第01讲 实数与运算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“实数与运算”核心模块，涵盖实数分类、相关概念、科学记数法、大小比较及运算五大考点，构建“概念-方法-应用”递进式知识体系。通过考点梳理、方法归纳（如6种大小比较法）、真题典例与变式训练，系统突破数轴应用、绝对值非负性等高频难点。 亮点在于“题型靶向突破”设计，如无理数估算结合数轴定位培养几何直观，科学记数法关联实际数据（如高铁里程）强化数据意识。设置12类分层题型（含2025年中考真题），配合“典例精讲-变式巩固-综合练习”三步训练，助力学生提升运算能力与抽象思维，教师可依托此资料精准把控复习节奏，实现高效备考。

第01讲 实数与运算 考点1实数的分类 考点2实数的相关概念 考点3科学记数法与近似数 考点4实数大小比较 考点5实数的运算 知识点1：实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、 实数的分类： （1） 有理数 ①定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，可表示为两个整数的比值（，p、q为整数且q≠0） ② 性质：对应小数形式为有限小数或无限循环小数 （2）无理数 ① 定义：不能表示为两个整数比值的实数 ② 性质：对应小数形式为无限不循环小数；常见类型：含π的数、开方不尽的数、有特定规律的无限不循环小数（如0.1010010001…） 知识点2：实数的有关该概念（数轴，相反数，绝对值和倒数） 数轴 1. 定义：规定原点、正方向、单位长度的直线（三要素缺一不可） 2. 性质：实数与数轴上的点一一对应；右边的数>左边的数 相反数 1. 代数定义：只有符号不同的两个数（a的相反数为-a，0的相反数是0） 2. 几何定义：数轴上关于原点对称的两点对应的数 3. 判定：a+b=0 ⇔ a、b互为相反数 绝对值（中考高频） 1. 代数定义：|a|=a(a>0)；|a|=0(a=0)；|a|=-a(a<0) 2. 几何定义：数轴上点到原点的距离；|x-a|表示x与a的距离 3. 核心性质：非负性（|a|≥0）；|a|=|b|⇒a=±b 倒数 1. 定义：乘积为1的两个数（a的倒数为，a≠0） 2. 关键：0无倒数；互为倒数的两数符号相同 3. 判定：a·b=1 ⇔ a、b互为倒数；带分数/小数需先化为假分数/分数再求倒数 知识点3：科学记数法和近似数 科学计数法 1. 定义：把一个数表示成a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数）的形式 2. 核心规则： ① a的取值范围是1≤|a|<10（整数位仅留一位非零数字）； ② n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于原数整数位位数减1；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数（含小数点前的0） 近似数 1. 定义：与实际数值接近但有误差的数（由测量、估算等得到） 2. 精确度：① 精确到某一位（如个位、十分位、百分位，或10ⁿ位）；② 有效数字：从左起第一个非零数字到末位数字的所有数字（包括末尾的0）. 示例：近似数3.20精确到百分位，有3个有效数字（3、2、0）；3.2×10³精确到百位，有2个有效数字（3、2） 知识点4：实数的大小比较 实数比较大小的6种方法： 数轴比较法 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 类别比较法 （1）正数＞0＞负数 （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小 作差比较法 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 平方比较法 ①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 倒数比较法 若>1/b，ab>0，则a<b 作商比较法 1)任意实数a，b，=1a=b 2)任意正实数a，b，>1a>b , <1a>b 3)任意负实数a，b，>1a<b , b<1a>b 知识点5：实数的运算 常见的实数运算 运算 法则 0 次幂 a°=1(a≠0),见到0次幂值就写1 -1的奇偶次幂 ； 负整数指数幂 若a≠0，n为正整数， 则 乘方 去绝对值符号 常见算术平方根和立方根 特殊角的三角函数值 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 【题型1 正负数的意义】 【典例1】（2025·贵州·中考真题）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据正负数表示一对相反意义的量，向前为正，则向后为负，进行判断即可． 【详解】解：向前运动记作，那么向后运动，记作； 故选：C． 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“”表示，那么低于标准质量就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为：． 【变式3】（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作； 故答案为：． 【题型2 无理数的估算】 【典例2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式2】（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 【变式3】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 【题型3 实数的分类】 【典例3】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【变式1】（2025·江西·模拟预测）下列四个实数中，是正无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，无理数的定义，算术平方根和立方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键． 无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、0是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是负无理数，不符合题意； D、 是正无理数，符合题意， 故选 D． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）下列各数中是负数的是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，化简多重符号和计算绝对值，先化简多重符号和计算绝对值，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，， ∴四个数中，只有是负数， 故选：D． 【变式3】（2025·山东·一模）在实数，，，，，，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，由有理数及无理数的定义分类，即可求解；理解有理数及无理数的定义是解题的关键． 【详解】解： ，，是无理数， ，，是有理数； 故选：C． 【题型4 用数轴上的点表示数】 【典例4】（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，解题的关键是根据点在数轴上的位置确定其表示的数的取值范围，再与选项对比．明确数轴上数的分布特点：原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小；由题意知点A在0与之间，因此点A表示的数是大于且小于0的负数；分析各选项，找出符合该取值范围的数． 【详解】解：∵点A在数轴上0与中间， 结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是 故选：B． 【变式1】（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 【变式2】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 【变式3】（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 【题型5 实数的大小比较】 【典例5】（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数大小，无理数的估算，掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键，根据比较实数大小的法则求解即可． 【详解】解：负数小于0，0小于正数， ， 又，，且， ， ， 最大的是， 故选：． 【变式1】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 【变式2】（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型6 实数的相关概念】 【典例6】（2025·四川绵阳·中考真题）的相反数是（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“数的相反数是”是解题的关键． 根据相反数的定义，求-7的相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 【变式2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 【变式3】（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；     B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【题型7 绝对值的非负性】 【典例7】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 【变式1】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【变式2】（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 【变式3】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 【题型8 乘方运算】 【典例8】（2024·青海西宁·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，负整数指数幂，同底数幂的除法，根据相关运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 【变式1】（2024·河南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【详解】解： 故答案为：0 【变式3】（2023·黑龙江大庆·中考真题）已知，则x的值为 ． 【答案】，1，3 【分析】由已知可分三种情况：当时，；当时，；当时，，此时，等式成立． 【详解】解：∵， 当时，； 当时，； 当时，，此时，等式成立； 故答案为：，1，3． 【点睛】本题考查有理数的乘方；熟练掌握有理数的乘方的性质，切勿遗漏零指数幂的情况是解题的关键． 【题型9 平方根、算术平方根和立方根】 【典例9】（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，关键是理解算术平方根为非负的平方根，即若()，则是的算术平方根． 【详解】解：，且， 的算术平方根是． 故答案为：2． 【变式1】（2016·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 【变式2】（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 【题型10 用科学记数法表示数】 【典例10】（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 【变式1】（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式2】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：4.6万； 故答案为：． 【题型11 求一个数的近似数】 【典例11】（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 【变式1】（2025·山东烟台·一模）近似数精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数中的3位于百万位，则1位于十万位，5位于万位，位于千位，即精确到了千位． 故答案为：千． 【变式2】（2025·四川凉山·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位 【答案】D 【分析】本题考查了精确度，把原数还原，看末位数字在还原后的数中所占的数位即可求解，理解精确度的定义是解题的关键 【详解】解：亿， ∵亿的末位数字在还原后的数中所占的数位是百万位， ∴亿精确到百万位， 故选：． 【变式3】（2025·四川资阳·模拟预测）数精确到万位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，根据近似数的精确度求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型12 实数的运算】 【典例12】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算算术平方根，零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）计算． 【答案】6 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 1．（25-26九年级上·重庆·月考）2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2026的相反数是 故选：B． 2．（2026·陕西·一模）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分数与整数的加法计算，通过通分将整数转化为同分母分数，再按照同分母分数加法法则计算． 【详解】解：． 对应选项 D． 3．（2026·浙江·模拟预测）如图，下列数轴上四个点表示的数与的和为0的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查数轴，相反数的定义；与的和为0的数是的相反数，的相反数是2，找到表示2的点即可. 【详解】解：∵与的和为0的数是2 ∴根据原点和单位长度判断：在数轴表示数2的点是， 故选：C. 4．（25-26七年级上·山西朔州·月考）魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若在粮谷计算中，益实一斗（增加斗）记为斗，那么损实七斗（减少斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，具有相反意义的量，根据正负数的意义，增加记为“”，减少记为“”，因此减少斗应记为斗，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵益实一斗（增加斗）记为斗， ∴损实七斗（减少斗）记为斗， 故选：． 5．（2025·广东清远·模拟预测）据悉，2024年巴黎奥运会的全球收视率已经突破历史记录，巴黎奥运会将会产生11000小时的超高清内容，屏幕让“眼见为实”的边界和范围无限扩大，让体育的魅力走进无数人心中，其中数据“11000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：依题意，数据“11000”用科学记数法表示为， 故选：B 6．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：B． 7．（2024·山东聊城·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的特征、实数大小比较、绝对值的意义理解，逐项判断即可，根据数轴得出“，，”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，在数轴上的对应点的位置如图所示， ∴，，， ∴，，则，故A成立， ，，则，故B不成立， ，故C不成立， ，故D不成立， 故选：A． 8．（2026·浙江·一模）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根、绝对值，理解其定义是解题的关键． 先计算平方根和绝对值，再相减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 9．（2024·湖南长沙·一模）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，则点表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是数轴，有理数加法，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键．根据题意可知，点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，因此点表示的数是：． 【详解】解：点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点， 点表示的数是：， 故答案为：4． 11．（2026·陕西西安·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，零指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 先计算乘方，二次根式的乘法，零指数幂，再算加减即可． 【详解】解： ． 12．（2026·江苏苏州·模拟预测）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂，算术平方根，特殊角的正切值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 13．（2026·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，后算加减法即可求解； （2）先算乘方和绝对值，再计算乘除法，后算加减法即可求解． 本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 实数与运算 知识点1实数的分类 知识点2实数的相关概念 知识点3科学记数法与近似数 知识点4实数大小比较 知识点5实数的运算 知识点1：实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、 实数的分类： （1） 有理数 ①定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，可表示为两个整数的比值（，p、q为整数且q≠0） ② 性质：对应小数形式为有限小数或无限循环小数 （2）无理数 ① 定义：不能表示为两个整数比值的实数 ② 性质：对应小数形式为无限不循环小数；常见类型：含π的数、开方不尽的数、有特定规律的无限不循环小数（如0.1010010001…） 知识点2：实数的有关该概念（数轴，相反数，绝对值和倒数） 数轴 1. 定义：规定原点、正方向、单位长度的直线（三要素缺一不可） 2. 性质：实数与数轴上的点一一对应；右边的数>左边的数 相反数 1. 代数定义：只有符号不同的两个数（a的相反数为-a，0的相反数是0） 2. 几何定义：数轴上关于原点对称的两点对应的数 3. 判定：a+b=0 ⇔ a、b互为相反数 绝对值（中考高频） 1. 代数定义：|a|=a(a>0)；|a|=0(a=0)；|a|=-a(a<0) 2. 几何定义：数轴上点到原点的距离；|x-a|表示x与a的距离 3. 核心性质：非负性（|a|≥0）；|a|=|b|⇒a=±b 倒数 1. 定义：乘积为1的两个数（a的倒数为，a≠0） 2. 关键：0无倒数；互为倒数的两数符号相同 3. 判定：a·b=1 ⇔ a、b互为倒数；带分数/小数需先化为假分数/分数再求倒数 知识点3：科学记数法和近似数 科学计数法 1. 定义：把一个数表示成a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数）的形式 2. 核心规则： ① a的取值范围是1≤|a|<10（整数位仅留一位非零数字）； ② n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于原数整数位位数减1；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数（含小数点前的0） 近似数 1. 定义：与实际数值接近但有误差的数（由测量、估算等得到） 2. 精确度：① 精确到某一位（如个位、十分位、百分位，或10ⁿ位）；② 有效数字：从左起第一个非零数字到末位数字的所有数字（包括末尾的0）. 示例：近似数3.20精确到百分位，有3个有效数字（3、2、0）；3.2×10³精确到百位，有2个有效数字（3、2） 知识点4：实数的大小比较 实数比较大小的6种方法： 数轴比较法 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 类别比较法 （1）正数＞0＞负数 （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小 作差比较法 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 平方比较法 ①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 倒数比较法 若>1/b，ab>0，则a<b 作商比较法 1)任意实数a，b，=1a=b 2)任意正实数a，b，>1a>b , <1a>b 3)任意负实数a，b，>1a<b , b<1a>b 知识点5：实数的运算 常见的实数运算 运算 法则 0 次幂 a°=1(a≠0),见到0次幂值就写1 -1的奇偶次幂 ； 负整数指数幂 若a≠0，n为正整数， 则 乘方 去绝对值符号 常见算术平方根和立方根 特殊角的三角函数值 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 【题型1 正负数的意义】 【典例1】（2025·贵州·中考真题）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 【变式3】（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 【题型2 无理数的估算】 【典例2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【变式3】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【题型3 实数的分类】 【典例3】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【变式1】（2025·江西·模拟预测）下列四个实数中，是正无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）下列各数中是负数的是（　　） A． B． C．0 D． 【变式3】（2025·山东·一模）在实数，，，，，，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 用数轴上的点表示数】 【典例4】（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（    A．或B．或 C． D． 【变式3】（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【题型5 实数的大小比较】 【典例5】（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【变式1】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【变式3】（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【题型6 实数的相关概念】 【典例6】（2025·四川绵阳·中考真题）的相反数是（   ） A． B．7 C． D． 【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【变式3】（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【题型7 绝对值的非负性】 【典例7】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【变式1】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【变式2】（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【变式3】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【题型8 乘方运算】 【典例8】（2024·青海西宁·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·河南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【变式3】（2023·黑龙江大庆·中考真题）已知，则x的值为 ． 【题型9 平方根、算术平方根和立方根】 【典例9】（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【变式1】（2016·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 【变式2】（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【题型10 用科学记数法表示数】 【典例10】（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ． 【题型11 求一个数的近似数】 【典例11】（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【变式1】（2025·山东烟台·一模）近似数精确到 位． 【变式2】（2025·四川凉山·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位 【变式3】（2025·四川资阳·模拟预测）数精确到万位是 ． 【题型12 实数的运算】 【典例12】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 【变式2】（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）计算． 1．（25-26九年级上·重庆·月考）2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．（2026·陕西·一模）计算的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·模拟预测）如图，下列数轴上四个点表示的数与的和为0的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26七年级上·山西朔州·月考）魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若在粮谷计算中，益实一斗（增加斗）记为斗，那么损实七斗（减少斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 5．（2025·广东清远·模拟预测）据悉，2024年巴黎奥运会的全球收视率已经突破历史记录，巴黎奥运会将会产生11000小时的超高清内容，屏幕让“眼见为实”的边界和范围无限扩大，让体育的魅力走进无数人心中，其中数据“11000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（    ） A．0 B． C．1 D． 7．（2024·山东聊城·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江·一模）计算： ． 9．（2024·湖南长沙·一模）比较大小： （填“”“”或“”）． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，则点表示的数是 ． 11．（2026·陕西西安·一模）计算：． 12．（2026·江苏苏州·模拟预测）计算：． 13．（2026·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $