2.2 探索直线平行的条件-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

2探索直线平行的条件 第1课时 利用同位角判定两条直线平行 已课内基础闯关 知识点③ 平行的基本事实及其推论 知识点① 同位角的定义 6.如图，过点C作直线AB的平行线，下列说 1.下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是 法正确的是 A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条 ·C 0 A B D 第6题图 变式题图 2.如图，∠D与 是同位角， ∠ABD与 是同位角 变式题如图，已知OM∥a,ON∥a,所以O M,N三点共线.其理由是 E 7.如图，在四边形ABCD中， 第2题图 第3题图 AB∥CD,EF∥AB,且交AD 知识点② 同位角相等，两直线平行 于点E,交BC于点F,则EF 3.如图，若∠D=∠EFC,则 与CD的位置关系是 第7题图 A.EF∥AD B.AB∥CD ,其依据是 C.EF∥BC D.AD∥BC 4.真实情境如图，已知∠1=90°，为保证两条 8.如下图，B,C是直线a外两点.请按要求画 铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是 图并作答 (1)过点B画直线a的平行线.能画几条？ A.∠2=90° 铁轨口 (2)过点C画直线a的平行线.它与过点B B.∠3=90° 铁轨口 且与直线a平行的直线平行吗？ C.∠4=90° 枕木 枕木 D.∠5=90° 第4题图 B 5.(教材变式)如下图，已知AC平分∠EAG, BD平分∠FBG,∠1=35°，∠2=35°，试说 明：AC∥BD,AE∥BF 下册第二章 27△ 已课外拓展提高 综合能力提升 9.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯 13.推理能力探究与发现： 后，仍与原来的方向一致，那么下列操作正 (1)在同一平面内，若直线a1⊥a2,a2⊥a3, 确的是 则直线a1与a3存在什么位置关系？请说 A.第一次右拐80°，第二次左拐100° 明理由， B.第一次左拐80°，第二次左拐100° (2)在同一平面内，若直线a1⊥a2,a2⊥a3, C.第一次右拐80°，第二次右拐80° a3⊥a4,则直线a1与a4的位置关系是 D.第一次左拐80°，第二次右拐80 10.(教材变式)图①②③是通过移动三角尺过 (3)在同一平面内，现在有2027条直线a1, 已知直线外一点画它的平行线的方法，请 a2,a3,…,a2o27,且有a1⊥a2,a2⊥a3,a3⊥ 你说出其中的数学原理： a4,a4⊥a5,…,则直线a1与a2o27的位置 关系是 ① ② 第10题图 11.开放题如图，已知直线 B AB,CD与直线MN分别 0 G 交于点F,G,EF⊥MN, MF N A 且∠1=140°.在不加辅助 第11题图 线的基础上，若增加一个条件使得AB∥ CD,则这个条件可以是 知识要点归纳 12.如下图，直线AB,CD相交于点O,OD平 1.两条直线被第三条直线所截，如果两个角既在 分∠EOB,OF平分∠AOE,GH⊥CD,垂 被载直线同侧，又在载线同侧，那么称这两个角 足为H.试说明：GH∥FO 为同位角.如图①，∠1与∠5，∠2与∠8，∠3与 ∠7，∠4与∠6是同位角. a b 3/ 6 32 14 h2 图① 图② 2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行，简称：同位角相等，两 直线平行.如图②，因为∠1=∠3，所以a∥仍. 3.平行的基本事实及其推论：(1)过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行；(2)平行于 同一条直线的两条直线平行 428 七年级数学BS版 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 课内基础闯关 6.如下图，直线a,b,c被直线d,e所截，且∠1 知识点① =∠2，∠3=∠4.试说明：a∥c. 内错角和同旁内角的识别 1.如图，两只手的食指和拇 指在同一平面内，它们构 成的一对角可以看成 第1题图 A.内错角 B.同位角 知识点③ 同旁内角互补，两直线平行 C.同旁内角 D.对顶角 7.(2025苏州)如图，在A,B两 2.(2025乐平期中)如图，下列结论中，错误的 地间修一条笔直的公路，从 是 a A地测得公路的走向为北偏 B A.∠1与∠2是同旁内角 东70°.若A,B两地同时开 第7题图 B.∠1与∠6是内错角 213 工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为 6P4 C.∠2与∠5是内错角 ( D.∠3与∠5是同位角 第2题图 A.100°B.105° C.110° D.115 知识点②内错角相等，两直线平行 8.如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠4 3.如图，能判定EB∥AC的条件是 ( =180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3.其 A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD 中能判断直线a∥b的有 () C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE A.4个 B.3个 C.2个D.1个 6 D B C-0D 第3题图 第5題题图 4.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD 第8题图 第9题图 的是 9.将一副三角板按图中所示的方式摆放，要使 BO/CD,则∠AOD的度数应为 10.(教材变式)如下图，如果∠1=60°，∠2= 120°，∠D=60°，那么AB与CD平行吗？ B BC与DE呢？请说明理由. 2 D 5.将两把完全一样的三角尺按图中所示的方 式放置，则AB∥CD的依据是 下册第二章 29△ 已课外拓展提高 15.如下图，DE平分∠ADC,CE平分∠BCD, 11.（教材变式)如图所示的是 2 且∠1+∠2=90°.试判断AD与BC之间 平面上五条直线11，l2,l3, 92°928 的位置关系，并说明理由， 88° 14,l,相交的情形.根据图 88 中标示的角度，下列叙述 第11题图 正确的是 A.11和12平行，l3和l4平行 B.l1和l3平行，l2和l3不平行 C.l1和l3不平行，l2和l3平行 已综合能力提升 D.l1和13不平行，l2和l3不平行 16.推理能力如右图，将一副三角 12.如图，直线AB,BC,CD,EG相交，∠1= 板中的两个直角顶点C叠放在 ∠2=80°，∠3=40°，则下列结论错误的是 一起，其中∠A=30°，∠B= ( 60°，∠D=∠E=45° A.AB∥CD B.∠EFB=409 (1)若∠BCD=110°，则∠ACE= C.EF>BE D.∠FCG+∠3=∠2 D (2)若按住三角板ABC不动，三角板DCE 789 绕顶点C转动一周，试探究：∠ACE等于多 135 少度时，CE∥AB?请画出图，并说明理由. 第12题图 第13题图 13.几何直观如图，点A在直线DE上.当 ∠BAC的度数为 时，DE ∥BC. 14.（2025景德镇期中)如下图，∠BAF=50°， ∠ACE=140°，CD⊥CE.试说明：DC ∥AB. 知识要点归纳 1.两条直线被第三条直线所截，如果两个角在被 截直线之间，分别在截线两侧，这样的一对角是 内错角；如果两个角在被截直线之间，在截线同 侧，这样的一对角是同多内角 2.内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直 线平行 430 七年级数学BS版又因为AD=4,AB=7,所以4<AC<7,所以AC的 长可能是6. 10.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 11.BC⊥BD【解析】由折叠的性质，得∠CBA= ∠CBA',∠DBE=∠DBE'. 因为∠CBA+∠CBA'+∠DBE+∠DBE'=180°， 所以∠CBA'+∠DBE'=90°， 所以BC⊥BD. 12.9.6【解析】由垂线段最短可知，当 CD⊥AB时，CD的长度最小，如图」 因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°， 所以S=2AC·BC= 1 2AB·CD, 所以2×16X12=7×20CD. 1 所以CD=9.6. 13.解：(1)如图，直线PC、线段PH即为 所求. (2)PH<PC<OC.理由如下： :H: 线段PH的长度是点P到直线OA的 距离，所以PH<PC:线段CP的长度是点C到直线 OB的距离，所以PC<OC.故PH<PC<OC. 14.解：(1)因为OF⊥AB,所以∠AOF=90° 因为∠COF=50°，所以∠AOC=∠AOF-∠COF =40°， 所以∠AOD=180°-∠AOC=140°. 因为OE平分∠AOD, 1 所以∠A0E=2∠A0D=70, 所以∠COE=∠AOE+∠AOC=110°. (2)因为OE平分∠AOD, 所以∠EOD=∠AOE. 因为∠BOD:∠EOD=1:2, 所以∠BOD:∠EOD:∠AOE=1:2:2, 所以∠B0D=180×号=36 因为OF⊥AB,所以∠BOF=90°， 所以∠C0F=180°-90°-36°=54°. 15.解：(1)如图①所示.∠1+∠P=180° (2)如图②、图③所示.∠1=∠P∠1=∠APC 或∠1+∠BPC=180° (3)相等或互补 图② 2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两条直线平行 1.B2.