第02讲 整式与因式分解（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”核心模块，系统覆盖代数式、整式概念、整式运算、因式分解四大中考必考点，通过“知识点梳理-方法归纳-真题典例-变式训练”四阶教学流程，帮助学生构建知识网络，突破运算规律、公式应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合核心素养培养，如通过“实际问题列代数式”发展抽象能力，“乘法公式几何意义”强化几何直观，“因式分解‘提-套-查’步骤”提升运算能力。设置11类分层题型（含规律探索），配合中考真题即时演练，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应试能力。

第02讲 整式与因式分解 知识点1：代数式类 知识2：整式的相关概念 知识3：整式运算 知识4：因式分解 知识点1：代数式 1. 列代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子；单独的一个数或一个字母也是代数式 代数式的书写要求： （1）数字与字母相乘数字写在字母前面，乘号可省略或用“・”；系数为 1 或 - 1 时，1 省略不写。 （2）字母与字母相乘乘号省略，相同字母相乘写成乘方形式。 （3）除法运算不用 “÷”，统一写成分数形式。 （4）带分数与字母相乘带分数化为假分数，避免混淆。 （5）项式带单位多项式整体加括号后再写单位。 （6）符号规范代数式中出现减号，按 “代数和” 书写，省略加号和括号。 2. 代数式的值 求代数式的值的常见方法： （1）直接代入法：步骤：1. 明确字母取值 2.直接代入式子计算 （2）化简代入法：步骤：1. 先去括号、合并同类项化简 2.代入数值计算 （3）整体代入法：步骤：1. 将代数式变形为含已知式子的形式 2. 把已知式子的值整体代入 知识点2：整式的相关概念 1.单项式：数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。 -系数：单项式中的数字因数（注意符号，如-3x²的系数是-3）。 次数：单项式中所有字母的指数和（如2x³y的次数是3+1=4）。 2.多项式：几个单项式的和。 项：组成多项式的每个单项式（包括符号，如x²-2x+1的项是x²、-2x、1）。 次数：多项式中次数最高的项的次数（如2x³-3x²y+5y²的次数是3）。 常数项：不含字母的项。 知识点3：整式的运算 1.整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 2.幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 3.整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 ①平方差公式： ②完全平方公式： （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 知识点4：因式分解 1. 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是整式乘法的逆运算（结果必须是“整式积”的形式，区别于整式乘法）。 2. 基本方法（中考重点） （1）提公因式法（首选方法）： 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，符号取各项系数的共同符号）。 步骤：找出公因式→提取公因式→剩余项整理（如2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)）。 （2）公式法： 平方差公式：a²- b² =(a+b)(a-b)（适用：两项式，且为平方差形式）。 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a±b)²（适用：三项式，且为完全平方形式）。 （3）十字相乘法（中考高频）： 适用：二次三项式ax²+bx+c（重点考查a=1的情况）。 步骤（a=1时）：把常数项c拆成两个数p、q的积，且p+q = b，则x²+bx+c = (x+p)(x+q)（如x²+3x+2 = (x+1)(x+2)，x²-2x-3 = (x-3)(x+1)）。 3. 因式分解的一般步骤（中考要求）：提（提公因式）→二套（套公式或十字相乘法）→三查（查是否分解彻底，结果不能再分解）。 【题型1 实际问题中的代数式】 【典例1】（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 【变式2】（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 【变式3】（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的倍出售，据此求解即可． 【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是元， 故答案为；． 【题型2 代数式求值】 【典例2】（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 【变式1】（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 【变式2】（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 【题型3 整式的加减】 【典例3】（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式1】（2025·河北·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）计算： ． 【答案】2a 【分析】根据合并同类项原理：系数相加减字母不变即可解题. 【详解】解：. 【点睛】本题考查了整式的加减,属于简单题,熟悉合并同类项的原理是解题关键. 【变式3】（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【题型4 幂的混合运算】 【典例4】（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项法则，幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算错误，故本选项不符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，运算正确，故本选项符合题意， 故选：D． 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（2025·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型5 乘法公式的应用】 【典例5】（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【变式1】（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 【变式2】（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③ ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 【变式3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：由得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为． 【题型6 整式的化简】 【典例6】（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理； 【详解】解：原式         . 【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键． 