你的结论. 第9题图 第10题图 10.已知等边三角形的三条边、三个内角都相 等.如图，△ABC为等边三角形，点D,E, F分别在边BC,CA,AB上，且AE=CD =BF,则△DEF的形状按边分类是 三角形. 11.如下图，在△ABC中，BE,CF分别是AC, AB两边上的高，在BE上截取BD=AC, 在CF的延长线上截取CG=AB,连接 AD,AG. (1)试说明：AD=AG. (2)AD与AG的位置关系如何？请说明 理由. 知识要点归纳 1,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简 写为“边角边”或“SAS” 在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹角相 等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等，应 特别注意，是两边的夹角而不是其中一边的对 角，这里的对应仍包含着顺序关系， 2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形：该 作图的方法有两种，一种是先作角，再截取两边； 另一种是先作一边（作一条线段等于已知线段）， 然后作角，最后再截取另一条边（理论依据是 “SAS”). 462 七年级数学BS版由(1)可知，∠DBC+∠DCB=90°， 所以∠ABD+∠BAC=90°-∠ACD=70. 又因为MN∥DE,所以∠ABD=∠BAN. 因为∠BAN+∠BAC+∠CAM=180°， 所以∠CAM=180°-（∠ABD+∠BAC)=110°」 9.解：(1)因为∠ACB=90°，∠B=36°， 所以∠A=54°. 由翻折的性质可得，∠AA'C=∠A=54°， 所以∠ACA'=180°-∠AA'C-∠A=180°-54°-54° =72°， 所以∠A'CB=∠ACB-∠ACA'=90°-72°=18°. (2)90°-2a 10.解：(1)29 (2)因为∠BEC'=42°，∠ADC'=20°， 所以∠CDC'=180°-∠ADC'=160°，∠CEC'=180 -∠BEC'=138. 由折叠的性质，得∠EDC=∠EDC'=号∠CDC' 8O,∠DBC=∠DBC'-∠CBC'=69. 所以∠C=180°-∠EDC-∠DEC=31°. (3)由折叠的性质，得∠EDC=∠EDC',∠DEC =∠DEC' 因为∠BEC'=x,∠ADC'=y, 所以∠EDC=2180+),∠DBC=180-x, 所以∠C=180°-∠EDC-∠DEC=180°-(90+2y】 1 2全等三角形 1.C2.D3.A4.B5.B 6.C【解析】因为△ABC≌△DBE,所以∠A=∠BDE =∠BDA,∠E=∠C.因为∠A：∠C=5：3,所以 ∠A:∠BDA:∠BDE:∠E=5:5:5:3.又因为 ∠A+∠BDA+∠BDE+∠E=180°，所以∠C=∠E =30°，∠BDE=∠A=∠BDA=50°，所以∠ADE= 180°-∠A-∠E=100°，所以∠CDE=180°-∠ADE =80°，所以∠DBC=180°-∠C-∠CDE-∠BDE= 180°-30°-80°-50°=20°. 7.1262.48.550°9.85 10.解：(1)因为△ABC≌△ADE,所以∠BAC =∠DAE, 所以∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即 ∠CAE=∠BAD. (2)因为△ABC≌△ADE,所以∠B=∠D. 因为∠AFD=∠EFB,∠D+∠BAD+∠AFD= 180°，∠B+∠BED+∠EFB=180°， 所以∠BED=∠BAD=35 11.D12.C 13.100°【解析】因为△ABE≌△ADC≌△ABC, 所以∠BAE=∠1=130°，∠ACD=∠E, 所以∠EAC=360°-∠1-∠BAE=360°-130° 130°=100°. 因为∠DFE=∠AFC, 所以∠a十∠E=∠EAC+∠ACD, 所以∠a=∠EAC=100° 14.解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=54°， 所以∠B=90°-54°=36°. 因为Rt△ABC≌Rt△EDA, 所以∠D=∠B=36°， 所以∠DFC=90°-∠D=54°， 所以∠BFD=180°-∠DFC=126. (2)BC=AE+CD.理由如下： 因为Rt△ABC≌Rt△EDA, 所以AC=EA,BC=DA. 因为AD=AC+CD, 所以BC=AE+CD. (3)2 15.解：当△ABD≌△ACE时，BD=CE.分下列两种情 况讨论： ①当点E在射线CM上时. 由题意可知CE=2tcm,BD=(10-3t)cm, 所以10-3t=2t, 所以1=2； ②当点E在CM的反向延长线上 时，如图 由题意可知CE=2tcm,BD=(3tDB -10)cm 所以2t=3t一10，所以t=10. 综上所述，当△ABD≌△ACE时，t的值为2或10. 3探索三角形全等的条件 第1课时边边边 1.C2.C 3.B 变式题BC=DC【解析】在△ABC与△ADC中， 因为AB=AD,AC=AC, 所以添加BC=DC,就可以通过“SSS”判定△ABC ≌△ADC. 4.解：因为AE+CD=AD,AC+CD=AD, 所以AE=AC. 在△EAD和△CAB中， 下册参考答案 19Λ ED=CB. AE=AC, AD=AB. 所以△EAD≌△CAB(SSS). 5.③①④②6.A7.三角形具有稳定性8.B 9.D【解析】因为AB=DE,BC=EB,AC=DB, 所以△ABC≌△DEB(SSS), 所以∠ACB=∠DBE. 因为∠BFC=180°-（∠ACB+∠DBE)=18 -∠AFB, 所以∠ACB+∠DBE=∠AFB, 所以∠ACB= 1 2∠AFB」 10.4【解析】如图所示 由图可知，这样的三角形最多可以作出4个 11.解：(1)在△ABD和△EBD中， (AB=EB, AD-ED BD=BD, 所以△ABD≌△EBD(SSS), 所以∠ABD=∠EBD,所以BD平分∠ABC. (2)由(1)知△ABD≌△EBD 所以∠ABD=∠EBD=45°，∠ADB=∠EDB= (180°-∠CDE)=80°， 所以∠A=180°-∠ABD-∠ADB=55°. ◆一题多解法 (2)因为∠BED=180°-∠DEC,∠CDE+∠C =180°-∠DEC, 所以∠BED=∠CDE+∠C. 因为∠CDE=20°，所以∠C=∠BED-20 因为△ABD≌△EBD,所以∠A=∠BED, 所以∠C=∠A-20°， 因为∠ABC=90°， 所以∠A+∠C=∠A十∠A-20°=90°， 解得∠A=55°. 12.解：在△ABD和△ACE中， (AB=AC, AD=AE. BD=CE, 所以△ABD≌△ACE(SSS), Λ20 七年级数学BS版 所以∠BAD=∠1，∠ABD=∠2. 因为∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ADB+ ∠3=180°， 所以∠3=∠BAD十∠ABD=∠1十∠2. 第2课时角边角、角角边 1.B 2.D【解析】因为CE⊥AB,DF⊥AB,所以∠AEC= ∠BFD=90°.因为AC∥DB,所以∠A=∠B. I∠AEC=∠BFD, 在△AEC和△BFD中，AE=BF, ∠A=∠B, 所以△AEC≌△BFD(ASA). 3.解：因为D为BC的中点， 所以BD=CD. 因为AB∥CE, 所以∠B=∠DCE. ∠B=∠DCE, 在△ADB和△EDC中，BD=CD, ∠ADB=∠EDC, 所以△ADB≌△EDC(ASA). 4.C5.AB=ED(答案不唯一) 6.解：因为CD=AF, 所以CD+AD=AF+AD,即CA=FD 因为CB∥EF, 所以∠C=∠F 在△CBA和△FED中， ∠B=∠E, ∠C=∠F, CA=FD, 所以△CBA≌△FED(AAS), 所以EF=BC=5. 7.解：(1)如图，△ABC即为所求. (2)AC=BC,△ABC为等腰三角形. 8.D【解析】因为∠E=∠C,∠A=∠A,AB=AD,所 以△ABE≌△ADC(AAS),所以BE=DC,AE=AC, 所以DE=BC,故①②正确： 因为∠E=∠C,∠DOE=∠BOC,DE=BC,所以 △DOE≌△BOC(AAS),故③正确.故正确的结论有 3个 9.1【解析】因为FC∥AB,所以∠ADE=∠F. ∠ADE=∠F, 在△ADE和△CFE中，DE=FE, ∠AED=∠CEF, 所以△ADE≌△CFE(ASA),所以AD=CF=3, 所以BD=AB-AD=4-3=1. 10.解：(1)因为AC=BC,即△ABC是等腰三角形， 所以∠A=∠ABC, 因为∠ABC=∠GBH,所以∠A=∠GBH. 因为EF⊥AB,GH⊥AB, 所以∠AFE=∠BHG=90°. 在△AEF和△BGH中， ∠A=∠GBH, ∠AFE=∠BHG, EF=GH, 所以△AEF≌△BGH(AAS). (2)因为△AEF≌△BGH,所以AF=BH, 所以FH=AB=4. 在△EFD和△GHD中， ∠EDF=∠GDH, ∠EFD=∠H=90°， EF=GH, 所以△EFD≌△GHD(AAS), 所以DH=DF=2FH=2. 11.解：(1)因为BD⊥m,CE⊥m, 所以∠BDA=∠AEC=90. 因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=90°. 因为∠BAD+∠ABD=90°，所以∠CAE=∠ABD |∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠AEC, AB=CA. 所以△ABD≌△CAE(AAS) (2)设∠BDA=∠BAC=a, 所以∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a, 所以∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE, ∠BDA=∠AEC AB=CA. 所以△ABD≌△CAE(AAS). 所以BD=AE,AD=CE, 所以DE=AE+AD=BD+CE. 第3课时边角边 1.D2.AB=DE3.3.5 (AD=BC. 4.解：在△ABD和△BAC中，∠DAB=∠CBA, AB=BA, 所以△ABD≌△BAC(SAS), 所以AC=BD. 5.解：如图，△ABC即为所求. 6.C 7.D【解析】在△ABC和△CDA中， ∠3=∠2， 当∠2=∠3时，AC=CA, ∠1=∠4， 所以△ABC≌△CDA(ASA); I∠B=∠D, 当∠B=∠D时， ∠1=∠4， AC=CA. 所以△ABC≌△CDA(AAS): BC=DA. 当BC=DA时，∠1=∠4， AC=CA, 所以△ABC≌△CDA(SAS); 当AB=DC时，不能判定△ABC和△CDA全等. 8.解：(1)因为∠1=∠2，所以∠DPB=∠CPB. 在△BDP和△BCP中，∠DPB=∠CPB,PB=PB, ∠3=∠4， 所以△BDP≌△BCP(ASA). (2)由(1)可知，△BDP2△BCP, 所以DP=CP. 在△ADP和△ACP中，AP=AP,∠1=∠2，DP =CP, 所以△ADP≌△ACP(SAS),所以AD=AC. 9.B10.等边 11.解：(1)因为BE⊥AC,CF⊥AB, 所以∠HFB=∠HEC=∠AED=90. 又因为∠BHF=∠CHE, 所以∠ABD=∠GCA 又因为AB=GC,BD=CA, 所以△ABD≌△GCA(SAS), 所以AD=GA. (2)AD⊥AG.理由如下： 因为△ABD≌△GCA, 所以∠ADB=∠GAC 因为∠ADB=180°-∠ADE=∠AED+∠DAE, ∠GAC=∠GAD+∠DAE, 所以∠GAD=∠AED=90°， 所以AD⊥AG. 12.解：(1)①因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 下册参考答案 21Λ 即∠BAD=∠CAE, (AB=AC. 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE AD-AE. 所以△ABD≌△ACE(SAS). ②由①可知，△ABD≌△ACE,所以∠B=∠ACE, 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB, 所以∠BCE=∠B+∠ACB. 因为∠B+∠ACB=180°-∠BAC=90°， 所以∠BCE=90°. (2)a+3=180°. 解题技巧专题判定三角形全等的基本思路 1.解：如图，连接AD 在△ABD和△ACD中， (AB=AC, AD=AD, BD=CD, 所以△ABD≌△ACD(SSS), 所以∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC. 因为∠ADB+∠ADC=360°-∠BDC=360°-120 =240°， 所以∠ADB=∠ADC=120°， 所以∠BAD=∠CAD=180°-∠B-∠ADB=180°- 20°-120°=40°， 所以∠BAC=80° 2.解：(1)因为∠DAB=∠CAE, 所以∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE, 即∠DAE=∠BAC 在△ABC和△ADE中. (AB=AD. ∠BAC=∠DAE, AC=AE. 所以△ABC≌△ADE(SAS). (2)由△ABC≌△ADE,得∠D =∠B 设AB和DE相交于点O,如图. 因为∠DOA=∠BOE,∠D=∠B, 所以∠DAB=∠DEB. 因为∠DAB=∠CAE, 所以∠CAE=∠DEB. 「∠BOD=∠COE, 3.解：(1)在△BOD和△COE中， ∠B=∠C, BD=CE, 所以△BOD≌△COE(AAS),所以OD=OE. (2)因为D,E分别是AB,AC的中点， 22 七年级数学BS版 所以AD=BD=2AB,AE=CE=2AC 因为BD=CE,所以AD=AE,AB=AC. (AB=AC. 在△ABE和△ACD中，∠A=∠A, AE=AD, 所以△ABE≌△ACD(SAS). 4.解：(1)因为∠1=∠2， 所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC, 所以∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， f∠BAC=∠DAE, AC=AE, ∠C=∠E, 所以△ABC≌△ADE(ASA), 所以AB=AD. (2)因为△ABC≌△ADE, 所以AB=AD,∠B=∠D. 又因为∠1=∠2， 所以△ABM≌△ADN(ASA), 所以AM=AN, 因为AE=AC,所以EM=CN. ∠1=∠2， 5.解：在△ABC和△ADC中，3AC=AC, ∠3=∠4， 所以△ABC≌△ADC(ASA),所以AB=AD. (AB=AD, 在△ABO和△ADO中，∠1=∠2， AO=AO, 所以△ABO≌△ADO(SAS),所以BO=DO 6.5【解析】因为BE⊥AC,AD⊥BC, 所以∠AEB=∠ADC=∠BDF=90°. 因为∠AFE=∠BFD,∠FBD+∠BFD=∠AFE+ ∠CAD=90°， 所以∠CAD=∠FBD ∠FBD=∠CAD, 在△BDF和△ADC中，BD=AD. ∠BDF=∠ADC, 所以△BDF≌△ADC(ASA), 所以DF=DC, 所以AF+CD=AF十DF=AD=5. 7.解：(1)因为FB=CE, 所以FB+CF=CE十CF,即BC=EF 又因为AB∥DE,AC∥DF, 所以∠B=∠E,∠ACB=∠DFE, 所以△ABC≌△DEF(ASA). (2)由(1)可知，△ABC≌△DEF,所以AB=DE.