∠CEF∠C3.A4.C 5.解：因为∠1=35°，∠2=35°， 所以∠1=∠2，所以AC∥BD. 因为AC平分∠EAG,BD平分∠FBG, 所以∠EAG=2∠1，∠FBG=2∠2. 又因为∠1=∠2， 所以∠EAG=∠FBG, 所以AE∥BF, 6.B 变式题过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行 7.EF∥CD平行于同一条直线的两条直线平行 8.解：(1)如图，直线b即为所求.能画1条. f…c f.b (2)如图，直线c即为所求.它与过点B且与直线a平 行的直线平行. 9.D 10.同位角相等，两直线平行 11.∠2=50°（答案不唯一）【解析】增加的条件可以为 ∠2=50°.因为EF⊥MN,所以∠EFM=90°.因为 ∠2=50°，所以∠BFM=140°，所以∠BFM=∠AFN =∠1=140°，所以AB∥CD. 12,解：因为OD平分∠EOB,所以∠DOE=号∠BOB. 因为OF平分∠AOE,所以∠BOF=号∠A0E, 因为∠AOE+∠EOB=180°， 所以∠FOD=∠EOF+∠DOE=Z（∠AOE+ 1 ∠E0B)=2×180°=90. 因为GH⊥CD,所以∠GHO=90°， 所以∠GHO=∠FOD,所以GH∥FO. 13.解：(1)a1∥a.理由如下： 如图，因为a1⊥a2,a2⊥a3, 所以∠1=∠2=90°，所以a1∥a3. (2)a1⊥a (3)a1∥a2o2r 下册参考答案 第2课时利用内错角、同旁内角判定 两条直线平行 1.A2.C3.D4.B 5.内错角相等，两直线平行 6.解：因为∠1=∠2，所以a∥b. 因为∠3=∠4，所以b∥c,所以a∥c! 7.C 8.B【解析】①由∠1=∠2，可得a∥b:②由∠3+∠4 180°，可得a∥b:③由∠5+∠6=180°，可得∠5的对顶 角+∠6的对顶角=180°，即可得到a∥b:④由∠2= ∠3，不能得到ab. 故能判断直线a仍的有3个. 9.15°【解析】要使BO∥CD,则∠C+∠BOC=180°， 所以∠C+∠BOA+∠DOC+∠AOD=180°， 所以∠AOD=180°-∠C-∠BOA-∠DOC=180° 90°-45°-30°=15° 10.解：ABCD,BC∥DE.理由如下： 因为∠1=60°，∠ABC=∠1， 所以∠ABC=60°. 又因为∠2=120°， 所以∠ABC+∠2=180°， 所以AB∥CD 因为∠2+∠BCD=180°，所以∠BCD=60°. 因为∠D=60°， 所以∠BCD=∠D, 所以BC∥DE, 11.C12.C13.57° 14.解：因为CD⊥CE, 所以∠DCE=90. 因为∠ACE=140°， 所以∠ACD=360°-∠DCE-∠ACE=360°-90° 140°=130°. 因为∠BAF=50°， 所以∠CAB=180°-∠BAF=180°-50°=130°， 所以∠ACD=∠CAB, 所以DC∥AB 15.解：AD∥BC.理由如下： 因为DE平分∠ADC,CE平分∠BCD, 所以∠ADC=2∠1，∠BCD=2∠2. 因为∠1+∠2=90°， 所以∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°， 所以AD∥BC 16.解：(1)70° (2)分两种情况： ①如图①，当∠ACE=30°时，ABCE, 理由：因为∠ACE=∠A=30°，所以AB∥CE: 410 七年级数学BS版 图① 图② ②如图②，当∠ACE=150°时，AB∥CE. 理由：因为∠ACE=150°，∠A=30°， 所以∠ACE+∠A=150°+30°=180°， 所以AB∥CE. 故∠ACE等于30°或150时，CE∥AB 3平行线的性质 第1课时平行线的性质 1.D2.C 3.解：因为AC∥DF,所以∠A=∠1. 因为AB∥EF, 所以∠A=∠2，所以∠1=∠2. 因为∠2=50°，所以∠1=50°. 4.B5.C6.70°7.D8.78 9.解：因为AC∥MD,∠A=100°， 所以∠AMD=180°-∠A=80°. 因为BF∥ME,∠B=130°， 所以∠BME=180°-∠B=50°， 所以∠DME=180°-∠AMD-∠BME=180°-80° 50°=50°. 10.104°【解析】如图，由折叠的性 质，得∠4=∠2=52°，所以∠2 +∠4=104°. 由题意，得AB∥CD 所以∠1=∠2+∠4=104°. 变式题115°【解析】如图，由题 意，得AB∥CD, 所以∠1=∠3+∠4=130°，∠2+ ∠3=180° 由折叠的性质，得∠3=∠4， 所以∠3=2×130=65. 所以∠2=180°-∠3=180°-65°=115. 11.解：因为DE∥AC,所以∠ACD=∠CDE. 因为EF∥CD,所以∠CDE=∠DEF,∠DCE =∠BEF, 所以∠ACD=∠DEF. 因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠DCE, 所以∠DEF=∠BEF,即EF平分∠DEB. 12.解：因为AB∥FN,