【变式1】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式3】（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 整式的混合运算】 【典例7】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式3】（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型8 因式分解】 【典例8】（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 【变式1】（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．直接应用公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】（2025·四川·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解． 先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解． 【详解】解：观察多项式，两项均含有公因式， 将公因式提取出来，得：， 故答案为：． 【变式3】（2025·北京·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型9 因式分解的应用】 【典例9】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式1】（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 【题型10 图形类规律探索】 【典例10】（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 【变式2】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 【变式3】（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 【题型11 数字类规律探索】 【典例11】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 【变式1】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 【变式2】（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 1．（2023·江西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（2026·江西·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂相除，掌握相关的运算法则是解题的关键． 根据积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂相除，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项的运算错误； B、，故本选项的运算正确； C、，故本选项的运算错误； D、，故本选项的运算错误． 故选：B 3．（2026·陕西·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 5．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， 故选：B． 6．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 7．（24-25九年级上·山东淄博·月考）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 利用平方差公式因式分解，并代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（2025·江西新余·二模）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，观察多项式，两项均含有公因式，直接提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行变形求值，解决此题的关键是正确的计算；先运用完全平方公式得到，再运用平方差公式即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故， ∴， 故， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025·青海·模拟预测）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子，那么，第8个图中的棋子数是 .    【答案】27 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，总结出变化的一般规律．根据图形，得出前面几个图形中棋子的个数，再总结出第n个图形的棋子个数为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个：， ∴第8个图中的棋子数是， 故答案为：27． 12．（2025·江苏·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式及多项式乘以多项式，熟练掌握平方差公式及多项式乘以多项式是解题的关键；先利用平方差公式计算，再利用多项式乘法法则计算，最后去括号，合并同类项． 【详解】解： ． 13．（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 【答案】(1)扩建前：，扩建后： (2) 【分析】本题主要考查代数式的表示，多项式乘法运算以及通过建立方程解决的能力，准确计算是解题的关键． （1）扩建前后的面积均通过长宽计算，注意代数式的展开与化简； （2）利用扩建后面积与原面积的差建立方程，求解出未知数的值，进而求出原面积． 【详解】（1）矩形草坪的长为，宽为， 扩建前矩形草坪的面积为； 由题意可得，扩建后矩形草坪的长为，宽为， 扩建后矩形草坪的面积为； （2）由可得，扩建后矩形草坪的面积增加了， 。 解得：， ． 扩建前这个矩形草坪的面积为． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则化简，再代入字母的值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 15．（2025·浙江·模拟预测）观察连续两个正整数的立方差： ①； ②； ③ (1)写出第n个等式（为正整数），并给出证明． (2)问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差？如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查了规律的探究，涉及到实数的运算，整式的运算，解一元二次方程，正确理解题意，找出规律是关键． （1）仿照示例，写出第n个等式，对等式的左右两边分别化简，可得到结果； （2）根据示例，设，利用求根公式判断方程的整数根，得到结果． 【详解】（1）第n个等式为：， 证明：左边 ， 右边 ， 左边=右边， 等式成立； （2）不能写成两个连续正整数的立方差，理由如下： 设两个连续正整数为n和， 则， 令， ， ， 不是完全平方数，因此方程无整数解， 不能写成两个连续正整数的立方差． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式与因式分解 知识点1：代数式类 知识2：整式的相关概念 知识3：整式运算 知识4：因式分解 知识点1：代数式 1. 列代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子；单独的一个数或一个字母也是代数式 代数式的书写要求： （1）数字与字母相乘数字写在字母前面，乘号可省略或用“・”；系数为 1 或 - 1 时，1 省略不写。 （2）字母与字母相乘乘号省略，相同字母相乘写成乘方形式。 （3）除法运算不用 “÷”，统一写成分数形式。 （4）带分数与字母相乘带分数化为假分数，避免混淆。 （5）项式带单位多项式整体加括号后再写单位。 （6）符号规范代数式中出现减号，按 “代数和” 书写，省略加号和括号。 2. 代数式的值 求代数式的值的常见方法： （1）直接代入法：步骤：1. 明确字母取值 2.直接代入式子计算 （2）化简代入法：步骤：1. 先去括号、合并同类项化简 2.代入数值计算 （3）整体代入法：步骤：1. 将代数式变形为含已知式子的形式 2. 把已知式子的值整体代入 知识点2：整式的相关概念 1.单项式：数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。 -系数：单项式中的数字因数（注意符号，如-3x²的系数是-3）。 次数：单项式中所有字母的指数和（如2x³y的次数是3+1=4）。 2.多项式：几个单项式的和。 项：组成多项式的每个单项式（包括符号，如x²-2x+1的项是x²、-2x、1）。 次数：多项式中次数最高的项的次数（如2x³-3x²y+5y²的次数是3）。 常数项：不含字母的项。 知识点3：整式的运算 1.整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 2.幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 3.整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 ①平方差公式： ②完全平方公式： （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 知识点4：因式分解 1. 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是整式乘法的逆运算（结果必须是“整式积”的形式，区别于整式乘法）。 2. 基本方法（中考重点） （1）提公因式法（首选方法）： 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，符号取各项系数的共同符号）。 步骤：找出公因式→提取公因式→剩余项整理（如2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)）。 （2）公式法： 平方差公式：a²- b² =(a+b)(a-b)（适用：两项式，且为平方差形式）。 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a±b)²（适用：三项式，且为完全平方形式）。 （3）十字相乘法（中考高频）： 适用：二次三项式ax²+bx+c（重点考查a=1的情况）。 步骤（a=1时）：把常数项c拆成两个数p、q的积，且p+q = b，则x²+bx+c = (x+p)(x+q)（如x²+3x+2 = (x+1)(x+2)，x²-2x-3 = (x-3)(x+1)）。 3. 因式分解的一般步骤（中考要求）：提（提公因式）→二套（套公式或十字相乘法）→三查（查是否分解彻底，结果不能再分解）。 【题型1 实际问题中的代数式】 【典例1】（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【变式1】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【变式3】（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【题型2 代数式求值】 【典例2】（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【变式1】（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【变式2】（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【变式3】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【题型3 整式的加减】 【典例3】（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【变式1】（2025·河北·中考真题）计算： ． 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）计算： ． 【变式3】（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【题型4 幂的混合运算】 【典例4】（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 乘法公式的应用】 【典例5】（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【变式1】（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【变式2】（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③ ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 【题型6 整式的化简】 【典例6】（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 【变式1】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【变式3】（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【题型7 整式的混合运算】 【典例7】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【变式3】（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【题型8 因式分解】 【典例8】（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【变式1】（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式： ． 【变式2】（2025·四川·中考真题）分解因式： ． 【变式3】（2025·北京·中考真题）分解因式： ． 【题型9 因式分解的应用】 【典例9】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【变式1】（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【变式2】（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【题型10 图形类规律探索】 【典例10】（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【变式2】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【变式3】（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【题型11 数字类规律探索】 【典例11】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 1．（2023·江西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 5．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 6．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东淄博·月考）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．计算： ． 9．（2025·江西新余·二模）分解因式： ． 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 11．（2025·青海·模拟预测）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子，那么，第8个图中的棋子数是 .    12．（2025·江苏·一模）化简：． 13．（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 15．（2025·浙江·模拟预测）观察连续两个正整数的立方差： ①； ②； ③ (1)写出第n个等式（为正整数），并给出证明． (2)问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差？如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $